Теорема Безу — твердження в алгебричній геометрії, що описує кількість спільних точок, або точок перетину, двох плоских алгебричних кривих, які не мають спільної компоненти (тобто не мають нескінченно багато спільних точок). Теорема стверджує, що кількість спільних точок таких кривих не перевищує добутку їх степенів, і має місце рівність, якщо враховувати нескінченно віддалені точки і точки з комплексними координатами (або, більш загально, з координатами з алгебричного замикання основного поля), і якщо точки враховувати з кратностями, рівними [en].
Теоремою Безу також називають узагальнення на вищі розмірності: нехай є n однорідних многочленів від n + 1 змінної, степенів , які задають n гіперповерхонь в проєктивному просторі розмірності n. Якщо кількість точок перетину гіперповерхонь є скінченною над алгебричним замиканням основного поля, то вона рівна з урахуванням кратності. Як і в випадку кривих на площині, для афінних гіперповерхонь, якщо не враховувати кратності і нескінченно віддалені точки, теорема дає тільки верхню межу на кількість точок, яка часто досягається. Вона відома як межа Безу.
Твердження теореми
Нехай X і Y — дві плоскі алгебричні криві, задані над полем F, які не мають спільної компоненти (ця умова означає, що X і Y визначено многочленами, найбільший спільний дільник яких є константою; зокрема, це вірно для двох «загальних» кривих). Тоді загальна кількість точок перетину X і Y з координатами в алгебраїчно замкнутому полі E, що містить F, порахована з урахуванням кратності, дорівнює добутку степенів X і Y.
Узагальнення на вищі розмірності може бути сформульовано таким чином:
Нехай дано n проєктивних гіперповерхонь в проєктивному просторі розмірності n над алгебрично замкнутим полем, задані n однорідними многочленами від n + 1 змінної, степенів Тоді або кількість точок перетину є нескінченною, або ця кількість, порахована з урахуванням кратності, дорівнює добутку
Якщо гіперповерхні приводиться і знаходяться в загальному положенні, то є
точок перетину, всі з кратністю 1.
Індекс перетину
Найбільш тонкою частиною теореми Безу і її узагальнень на випадок k алгебричних гіперповерхонь в k-вимірному проєктивному просторі є процедура зіставлення точкам перетину правильних кратностей. Якщо P — спільна точка двох плоских алгебричних кривих X і Y, яка є неособливою точкою обох з них, причому дотичні X і Y в точці P різні, то індекс перетину є рівним 1. Це відповідає випадку «трансверсального перетину». Якщо криві X і Y мають спільну дотичну в точці P, то кратність дорівнює як мінімум 2.
Існують різні варіанти означення кратності перетину плоских кривих. Наприклад якщо є двома кривими у
, що не мають спільної компоненти і
— їх спільна точка, То можна розглянути локальне кільце
. Це кільце складається з раціональних функцій від двох змінних, знаменник яких не рівний нулю в точці P. Тоді фактор-кільце
за ідеалом, породженим многочленами
є
-векторним простором скінченної розмірності. Розмірність цього простору і називається індексом перетину кривих
у точці
.
Якщо позначити індекс перетину однорідних многочленів у точці
як
то твердження теореми Безу для плоских кривих можна записати як:
Приклади
- Дві різні непаралельні прямі (що лежать в одній площині) завжди перетинаються рівно в одній точці. Дві паралельні прямі перетинаються в єдиній нескінченно віддаленій точці. Наприклад у проєктивному просторі прямі x + 2y = 3 і x + 2y = 5 задаються однорідними рівняннями x + 2y - 3z = 0 і x + 2y - 5z = 0. Розв'язуючи цю систему рівнянь, отримуємо x = -2y і z = 0, що відповідає точці (-2: 1: 0) в однорідних координатах. Так як координата z дорівнює 0, ця точка лежить на нескінченно віддаленій прямій.
- Окремий випадок, коли одна з кривих є прямою, може бути виведений з основної теореми алгебри. У цьому випадку теорема стверджує, що алгебрична крива степеня n перетинає дану пряму в n точках з урахуванням кратності. Наприклад, парабола, задана рівнянням y - x2 = 0, має степінь 2; пряма y - ax = 0 має степінь 1, і вони перетинаються рівно в двох точках, якщо a ≠ 0, і дотикаються в початку координат (перетинаються з кратністю два), якщо a = 0.
- Два конічні перетини перетинаються в загальному випадку в 4 точках, деякі з яких можуть збігатися. Щоб правильно порахувати всі точки перетину, потрібно ввести комплексні координати і врахувати точки, що лежать на нескінченно віддаленій прямій в проєктивній площині. Наприклад:
- Два кола ніколи не перетинаються більш ніж в двох точках на дійсній площині, тоді як згідно теореми Безу має бути чотири. Невідповідність виникає через те, що будь-яке коло проходить через дві фіксовані комплексні нескінченно віддалені точки. Записуючи рівняння кола
- в однорідних координатах, отримуємо
- звідки видно, що дві точки (1: i: 0) і (1: - i: 0 ) лежать на будь-якому колі. Коли два кола не перетинаються у дійсній площині, дві інші точки перетину мають ненульові уявні частини, або якщо два кола мають єдиний центр, то вони перетинаються в двох нескінченних точках з кратністю два.
- Будь-яка коніка, відповідно до теореми, повинна перетинати нескінченно віддалену пряму в двох точках. Гіпербола перетинає її в двох дійсних точках, що відповідають двом напрямкам асимптот. Еліпс перетинає її в двох комплексно спряжених комплексних точках — у випадку кола, в точках (1: i: 0) і (1: - i: 0). Парабола перетинає її тільки в одній точці яка є точкою дотику і тому рахується двічі.
- У прикладах нижче коло задане рівнянням x2+y2-1=0 і еліпси перетинаються у точках з кратністю перетину більшою 1:
![]() x2+4y2-1=0 Дві спільні точки з кратністю перетину 2 | ![]() 5x2+6xy+5y2+6y-5=0 Точки з кратністю 1 і кратністю 3 | ![]() 4x2+y2+6x+2=0 Точка з кратністю перетину 4 |
Нарис доведення
Доведення теореми Безу загалом залежить від означення індексу перетину в точці і в загальному випадку може бути досить складним. Відносно просто можна довести, що кількість точок перетину є не більшою, ніж добуток їх степенів mn. Виберемо спершу точку S, що не належить жодній із кривих і довільну пряму L, таку, що . Через заміну проєктивних координат можна вважати, що S = (0: 0: 1) і L є прямою z = 0. Кожна пряма L', що проходить через точку S і довільну точку перетину кривих X і Y може містити лише скінченну кількість точок перетину цих кривих оскільки у них немає спільних компонент. Якщо (x: y: z) — координати згаданої вище точки перетину, то пряма L' перетинається з прямою z = 0 у точці (x: y: 0) (інакше кажучи (x: y: 0) є проєкцією точки перетину з точки S на пряму z = 0).
Запишемо рівняння для X і Y в однорідних координатах (після можливого перетворення координат) як
де ai і bi — однорідний многочлен степеня i від x і y. Оскільки точка S = (0: 0: 1) не належить жодній кривій, то Точка з координатами (x: y: 0) буде проєкцією деякої точки перетину X і Y на пряму z = 0, тоді і тільки тоді коли ці рівняння (як многочлени від z при конкретних значеннях x, y мають спільний корінь). Сформуємо матрицю Сильвестра; наприклад у випадку m = 4, n = 3 вона буде рівною:
Визначник матриці S, який також називається результантом двох многочленів, дорівнює 0 тоді і тільки тоді, коли два рівняння мають спільний розв'язок. Визначник |S| є однорідним многочленом від x і y і одним з його одночленів є (a0)n (bn)m, тому визначник має степінь mn.
Два рівняння вище можуть мають спільний корінь для тих і тільки для тих x і y для яких результант є рівним нулю. За основною теоремою алгебри він може бути розкладений на mn лінійних множників деякі з них можуть бути однаковими. Відповідно може бути щонайбільше mn різних пар координат x і y для кожної з яких результант рівний 0. У кожному з цих випадків (x: y: 0) буде проєкцією деякої точки перетину X і Y на пряму z = 0. Оскільки вона може бути проєкцією лише скінченної кількості точок перетину то загальна кількість точок перетину теж є скінченною.
Щоб довести, що ця кількість не може бути більшою mn треба зауважити, що оскільки кількість точок перетину є скінченною, то скінченною є також кількість прямих, що їх сполучають. Тоді можна обрати таку точку S, що не належить не лише двом алгебричним кривим але і прямим, що сполучають їх точки перетину. Повторюючи попередні аргументи одержуємо щонайбільше mn проєкцій кожна з яких є проєкцією лише однієї точки перетину.
Цей процес також підказує введення індексу перетину при якому виконується теорема Безу. Нехай криві задаються тими ж рівняннями, що і вище і точка (0: 0: 1) не належить жодній із кривих X і Y, а також жодній із прямих, що сполучає їх точки перетину. Тоді для кожної точки перетину (x: y: z) точка (x: y) є коренем однорідного многочлена |S| визначеного як і вище. Навпаки для кожного кореня x: y існує єдина точка перетину кривих X і Y. Індексом перетином у цій точці можна взяти кратність (x: y) як кореня однорідного многочлена. При такому означенні твердження теореми Безу очевидно виконується.
Проблемою є те що означення кратності залежить від координат і доведення його інваріантності при заміні проєктивних координат у загальному випадку не є простим.
Примітки
- Harold Hilton. Plane Algebraic Curves (Oxford 1920), p. 10
Література
- Fulton, William (2008), 5.5 Max Noether's Fundamental Theorem and 5.6 Applications of Noether's Theorem, Algebraic Curves: An Introduction to Algebraic Geometry (PDF), с. 60—65
- C.G. Gibson, Elementary Geometry of Algebraic Curves: An Undergraduate Introduction, Cambridge University Press, 1998.
- Griffiths, Phillip; Harris, Joseph (1978), Principles of Algebraic Geometry, John Wiley & Sons, ISBN .
- Kirwan, Frances (1992). Complex Algebraic Curves. United Kingdom: Cambridge University Press. ISBN .
- Walker, Robert J. (1950), Algebraic Curves, Princeton Mathematical Series, т. 13, Princeton University Press, MR 0033083
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teorema Bezu tverdzhennya v algebrichnij geometriyi sho opisuye kilkist spilnih tochok abo tochok peretinu dvoh ploskih algebrichnih krivih yaki ne mayut spilnoyi komponenti tobto ne mayut neskinchenno bagato spilnih tochok Teorema stverdzhuye sho kilkist spilnih tochok takih krivih ne perevishuye dobutku yih stepeniv i maye misce rivnist yaksho vrahovuvati neskinchenno viddaleni tochki i tochki z kompleksnimi koordinatami abo bilsh zagalno z koordinatami z algebrichnogo zamikannya osnovnogo polya i yaksho tochki vrahovuvati z kratnostyami rivnimi en Teoremoyu Bezu takozh nazivayut uzagalnennya na vishi rozmirnosti nehaj ye n odnoridnih mnogochleniv vid n 1 zminnoyi stepeniv d1 dn displaystyle d 1 ldots d n yaki zadayut n giperpoverhon v proyektivnomu prostori rozmirnosti n Yaksho kilkist tochok peretinu giperpoverhon ye skinchennoyu nad algebrichnim zamikannyam osnovnogo polya to vona rivna d1 dn displaystyle d 1 cdots d n z urahuvannyam kratnosti Yak i v vipadku krivih na ploshini dlya afinnih giperpoverhon yaksho ne vrahovuvati kratnosti i neskinchenno viddaleni tochki teorema daye tilki verhnyu mezhu na kilkist tochok yaka chasto dosyagayetsya Vona vidoma yak mezha Bezu Tverdzhennya teoremiNehaj X i Y dvi ploski algebrichni krivi zadani nad polem F yaki ne mayut spilnoyi komponenti cya umova oznachaye sho X i Y viznacheno mnogochlenami najbilshij spilnij dilnik yakih ye konstantoyu zokrema ce virno dlya dvoh zagalnih krivih Todi zagalna kilkist tochok peretinu X i Y z koordinatami v algebrayichno zamknutomu poli E sho mistit F porahovana z urahuvannyam kratnosti dorivnyuye dobutku stepeniv X i Y Uzagalnennya na vishi rozmirnosti mozhe buti sformulovano takim chinom Nehaj dano n proyektivnih giperpoverhon v proyektivnomu prostori rozmirnosti n nad algebrichno zamknutim polem zadani n odnoridnimi mnogochlenami vid n 1 zminnoyi stepeniv d1 dn displaystyle d 1 ldots d n Todi abo kilkist tochok peretinu ye neskinchennoyu abo cya kilkist porahovana z urahuvannyam kratnosti dorivnyuye dobutku d1 dn displaystyle d 1 cdots d n Yaksho giperpoverhni privoditsya i znahodyatsya v zagalnomu polozhenni to ye d1 dn displaystyle d 1 cdots d n tochok peretinu vsi z kratnistyu 1 Indeks peretinuNajbilsh tonkoyu chastinoyu teoremi Bezu i yiyi uzagalnen na vipadok k algebrichnih giperpoverhon v k vimirnomu proyektivnomu prostori ye procedura zistavlennya tochkam peretinu pravilnih kratnostej Yaksho P spilna tochka dvoh ploskih algebrichnih krivih X i Y yaka ye neosoblivoyu tochkoyu oboh z nih prichomu dotichni X i Y v tochci P rizni to indeks peretinu ye rivnim 1 Ce vidpovidaye vipadku transversalnogo peretinu Yaksho krivi X i Y mayut spilnu dotichnu v tochci P to kratnist dorivnyuye yak minimum 2 Isnuyut rizni varianti oznachennya kratnosti peretinu ploskih krivih Napriklad yaksho F G displaystyle F G ye dvoma krivimi u k X Y displaystyle k X Y sho ne mayut spilnoyi komponenti i P a b displaystyle P a b yih spilna tochka To mozhna rozglyanuti lokalne kilce OP displaystyle O P Ce kilce skladayetsya z racionalnih funkcij vid dvoh zminnih znamennik yakih ne rivnij nulyu v tochci P Todi faktor kilce OP F G displaystyle O P F G za idealom porodzhenim mnogochlenami F G displaystyle F G ye k displaystyle k vektornim prostorom skinchennoyi rozmirnosti Rozmirnist cogo prostoru i nazivayetsya indeksom peretinu krivih V F V G displaystyle V F V G u tochci a b displaystyle a b Yaksho poznachiti indeks peretinu odnoridnih mnogochleniv F G displaystyle F G u tochci P displaystyle P yak I P F G displaystyle I P F cap G to tverdzhennya teoremi Bezu dlya ploskih krivih mozhna zapisati yak P P2 k I P F G deg F deg G displaystyle sum P in mathbb P 2 k I P F cap G deg F cdot deg G PrikladiDvi rizni neparalelni pryami sho lezhat v odnij ploshini zavzhdi peretinayutsya rivno v odnij tochci Dvi paralelni pryami peretinayutsya v yedinij neskinchenno viddalenij tochci Napriklad u proyektivnomu prostori pryami x 2y 3 i x 2y 5 zadayutsya odnoridnimi rivnyannyami x 2y 3z 0 i x 2y 5z 0 Rozv yazuyuchi cyu sistemu rivnyan otrimuyemo x 2y i z 0 sho vidpovidaye tochci 2 1 0 v odnoridnih koordinatah Tak yak koordinata z dorivnyuye 0 cya tochka lezhit na neskinchenno viddalenij pryamij Okremij vipadok koli odna z krivih ye pryamoyu mozhe buti vivedenij z osnovnoyi teoremi algebri U comu vipadku teorema stverdzhuye sho algebrichna kriva stepenya n peretinaye danu pryamu v n tochkah z urahuvannyam kratnosti Napriklad parabola zadana rivnyannyam y x2 0 maye stepin 2 pryama y ax 0 maye stepin 1 i voni peretinayutsya rivno v dvoh tochkah yaksho a 0 i dotikayutsya v pochatku koordinat peretinayutsya z kratnistyu dva yaksho a 0 Dva konichni peretini peretinayutsya v zagalnomu vipadku v 4 tochkah deyaki z yakih mozhut zbigatisya Shob pravilno porahuvati vsi tochki peretinu potribno vvesti kompleksni koordinati i vrahuvati tochki sho lezhat na neskinchenno viddalenij pryamij v proyektivnij ploshini Napriklad Dva kola nikoli ne peretinayutsya bilsh nizh v dvoh tochkah na dijsnij ploshini todi yak zgidno teoremi Bezu maye buti chotiri Nevidpovidnist vinikaye cherez te sho bud yake kolo prohodit cherez dvi fiksovani kompleksni neskinchenno viddaleni tochki Zapisuyuchi rivnyannya kola xa 2 yb 2 r2 displaystyle xa 2 yb 2 r 2 dd v odnoridnih koordinatah otrimuyemo x az 2 y bz 2 r2z2 0 displaystyle x az 2 y bz 2 r 2 z 2 0 dd zvidki vidno sho dvi tochki 1 i 0 i 1 i 0 lezhat na bud yakomu koli Koli dva kola ne peretinayutsya u dijsnij ploshini dvi inshi tochki peretinu mayut nenulovi uyavni chastini abo yaksho dva kola mayut yedinij centr to voni peretinayutsya v dvoh neskinchennih tochkah z kratnistyu dva dd Bud yaka konika vidpovidno do teoremi povinna peretinati neskinchenno viddalenu pryamu v dvoh tochkah Giperbola peretinaye yiyi v dvoh dijsnih tochkah sho vidpovidayut dvom napryamkam asimptot Elips peretinaye yiyi v dvoh kompleksno spryazhenih kompleksnih tochkah u vipadku kola v tochkah 1 i 0 i 1 i 0 Parabola peretinaye yiyi tilki v odnij tochci yaka ye tochkoyu dotiku i tomu rahuyetsya dvichi U prikladah nizhche kolo zadane rivnyannyam x2 y2 1 0 i elipsi peretinayutsya u tochkah z kratnistyu peretinu bilshoyu 1 x2 4y2 1 0 Dvi spilni tochki z kratnistyu peretinu 2 5x2 6xy 5y2 6y 5 0 Tochki z kratnistyu 1 i kratnistyu 3 4x2 y2 6x 2 0 Tochka z kratnistyu peretinu 4Naris dovedennyaDovedennya teoremi Bezu zagalom zalezhit vid oznachennya indeksu peretinu v tochci i v zagalnomu vipadku mozhe buti dosit skladnim Vidnosno prosto mozhna dovesti sho kilkist tochok peretinu ye ne bilshoyu nizh dobutok yih stepeniv mn Viberemo spershu tochku S sho ne nalezhit zhodnij iz krivih i dovilnu pryamu L taku sho S L displaystyle S not in L Cherez zaminu proyektivnih koordinat mozhna vvazhati sho S 0 0 1 i L ye pryamoyu z 0 Kozhna pryama L sho prohodit cherez tochku S i dovilnu tochku peretinu krivih X i Y mozhe mistiti lishe skinchennu kilkist tochok peretinu cih krivih oskilki u nih nemaye spilnih komponent Yaksho x y z koordinati zgadanoyi vishe tochki peretinu to pryama L peretinayetsya z pryamoyu z 0 u tochci x y 0 inakshe kazhuchi x y 0 ye proyekciyeyu tochki peretinu z tochki S na pryamu z 0 Zapishemo rivnyannya dlya X i Y v odnoridnih koordinatah pislya mozhlivogo peretvorennya koordinat yak a0zm a1zm 1 am 1z am 0 displaystyle a 0 z m a 1 z m 1 dots a m 1 z a m 0 b0zn b1zn 1 bn 1z bn 0 displaystyle b 0 z n b 1 z n 1 dots b n 1 z b n 0 de ai i bi odnoridnij mnogochlen stepenya i vid x i y Oskilki tochka S 0 0 1 ne nalezhit zhodnij krivij to a0 0 b0 0 displaystyle a 0 neq 0 b 0 neq 0 Tochka z koordinatami x y 0 bude proyekciyeyu deyakoyi tochki peretinu X i Y na pryamu z 0 todi i tilki todi koli ci rivnyannya yak mnogochleni vid z pri konkretnih znachennyah x y mayut spilnij korin Sformuyemo matricyu Silvestra napriklad u vipadku m 4 n 3 vona bude rivnoyu S a0a1a2a3a4000a0a1a2a3a4000a0a1a2a3a4b0b1b2b30000b0b1b2b30000b0b1b2b30000b0b1b2b3 displaystyle S begin pmatrix a 0 amp a 1 amp a 2 amp a 3 amp a 4 amp 0 amp 0 0 amp a 0 amp a 1 amp a 2 amp a 3 amp a 4 amp 0 0 amp 0 amp a 0 amp a 1 amp a 2 amp a 3 amp a 4 b 0 amp b 1 amp b 2 amp b 3 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp b 0 amp b 1 amp b 2 amp b 3 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp b 0 amp b 1 amp b 2 amp b 3 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp b 0 amp b 1 amp b 2 amp b 3 end pmatrix Viznachnik matrici S yakij takozh nazivayetsya rezultantom dvoh mnogochleniv dorivnyuye 0 todi i tilki todi koli dva rivnyannya mayut spilnij rozv yazok Viznachnik S ye odnoridnim mnogochlenom vid x i y i odnim z jogo odnochleniv ye a0 n bn m tomu viznachnik maye stepin mn Dva rivnyannya vishe mozhut mayut spilnij korin dlya tih i tilki dlya tih x i y dlya yakih rezultant ye rivnim nulyu Za osnovnoyu teoremoyu algebri vin mozhe buti rozkladenij na mn linijnih mnozhnikiv deyaki z nih mozhut buti odnakovimi Vidpovidno mozhe buti shonajbilshe mn riznih par koordinat x i y dlya kozhnoyi z yakih rezultant rivnij 0 U kozhnomu z cih vipadkiv x y 0 bude proyekciyeyu deyakoyi tochki peretinu X i Y na pryamu z 0 Oskilki vona mozhe buti proyekciyeyu lishe skinchennoyi kilkosti tochok peretinu to zagalna kilkist tochok peretinu tezh ye skinchennoyu Shob dovesti sho cya kilkist ne mozhe buti bilshoyu mn treba zauvazhiti sho oskilki kilkist tochok peretinu ye skinchennoyu to skinchennoyu ye takozh kilkist pryamih sho yih spoluchayut Todi mozhna obrati taku tochku S sho ne nalezhit ne lishe dvom algebrichnim krivim ale i pryamim sho spoluchayut yih tochki peretinu Povtoryuyuchi poperedni argumenti oderzhuyemo shonajbilshe mn proyekcij kozhna z yakih ye proyekciyeyu lishe odniyeyi tochki peretinu Cej proces takozh pidkazuye vvedennya indeksu peretinu pri yakomu vikonuyetsya teorema Bezu Nehaj krivi zadayutsya timi zh rivnyannyami sho i vishe i tochka 0 0 1 ne nalezhit zhodnij iz krivih X i Y a takozh zhodnij iz pryamih sho spoluchaye yih tochki peretinu Todi dlya kozhnoyi tochki peretinu x y z tochka x y ye korenem odnoridnogo mnogochlena S viznachenogo yak i vishe Navpaki dlya kozhnogo korenya x y isnuye yedina tochka peretinu krivih X i Y Indeksom peretinom u cij tochci mozhna vzyati kratnist x y yak korenya odnoridnogo mnogochlena Pri takomu oznachenni tverdzhennya teoremi Bezu ochevidno vikonuyetsya Problemoyu ye te sho oznachennya kratnosti zalezhit vid koordinat i dovedennya jogo invariantnosti pri zamini proyektivnih koordinat u zagalnomu vipadku ne ye prostim PrimitkiHarold Hilton Plane Algebraic Curves Oxford 1920 p 10LiteraturaFulton William 2008 5 5 Max Noether s Fundamental Theorem and 5 6 Applications of Noether s Theorem Algebraic Curves An Introduction to Algebraic Geometry PDF s 60 65 C G Gibson Elementary Geometry of Algebraic Curves An Undergraduate Introduction Cambridge University Press 1998 Griffiths Phillip Harris Joseph 1978 Principles of Algebraic Geometry John Wiley amp Sons ISBN 978 0 471 05059 9 Kirwan Frances 1992 Complex Algebraic Curves United Kingdom Cambridge University Press ISBN 0 521 42353 8 Walker Robert J 1950 Algebraic Curves Princeton Mathematical Series t 13 Princeton University Press MR 0033083