Відношення — математична структура, що формально визначає властивості різних об'єктів і їхні взаємозв'язки. Поширеними прикладами відношень у математиці є рівність (=), подільність, подібність, паралельність і багато інших.
Поняття відношення як підмножини декартового добутку формалізовано в теорії множин і набуло широкого поширення в мові математики у всіх її гілках. Теоретико-множинний погляд на відношення характеризує його з точки зору обсягу — якими комбінаціями елементів воно наповнене; змістовний підхід розглядається в математичній логіці, де відношення — пропозиційна функція, тобто вираз з невизначеними змінними, підстановка конкретних значень для яких робить його істинним або хибним. Важливу роль відношення відіграють в універсальній алгебрі, де базовий об'єкт вивчення розділу — множина з довільним набором операцій та відношень. Одне з найяскравіших застосувань техніки математичних відношень в прикладах — реляційні системи керування базами даних, методологічно засновані на формальній алгебрі відношень.
Формальні означення і позначення
-місним (-арним) відношенням , що задане на множинах , називається підмножина декартового добутку цих множин: . Факт зв'язку елементів відношенням позначається або .
Факт зв'язку об'єктів і бінарним відношенням зазвичай позначають за допомогою інфіксного запису: . Одномісні (унарні) відношення відповідають властивостям або атрибутам, як правило, для таких випадків термінологія відношень не використовується. Іноді використовуються тримісні відношення (), чотиримісні відношення (кватернарні); про відношення невизначено високої арності говорять як про «мультиарні», «багатомісні».
Універсальне відношення — це відношення, що зв'язує усі елементи заданих множин, тобто, таке, що збігається з декартовим добутком: . Нуль-відношення — відношення, що не зв'язує жодні елементи, тобто порожня множина: .
Функціональне відношення — відношення, що утворює функцію: є функціональним, якщо виконання та має наслідком (це забезпечує єдиність значення функції).
Унарне відношення
При n=1 відношення R⊆M називають одномісним або унарним. Таке відношення часто називають також ознакою або характеристичною властивістю елементів множини M. Кажуть, що елемент a∈M має ознаку R, якщо a∈R і R⊆M.
Бінарне відношення
Докладніше дивись статтю Бінарне відношення
Широко вживаними в математиці та прикладних науках є двомісні або бінарні відношення (тобто відношення з n=2)
Якщо елементи a, b∈M знаходяться в бінарному відношенні R (тобто визначена впорядкована пара (a, b)∈R), то це часто записують у вигляді aRb. Слід зауважити також, що бінарні відношення іноді розглядають, як окремий випадок відповідностей, а саме — як відповідності між однаковими множинами.
Приклади бінарних відношень на множині натуральних чисел N:
- R1 — відношення ≤ («менше або дорівнює»), тоді 4 R1 19, 5 R1 15 і т. д. для будь-якого m ∈N
- R2 — відношення «ділиться на», тоді 4 R2 2, 49 R2 7, m R2 1 для будь-якого m∈N
- R3 — відношення «є взаємно простими», тоді 15 R3 38, 366 R3 3121, 1001 R3 3612
- R4 — відношення «складаються з однакових цифр», тоді 127 R4 4721, 230 R4 4302, 3231 R4 43213311
Див. також
Джерела
- Куратовский К., Мостовский А. Теория множеств = Set Theory (Teoria mnogości). — М. : Мир, 1970. — 416 с.(рос.)
- Хаусдорф Ф. Теория множеств. — Москва ; Ленинград : , 1937. — 304 с. — .(рос.)
- Відношення // Філософський енциклопедичний словник / В. І. Шинкарук (гол. редкол.) та ін. — Київ : Інститут філософії імені Григорія Сковороди НАН України : Абрис, 2002. — 742 с. — 1000 екз. — ББК (87я2). — .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Vidnoshennya znachennya Vidnoshennya matematichna struktura sho formalno viznachaye vlastivosti riznih ob yektiv i yihni vzayemozv yazki Poshirenimi prikladami vidnoshen u matematici ye rivnist podilnist podibnist paralelnist i bagato inshih Ponyattya vidnoshennya yak pidmnozhini dekartovogo dobutku formalizovano v teoriyi mnozhin i nabulo shirokogo poshirennya v movi matematiki u vsih yiyi gilkah Teoretiko mnozhinnij poglyad na vidnoshennya harakterizuye jogo z tochki zoru obsyagu yakimi kombinaciyami elementiv vono napovnene zmistovnij pidhid rozglyadayetsya v matematichnij logici de vidnoshennya propozicijna funkciya tobto viraz z neviznachenimi zminnimi pidstanovka konkretnih znachen dlya yakih robit jogo istinnim abo hibnim Vazhlivu rol vidnoshennya vidigrayut v universalnij algebri de bazovij ob yekt vivchennya rozdilu mnozhina z dovilnim naborom operacij ta vidnoshen Odne z najyaskravishih zastosuvan tehniki matematichnih vidnoshen v prikladah relyacijni sistemi keruvannya bazami danih metodologichno zasnovani na formalnij algebri vidnoshen Formalni oznachennya i poznachennyan displaystyle n misnim n displaystyle n arnim vidnoshennyam R displaystyle R sho zadane na mnozhinah M1 M2 Mn displaystyle M 1 M 2 ldots M n nazivayetsya pidmnozhina dekartovogo dobutku cih mnozhin R M1 M2 Mn displaystyle R subseteq M 1 times M 2 times dots M n Fakt zv yazku n displaystyle n elementiv m1 M1 m2 M2 mn Mn displaystyle langle m 1 in M 1 m 2 in M 2 dots m n in M n rangle vidnoshennyam R displaystyle R poznachayetsya R m1 m2 mn displaystyle R m 1 m 2 dots m n abo m1 m2 mn R displaystyle m 1 m 2 dots m n in R Fakt zv yazku ob yektiv m1 M1 displaystyle m 1 in M 1 i m2 M2 displaystyle m 2 in M 2 binarnim vidnoshennyam R M1 M2 displaystyle R subset M 1 times M 2 zazvichaj poznachayut za dopomogoyu infiksnogo zapisu m1Rm2 displaystyle m 1 R m 2 Odnomisni unarni vidnoshennya vidpovidayut vlastivostyam abo atributam yak pravilo dlya takih vipadkiv terminologiya vidnoshen ne vikoristovuyetsya Inodi vikoristovuyutsya trimisni vidnoshennya chotirimisni vidnoshennya kvaternarni pro vidnoshennya neviznacheno visokoyi arnosti govoryat yak pro multiarni bagatomisni Universalne vidnoshennya ce vidnoshennya sho zv yazuye usi elementi zadanih mnozhin tobto take sho zbigayetsya z dekartovim dobutkom R M1 M2 Mn displaystyle R M 1 times M 2 times dots M n Nul vidnoshennya vidnoshennya sho ne zv yazuye zhodni elementi tobto porozhnya mnozhina R M1 M2 Mn displaystyle R varnothing subset M 1 times M 2 times dots M n Funkcionalne vidnoshennya vidnoshennya sho utvoryuye funkciyu R M1 M2 Mn Mn 1 displaystyle R subseteq M 1 times M 2 times dots M n dots M n 1 ye funkcionalnim yaksho vikonannya R m1 mn x displaystyle R m 1 dots m n x ta R m1 mn y displaystyle R m 1 dots m n y maye naslidkom x y displaystyle x y ce zabezpechuye yedinist znachennya funkciyi Unarne vidnoshennyaPri n 1 vidnoshennya R M nazivayut odnomisnim abo unarnim Take vidnoshennya chasto nazivayut takozh oznakoyu abo harakteristichnoyu vlastivistyu elementiv mnozhini M Kazhut sho element a M maye oznaku R yaksho a R i R M Binarne vidnoshennyaDokladnishe divis stattyu Binarne vidnoshennya Shiroko vzhivanimi v matematici ta prikladnih naukah ye dvomisni abo binarni vidnoshennya tobto vidnoshennya z n 2 Yaksho elementi a b M znahodyatsya v binarnomu vidnoshenni R tobto viznachena vporyadkovana para a b R to ce chasto zapisuyut u viglyadi aRb Slid zauvazhiti takozh sho binarni vidnoshennya inodi rozglyadayut yak okremij vipadok vidpovidnostej a same yak vidpovidnosti mizh odnakovimi mnozhinami Prikladi binarnih vidnoshen na mnozhini naturalnih chisel N R1 vidnoshennya menshe abo dorivnyuye todi 4 R1 19 5 R1 15 i t d dlya bud yakogo m N R2 vidnoshennya dilitsya na todi 4 R2 2 49 R2 7 m R2 1 dlya bud yakogo m N R3 vidnoshennya ye vzayemno prostimi todi 15 R3 38 366 R3 3121 1001 R3 3612 R4 vidnoshennya skladayutsya z odnakovih cifr todi 127 R4 4721 230 R4 4302 3231 R4 43213311Div takozhBinarne vidnoshennya Vidnoshennya poryadku Vidnoshennya ekvivalentnostiDzherelaKuratovskij K Mostovskij A Teoriya mnozhestv Set Theory Teoria mnogosci M Mir 1970 416 s ros Hausdorf F Teoriya mnozhestv Moskva Leningrad 1937 304 s ISBN 978 5 382 00127 2 ros Vidnoshennya Filosofskij enciklopedichnij slovnik V I Shinkaruk gol redkol ta in Kiyiv Institut filosofiyi imeni Grigoriya Skovorodi NAN Ukrayini Abris 2002 742 s 1000 ekz BBK 87ya2 ISBN 966 531 128 X