Ци́фри (від арабського «сифр» («нуль»)) — знаки для запису чисел. Цифра це єдиний окремий символ (такий як «2» або «5») що використовується самостійно, або у комбінації з іншими (такій як «25»), для представлення чисел відповідно до правил деякої позиційної системи числення. Слово «цифра» без уточнення зазвичай означає один із таких знаків: 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (так звані «індійські цифри»). Існують також багато інших варіантів: римські цифри (I V X L C D M), шістнадцяткові цифри (0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F), у деяких мовах, наприклад, в івриті, в давньогрецькій та церковнослов'янській мовах, існує система запису чисел буквами.
Тільки у множині слово «цифри» також може означати числові дані. Наприклад, «подамо такі цифри», «цифри середнього значення» (навіть коли йдеться про одне число, вживають множину).
Огляд
У типовій цифровій системі, число є послідовністю цифр, і може мати довільну довжину. Кожна позиція в такій послідовності має знакомісце, а кожна цифра має значення. Значення числа розраховується шляхом множення кожної цифри у послідовності на значення, що відповідає знакомісцю і сумуванням результатів.
Значення цифр
Кожна цифра в системі чисел представляє ціле значення. Наприклад, у десятковій системі цифра «1» задає ціле число один, а в шістнадцятковій системі, літера «A» задає число десять. Позиційні системи числення мають мати цифри, що задають цілі значення від нуля до значення її , але не включаючи його.
Таким чином, у позиційній десятковій системі, числа від 0 до 9 можна записати відповідними їм цифрами від «0» до «9», де цифра, що записана крайньою праворуч буде знаходитися на позиції, що задає значення «одиниць». Число 12 можна задати цифрою «2» що знаходиться в одиничній позиції, і цифрою «1» в позиції «десятків», ліворуч від «2», а число 312 можна задати трьома цифрами: «3» у позиції «сотень», «1» у позиції «десятків» і «2» у позиції «одиниць».
У Індійсько-арабська система чисел використовують десятковий розділювач, що в деяких регіональних традиціях, наприклад в Англії є крапкою, або в Європі і Україні це кома, для розділення цілої частини і дробової, що позначає знакомісце для одиниць. Кожне знакомісце ліворуч від коми матиме значення аналогічне, як описано вище для звичайного числа де значення цифри множиться на . Аналогічно, кожне наступне значення з правої частини після розділювача буде ділитися на значення основи. Наприклад, для числа 10,34 (представленого у десятковій системі),
- 0 знаходиться одразу ліворуч від розділювача, тобто він знаходиться на знакомісці одиниць;
- 1 ліворуч від одиниць це десятки;
- 3 праворуч від розділювача і ліворуч від одиниць, тому його аналогічно називають місцем, де задаються десяті долі від цілого значення;
- 4 праворуч від десятих, це соті, тобто соте число дробної частини.
Загальне значення числа становить 1 десяток, 0 одиниць, 3 десятих, і 4 сотих. Варто відмітити, що нуль, який не задає ніякого значення числа, необхідний аби зазначити, що цифра 1 знаходиться на місті десяток, а не на знакомісці одиниць.
Значення будь-якої цифри в заданій позиції, що знаходиться в числі можна отримати за допомогою просто розрахунку, який залежить від системи числення. Розрахунок здійснюється шляхом множення даної цифри на базис системи піднесений у степінь n − 1, де n — це позиція цифри відносно розділювача; значення n є додатнім (+), але це лише для тих цифр, що знаходяться ліворуч від розділювача. Цифри, що знаходяться праворуч, помножуються на базис піднесений до негативного ступеня (−) n. Наприклад, для числа 10,34 (що задане у десятковій позиційній системі із базисом 10),
- цифра 1 є другою ліворуч від розділювача, тому її значення розраховується наступним чином,
- 4 є другою цифрою праворуч від розділювача, тому її значення розраховується наступним чином,
Історія
Історія стародавніх цифр
Допоміжні засоби для рахування, особливо із застосування частин тіла (рахування на пальцях), звичайно використовувався в доісторичні часи як і сьогодні. Існувало багато варіацій. Крім рахування за допомогою десяти пальців, в деяких культурах рахували фаланги, суглоби і пальці на ногах також. У культурі [en], що у Новій Гвінеї існує система із 27 різними позиціями верхньої частини тіла для представлення цифр.
Для того, щоб якось записувати числову інформацію, із доісторичних часів використовувалися зарубки на дереві, кістках і камінні. Культури кам'яної доби, включаючи стародавніх індіанців Америки, використовували зарубки для азартних ігор, особистих підрахунків і торгівлі.
Метод записування інформації на глині був винайдений Шумерами між 8000 і 3500 рр. до н. е. Вони робили не великі глиняні знаки різної форми, які нанизувалися як бісер на нитку. Починаючи з 3500 р. до н. е., глиняні фігурки були замінені цифровими знаками вдавленими круглим стилусом під різними кутами на глиняних дощечках, які потім запікали. Згодом близько 3100 р. до н. е., письмові цифри перестали пов'язуватися із речами які підраховуються і почали використовуватися як абстрактні числа.
Між 2700 і 2000 рр. до н. е., у Шумерів, круглий стилус поступово замінили на загострений, який використовувався для витискання клиноподібних знаків на глині. Ці клиноподібні знаки цифр нагадували круглі знаки, які вони замінили і зберегли принцип додавання круглих числових знаків. Ця система поступово перетворилися на загальну шістдесяткову систему числення; і це була позиційна система цифр, що складалася із лише двох символів: вертикального клина і шеврона, в якій також можна було записувати дріб. Ця шістдесяткова система числення набула повного розвитку у початок періоду Старого Вавилону (приблизно 1950 р. до н. е.) і стала стандартною у Вавилонії.
Шістдесяткові цифри мали змішану основу. До 1950 до н. е., ця система стала позиційною системою. Шістдесятирічні цифри почали широко використовувати в торгівлі, а також у астрономічних і інших розрахунках. Ця система широко розповсюдилася із Вавилонії і почала використовуватися по всій Месопотамії, та згодом у кожному середземноморському краї використовували стандартні вавилонські одиниці вимірювання і підрахунку, включаючи Грецію, Рим і Єгипет. Вавилонський стиль шістдесяткової нотації досі використовується в сучасному світі для вимірювання часу (хвилин на годину) і кутів (градуси).
Зародження сучасної позиційної системи числення
Першою справжньою письмовою позиційною системою числення вважається була Індійсько-арабська система чисел. Ця система була створена у VII столітті в Індії, але ще не мала її сучасної форми, оскільки використання цифри нуль, ще не було загальноприйнятим. Замість нуля, на знакомісці залишали точку. Перше загально визнане використання нуля було уже в 876 р. Тодішні первотворені цифри були дуже схожі на сучасні, навіть гліфи що використовувалися для зображення цифр.
До XIII століття індо-арабські цифри були прийняті в колах європейських математиків (Фібоначчі використовував їх у своїй Книзі абака). У загальне користування вони почали входити у XV столітті. До кінця XX століття практично усі обчислення (не комп'ютеризовані) здійснювалися з використанням арабських цифр, які замінили собою національні цифрові системи більшості культур.
Інші історичні системи числення, що використовували цифри
Точний вік системи числення мая не відомий, але можливо, що вона була старшою за Індійсько-арабську систему. Ця система була двадцятковою (із основою 20), тому вона мала 20 цифр. Цифрові знаки, які утворювали число, вони записували вертикально, знизу до верху. Оскільки система числення була двадцятковою, то кожна цифра наступної вищої позиції, або порядку, була в двадцять разів більшою від своєї сусідки з нижчої позиції. Якби мая користувалися десятковою системою, ця цифра була б більшою не в двадцять разів, а тільки вдесятеро. На першій позиції (лінійці) стояли одиниці, на другій — двадцятки і т. д. Мая використовували особливий пустий символ для представлення нуля. Вони не мали еквіваленту сучасному десятковому розділювачу, тому в їхній системі не можна було представити дрібні числа.
[en] є ідентичною до Індійсько-арабської системи числення за виключенням символів, які використовувалися для написання цифр. Викорисатання цих цифр стало менш поширеним у Таїланді ніж це було колись, але вони досі використовуються разом із Індійсько-арабськими числами.
Цифри у вигляді паличок, що були письмовою формою рахункових паличок, що колись використовувалися в китайській та японській математиці, були десятковою позиційною системою, у якій можна було представляти не лише нуль а і від'ємні числа. Рахункові палички самі по собі існували раніше ніж Індійсько-арабська система. Цифри Сучжоу є також варіантом цифр у вигляді паличок.
0 | 1 | 2 | 3 | 4 | 5 | 6 | 7 | 8 | 9 |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
–0 | –1 | –2 | –3 | –4 | –5 | –6 | –7 | –8 | –9 |
Старослов'янська система числення
У старослов'янській системі числення, до появи сучасних цифр для позначення числових значень використовувалися літери алфавіту. Для того, щоб позначити що якийсь запис із літер, який задає число, зазвичай над кожною літерою або над усією послідовністю літер, що записувала число буквами, ставився особливий знак — титло. Тисячі і сотні позначалися окремим знаком. Така система запису була позиційною і десятковою, де цифри записувалися в тому порядку в якому число читалося.
Національні варіанти арабсько-індійських десяткових цифр
A | B | C | D | E | F | G | H | I | J | K | L | M | N | O | P | Q | R | S | T |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
0 | ٠ | ۰ | ० | ০ | ੦ | ૦ | ୦ | ௦ | ౦ | ೦ | ൦ | ๐ | ໐ | ༠ | ၀ | ០ | ᠐ | ᥆ | ᧐ |
1 | ١ | ۱ | १ | ১ | ੧ | ૧ | ୧ | ௧ | ౧ | ೧ | ൧ | ๑ | ໑ | ༡ | ၁ | ១ | ᠑ | ᥇ | ᧑ |
2 | ٢ | ۲ | २ | ২ | ੨ | ૨ | ୨ | ௨ | ౨ | ೨ | ൨ | ๒ | ໒ | ༢ | ၂ | ២ | ᠒ | ᥈ | ᧒ |
3 | ٣ | ۳ | ३ | ৩ | ੩ | ૩ | ୩ | ௩ | ౩ | ೩ | ൩ | ๓ | ໓ | ༣ | ၃ | ៣ | ᠓ | ᥉ | ᧓ |
4 | ٤ | ۴ | ४ | ৪ | ੪ | ૪ | ୪ | ௪ | ౪ | ೪ | ൪ | ๔ | ໔ | ༤ | ၄ | ៤ | ᠔ | ᥊ | ᧔ |
5 | ٥ | ۵ | ५ | ৫ | ੫ | ૫ | ୫ | ௫ | ౫ | ೫ | ൫ | ๕ | ໕ | ༥ | ၅ | ៥ | ᠕ | ᥋ | ᧕ |
6 | ٦ | ۶ | ६ | ৬ | ੬ | ૬ | ୬ | ௬ | ౬ | ೬ | ൬ | ๖ | ໖ | ༦ | ၆ | ៦ | ᠖ | ᥌ | ᧖ |
7 | ٧ | ۷ | ७ | ৭ | ੭ | ૭ | ୭ | ௭ | ౭ | ೭ | ൭ | ๗ | ໗ | ༧ | ၇ | ៧ | ᠗ | ᥍ | ᧗ |
8 | ٨ | ۸ | ८ | ৮ | ੮ | ૮ | ୮ | ௮ | ౮ | ೮ | ൮ | ๘ | ໘ | ༨ | ၈ | ៨ | ᠘ | ᥎ | ᧘ |
9 | ٩ | ۹ | ९ | ৯ | ੯ | ૯ | ୯ | ௯ | ౯ | ೯ | ൯ | ๙ | ໙ | ༩ | ၉ | ៩ | ᠙ | ᥏ | ᧙ |
A — стандартні європейські, B — арабські, C — східно-арабські, D — деванагарі, E — бенгальські, F — ґурмукхі, G — гуджараті, H — орія, I — тамільські, J — телугу, K — каннада, L — малаялі, M — тайські, N — лаоські, O — тибетські, Р — бірманські, Q — кхмерські, R — монгольські, S — лімбу, T — нове тайське письмо ли.
Цифри у математиці
Не зважаючи на значну роль цифр у описання чисел, вони відносно не є важливими у сучасній математиці. Тим не менш, існує декілька важливих математичних понять, які використовують форму представлення числа як послідовність цифр.
Цифрові корені
Цифровий корінь, це однозначне число, що отримується шляхом сумування усіх цифр заданого числа, потім сумуванням цифр отриманого результату, і так далі доки не залишиться одна єдина цифра в результаті.
Порівнювання за модулем (основою) дев'ять
[en] це процедура, що дозволяє перевірити правильність виконаної арифметичної дії. Аби описати його, нехай представляє собою функцію, що розраховує цифровий корінь числа , як описано вище. Даний метод використовує правило, що якщо , тоді . У процесі порівняння за модулем дев'ять, розраховуються обидві частини рівняння, і якщо вони не є рівними, тоді додавання було виконане не вірно.
Реп'юніти і репцифри
Реп'юніти це цілі числа, що представлені однією цифрою 1. Наприклад, 1111 (одна тисяча сто одинадцять) є реп'юнітом. [en] є узагальненим поняттям для реп'юнітів; це такі цілі числа, що представлені однією однаковою цифрою. Наприклад, 333 є репцифрою. Основний інтерес, який для математиків складають реп'юніти це прості числа.
Див. також
Примітки
- O'Connor, J. J. and Robertson, E. F. Arabic Numerals. January 2001. Retrieved on 2007-02-20.
- «Українське небо: Студії над історією астрономії в Україні», Інститут прикладних проблем механіки і математики ім. Я. С. Підстригача НАН України, ред. О. Петрука, Львів 2014.
- Weisstein, Eric W. Repunit(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ci fri vid arabskogo sifr nul znaki dlya zapisu chisel Cifra ce yedinij okremij simvol takij yak 2 abo 5 sho vikoristovuyetsya samostijno abo u kombinaciyi z inshimi takij yak 25 dlya predstavlennya chisel vidpovidno do pravil deyakoyi pozicijnoyi sistemi chislennya Slovo cifra bez utochnennya zazvichaj oznachaye odin iz takih znakiv 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 tak zvani indijski cifri Isnuyut takozh bagato inshih variantiv rimski cifri I V X L C D M shistnadcyatkovi cifri 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 A B C D E F u deyakih movah napriklad v ivriti v davnogreckij ta cerkovnoslov yanskij movah isnuye sistema zapisu chisel bukvami Tilki u mnozhini slovo cifri takozh mozhe oznachati chislovi dani Napriklad podamo taki cifri cifri serednogo znachennya navit koli jdetsya pro odne chislo vzhivayut mnozhinu OglyadU tipovij cifrovij sistemi chislo ye poslidovnistyu cifr i mozhe mati dovilnu dovzhinu Kozhna poziciya v takij poslidovnosti maye znakomisce a kozhna cifra maye znachennya Znachennya chisla rozrahovuyetsya shlyahom mnozhennya kozhnoyi cifri u poslidovnosti na znachennya sho vidpovidaye znakomiscyu i sumuvannyam rezultativ Znachennya cifr Kozhna cifra v sistemi chisel predstavlyaye cile znachennya Napriklad u desyatkovij sistemi cifra 1 zadaye cile chislo odin a v shistnadcyatkovij sistemi litera A zadaye chislo desyat Pozicijni sistemi chislennya mayut mati cifri sho zadayut cili znachennya vid nulya do znachennya yiyi ale ne vklyuchayuchi jogo Takim chinom u pozicijnij desyatkovij sistemi chisla vid 0 do 9 mozhna zapisati vidpovidnimi yim ciframi vid 0 do 9 de cifra sho zapisana krajnoyu pravoruch bude znahoditisya na poziciyi sho zadaye znachennya odinic Chislo 12 mozhna zadati cifroyu 2 sho znahoditsya v odinichnij poziciyi i cifroyu 1 v poziciyi desyatkiv livoruch vid 2 a chislo 312 mozhna zadati troma ciframi 3 u poziciyi soten 1 u poziciyi desyatkiv i 2 u poziciyi odinic U Indijsko arabska sistema chisel vikoristovuyut desyatkovij rozdilyuvach sho v deyakih regionalnih tradiciyah napriklad v Angliyi ye krapkoyu abo v Yevropi i Ukrayini ce koma dlya rozdilennya ciloyi chastini i drobovoyi sho poznachaye znakomisce dlya odinic Kozhne znakomisce livoruch vid komi matime znachennya analogichne yak opisano vishe dlya zvichajnogo chisla de znachennya cifri mnozhitsya na Analogichno kozhne nastupne znachennya z pravoyi chastini pislya rozdilyuvacha bude dilitisya na znachennya osnovi Napriklad dlya chisla 10 34 predstavlenogo u desyatkovij sistemi 0 znahoditsya odrazu livoruch vid rozdilyuvacha tobto vin znahoditsya na znakomisci odinic 1 livoruch vid odinic ce desyatki 3 pravoruch vid rozdilyuvacha i livoruch vid odinic tomu jogo analogichno nazivayut miscem de zadayutsya desyati doli vid cilogo znachennya 4 pravoruch vid desyatih ce soti tobto sote chislo drobnoyi chastini Zagalne znachennya chisla stanovit 1 desyatok 0 odinic 3 desyatih i 4 sotih Varto vidmititi sho nul yakij ne zadaye niyakogo znachennya chisla neobhidnij abi zaznachiti sho cifra 1 znahoditsya na misti desyatok a ne na znakomisci odinic Znachennya bud yakoyi cifri v zadanij poziciyi sho znahoditsya v chisli mozhna otrimati za dopomogoyu prosto rozrahunku yakij zalezhit vid sistemi chislennya Rozrahunok zdijsnyuyetsya shlyahom mnozhennya danoyi cifri na bazis sistemi pidnesenij u stepin n 1 de n ce poziciya cifri vidnosno rozdilyuvacha znachennya n ye dodatnim ale ce lishe dlya tih cifr sho znahodyatsya livoruch vid rozdilyuvacha Cifri sho znahodyatsya pravoruch pomnozhuyutsya na bazis pidnesenij do negativnogo stupenya n Napriklad dlya chisla 10 34 sho zadane u desyatkovij pozicijnij sistemi iz bazisom 10 cifra 1 ye drugoyu livoruch vid rozdilyuvacha tomu yiyi znachennya rozrahovuyetsya nastupnim chinom n 1 2 1 1 displaystyle n 1 2 1 1 1 101 10 displaystyle 1 times 10 1 10 4 ye drugoyu cifroyu pravoruch vid rozdilyuvacha tomu yiyi znachennya rozrahovuyetsya nastupnim chinom n 2 displaystyle n 2 4 10 2 4100 displaystyle 4 times 10 2 frac 4 100 IstoriyaIstoriya starodavnih cifr Dopomizhni zasobi dlya rahuvannya osoblivo iz zastosuvannya chastin tila rahuvannya na palcyah zvichajno vikoristovuvavsya v doistorichni chasi yak i sogodni Isnuvalo bagato variacij Krim rahuvannya za dopomogoyu desyati palciv v deyakih kulturah rahuvali falangi suglobi i palci na nogah takozh U kulturi en sho u Novij Gvineyi isnuye sistema iz 27 riznimi poziciyami verhnoyi chastini tila dlya predstavlennya cifr Dlya togo shob yakos zapisuvati chislovu informaciyu iz doistorichnih chasiv vikoristovuvalisya zarubki na derevi kistkah i kaminni Kulturi kam yanoyi dobi vklyuchayuchi starodavnih indianciv Ameriki vikoristovuvali zarubki dlya azartnih igor osobistih pidrahunkiv i torgivli Metod zapisuvannya informaciyi na glini buv vinajdenij Shumerami mizh 8000 i 3500 rr do n e Voni robili ne veliki glinyani znaki riznoyi formi yaki nanizuvalisya yak biser na nitku Pochinayuchi z 3500 r do n e glinyani figurki buli zamineni cifrovimi znakami vdavlenimi kruglim stilusom pid riznimi kutami na glinyanih doshechkah yaki potim zapikali Zgodom blizko 3100 r do n e pismovi cifri perestali pov yazuvatisya iz rechami yaki pidrahovuyutsya i pochali vikoristovuvatisya yak abstraktni chisla Mizh 2700 i 2000 rr do n e u Shumeriv kruglij stilus postupovo zaminili na zagostrenij yakij vikoristovuvavsya dlya vitiskannya klinopodibnih znakiv na glini Ci klinopodibni znaki cifr nagaduvali krugli znaki yaki voni zaminili i zberegli princip dodavannya kruglih chislovih znakiv Cya sistema postupovo peretvorilisya na zagalnu shistdesyatkovu sistemu chislennya i ce bula pozicijna sistema cifr sho skladalasya iz lishe dvoh simvoliv vertikalnogo klina i shevrona v yakij takozh mozhna bulo zapisuvati drib Cya shistdesyatkova sistema chislennya nabula povnogo rozvitku u pochatok periodu Starogo Vavilonu priblizno 1950 r do n e i stala standartnoyu u Vaviloniyi Shistdesyatkovi cifri mali zmishanu osnovu Do 1950 do n e cya sistema stala pozicijnoyu sistemoyu Shistdesyatirichni cifri pochali shiroko vikoristovuvati v torgivli a takozh u astronomichnih i inshih rozrahunkah Cya sistema shiroko rozpovsyudilasya iz Vaviloniyi i pochala vikoristovuvatisya po vsij Mesopotamiyi ta zgodom u kozhnomu seredzemnomorskomu krayi vikoristovuvali standartni vavilonski odinici vimiryuvannya i pidrahunku vklyuchayuchi Greciyu Rim i Yegipet Vavilonskij stil shistdesyatkovoyi notaciyi dosi vikoristovuyetsya v suchasnomu sviti dlya vimiryuvannya chasu hvilin na godinu i kutiv gradusi Zarodzhennya suchasnoyi pozicijnoyi sistemi chislennya Pershoyu spravzhnoyu pismovoyu pozicijnoyu sistemoyu chislennya vvazhayetsya bula Indijsko arabska sistema chisel Cya sistema bula stvorena u VII stolitti v Indiyi ale she ne mala yiyi suchasnoyi formi oskilki vikoristannya cifri nul she ne bulo zagalnoprijnyatim Zamist nulya na znakomisci zalishali tochku Pershe zagalno viznane vikoristannya nulya bulo uzhe v 876 r Todishni pervotvoreni cifri buli duzhe shozhi na suchasni navit glifi sho vikoristovuvalisya dlya zobrazhennya cifr Do XIII stolittya indo arabski cifri buli prijnyati v kolah yevropejskih matematikiv Fibonachchi vikoristovuvav yih u svoyij Knizi abaka U zagalne koristuvannya voni pochali vhoditi u XV stolitti Do kincya XX stolittya praktichno usi obchislennya ne komp yuterizovani zdijsnyuvalisya z vikoristannyam arabskih cifr yaki zaminili soboyu nacionalni cifrovi sistemi bilshosti kultur Inshi istorichni sistemi chislennya sho vikoristovuvali cifri Cifri chislovoyi sistemi movi maya ciframi ye 0 19 reshta zapisani nimi chisla Tochnij vik sistemi chislennya maya ne vidomij ale mozhlivo sho vona bula starshoyu za Indijsko arabsku sistemu Cya sistema bula dvadcyatkovoyu iz osnovoyu 20 tomu vona mala 20 cifr Cifrovi znaki yaki utvoryuvali chislo voni zapisuvali vertikalno znizu do verhu Oskilki sistema chislennya bula dvadcyatkovoyu to kozhna cifra nastupnoyi vishoyi poziciyi abo poryadku bula v dvadcyat raziv bilshoyu vid svoyeyi susidki z nizhchoyi poziciyi Yakbi maya koristuvalisya desyatkovoyu sistemoyu cya cifra bula b bilshoyu ne v dvadcyat raziv a tilki vdesyatero Na pershij poziciyi linijci stoyali odinici na drugij dvadcyatki i t d Maya vikoristovuvali osoblivij pustij simvol dlya predstavlennya nulya Voni ne mali ekvivalentu suchasnomu desyatkovomu rozdilyuvachu tomu v yihnij sistemi ne mozhna bulo predstaviti dribni chisla en ye identichnoyu do Indijsko arabskoyi sistemi chislennya za viklyuchennyam simvoliv yaki vikoristovuvalisya dlya napisannya cifr Vikorisatannya cih cifr stalo mensh poshirenim u Tayilandi nizh ce bulo kolis ale voni dosi vikoristovuyutsya razom iz Indijsko arabskimi chislami Cifri u viglyadi palichok sho buli pismovoyu formoyu rahunkovih palichok sho kolis vikoristovuvalisya v kitajskij ta yaponskij matematici buli desyatkovoyu pozicijnoyu sistemoyu u yakij mozhna bulo predstavlyati ne lishe nul a i vid yemni chisla Rahunkovi palichki sami po sobi isnuvali ranishe nizh Indijsko arabska sistema Cifri Suchzhou ye takozh variantom cifr u viglyadi palichok Palichkovi cifri vertikalni 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9Staroslov yanska sistema chislennya Dokladnishe Staroslov yanska sistema chislennya Prikladi zapisu chisel kiriliceyu U staroslov yanskij sistemi chislennya do poyavi suchasnih cifr dlya poznachennya chislovih znachen vikoristovuvalisya literi alfavitu Dlya togo shob poznachiti sho yakijs zapis iz liter yakij zadaye chislo zazvichaj nad kozhnoyu literoyu abo nad usiyeyu poslidovnistyu liter sho zapisuvala chislo bukvami stavivsya osoblivij znak titlo Tisyachi i sotni poznachalisya okremim znakom Taka sistema zapisu bula pozicijnoyu i desyatkovoyu de cifri zapisuvalisya v tomu poryadku v yakomu chislo chitalosya Nacionalni varianti arabsko indijskih desyatkovih cifr A B C D E F G H I J K L M N O P Q R S T 0 ٠ ۰ ० ০ ੦ ૦ ୦ ௦ ౦ ೦ ൦ 0 ໐ ༠ ၀ ០ ᠐ ᥆ ᧐1 ١ ۱ १ ১ ੧ ૧ ୧ ௧ ౧ ೧ ൧ 1 ໑ ༡ ၁ ១ ᠑ ᥇ ᧑2 ٢ ۲ २ ২ ੨ ૨ ୨ ௨ ౨ ೨ ൨ 2 ໒ ༢ ၂ ២ ᠒ ᥈ ᧒3 ٣ ۳ ३ ৩ ੩ ૩ ୩ ௩ ౩ ೩ ൩ 3 ໓ ༣ ၃ ៣ ᠓ ᥉ ᧓4 ٤ ۴ ४ ৪ ੪ ૪ ୪ ௪ ౪ ೪ ൪ 4 ໔ ༤ ၄ ៤ ᠔ ᥊ ᧔5 ٥ ۵ ५ ৫ ੫ ૫ ୫ ௫ ౫ ೫ ൫ 5 ໕ ༥ ၅ ៥ ᠕ ᥋ ᧕6 ٦ ۶ ६ ৬ ੬ ૬ ୬ ௬ ౬ ೬ ൬ 6 ໖ ༦ ၆ ៦ ᠖ ᥌ ᧖7 ٧ ۷ ७ ৭ ੭ ૭ ୭ ௭ ౭ ೭ ൭ 7 ໗ ༧ ၇ ៧ ᠗ ᥍ ᧗8 ٨ ۸ ८ ৮ ੮ ૮ ୮ ௮ ౮ ೮ ൮ 8 ໘ ༨ ၈ ៨ ᠘ ᥎ ᧘9 ٩ ۹ ९ ৯ ੯ ૯ ୯ ௯ ౯ ೯ ൯ 9 ໙ ༩ ၉ ៩ ᠙ ᥏ ᧙ A standartni yevropejski B arabski C shidno arabski D devanagari E bengalski F gurmukhi G gudzharati H oriya I tamilski J telugu K kannada L malayali M tajski N laoski O tibetski R birmanski Q khmerski R mongolski S limbu T nove tajske pismo li Cifri u matematiciNe zvazhayuchi na znachnu rol cifr u opisannya chisel voni vidnosno ne ye vazhlivimi u suchasnij matematici Tim ne mensh isnuye dekilka vazhlivih matematichnih ponyat yaki vikoristovuyut formu predstavlennya chisla yak poslidovnist cifr Cifrovi koreni Dokladnishe Cifrovij korin Cifrovij korin ce odnoznachne chislo sho otrimuyetsya shlyahom sumuvannya usih cifr zadanogo chisla potim sumuvannyam cifr otrimanogo rezultatu i tak dali doki ne zalishitsya odna yedina cifra v rezultati Porivnyuvannya za modulem osnovoyu dev yat en ce procedura sho dozvolyaye pereviriti pravilnist vikonanoyi arifmetichnoyi diyi Abi opisati jogo nehaj f x displaystyle f x predstavlyaye soboyu funkciyu sho rozrahovuye cifrovij korin chisla x displaystyle x yak opisano vishe Danij metod vikoristovuye pravilo sho yaksho A B C displaystyle A B C todi f f A f B f C displaystyle f f A f B f C U procesi porivnyannya za modulem dev yat rozrahovuyutsya obidvi chastini rivnyannya i yaksho voni ne ye rivnimi todi dodavannya bulo vikonane ne virno Rep yuniti i repcifri Dokladnishe Rep yuniti Rep yuniti ce cili chisla sho predstavleni odniyeyu cifroyu 1 Napriklad 1111 odna tisyacha sto odinadcyat ye rep yunitom en ye uzagalnenim ponyattyam dlya rep yunitiv ce taki cili chisla sho predstavleni odniyeyu odnakovoyu cifroyu Napriklad 333 ye repcifroyu Osnovnij interes yakij dlya matematikiv skladayut rep yuniti ce prosti chisla Div takozhChisloPrimitkiO Connor J J and Robertson E F Arabic Numerals January 2001 Retrieved on 2007 02 20 Ukrayinske nebo Studiyi nad istoriyeyu astronomiyi v Ukrayini Institut prikladnih problem mehaniki i matematiki im Ya S Pidstrigacha NAN Ukrayini red O Petruka Lviv 2014 Weisstein Eric W Repunit angl na sajti Wolfram MathWorld Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi