Алгебра Йордана

Алгебра Йордана — алгебра над кільцем, в якій справедливі тотожності:

${\displaystyle \ xy=yx}$ — комутативність,

${\displaystyle \ (x^{2}y)x=x^{2}(yx)}$ — тотожність Йордана.

Такі алгебри вперше з'явилися в роботі , присвяченій аксіоматизації основ квантової механіки, а потім знайшли застосування в алгебрі, аналізі і геометрії.

Спеціальні алгебри Йордана

Нехай ${\displaystyle A}$ — асоціативна алгебра над полем характеристики ${\displaystyle \not =2}$. Якщо множення є комутативним, то алгебра буде алгеброю Йордана. Якщо ні, тоді множина ${\displaystyle A}$ з операціями додавання і йорданового множення

${\displaystyle a\circ b=(ab+ba)/2}$

утворює алгебру ${\displaystyle A^{+}}$, яка є алгеброю Йордана.

Алгебри, що є ізоморфними таким алгебрам і їх підалгебрам називаються спеціальними алгебрами Йордана. Згідно з теоремою Ширшова—Кона довільна алгебра Йордана з двома породжуючими елементами є спеціальною.

Проте клас спеціальних алгебр Йордана не є многовидом, тобто не задається тотожністю, оскільки спеціальні алгебри можуть мати неспеціальні гомоморфні образи. Проте, знайдено ряд тотожностей 8-го і 9-го степенів яким задовольняє довільна спеціальна алгебра Йордана і не задовольняють деякі неспеціальні алгебри, а також доведено, що такої тотожності степеня ${\displaystyle \leqslant 7}$ не існує.

Необхідна і достатня умова спеціальності алгебри: алгебра Йордана є спеціальною тоді і тільки тоді коли вона ізоморфно вкладається в алгебру Йордана, кожна зліченна підмножина якої лежить в підалгебрі, породженій двома елементами.

Приклади

1. Множина самоспряжених матриць з дійсними, комплексними, чи кватерніонними елементами і множенням

${\displaystyle \ (xy+yx)/2}$

утворює спеціальну алгебру Йордана.

2. Множина самоспряжених матриць розмірності 3×3 елементами яких є октоніони і множення визначається як

${\displaystyle \ (xy+yx)/2}$,

є неспеціальною алгеброю Йордана розмірності 27.

Примітки

1. P. Jordan, Ueber Verallgemeinerungsmöglichkeiten des Formalismus der Quantenmechanik Nachr. Akad. Wiss. Göttingen. Math. Phys. Kl. I , 41 (1933) pp. 209–217

Література

1. Математическая энциклопедия. В пяти томах. Том 2./ Под ред. И. М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985
2. Jacobson, Nathan (1968), Structure and representations of Jordan algebras, American Mathematical Society Colloquium Publications, Vol. XXXIX, Providence, R.I.: American Mathematical Society, Communications in Algebra 5 (13): 1375–1400
3. Kevin McCrimmon, A Taste of Jordan Algebras, Springer, 2004, . Errata.
4. Richard D. Schafer, An introduction to nonassociative algebras, Courier Dover Publications, 1996, .
5. Springer, Tonny A. (1998), Jordan algebras and algebraic groups, Classics in Mathematics, Berlin, New York: Springer-Verlag,