В математиці, матрицею Сильвестра називають матрицю елементами якої є нулі, а також певним чином розмішені коефіцієнти двох многочленів.
Означення
Нехай p і q два многочлени, степенів m і n. Візьмемо:
Матрицею Сильвестра для многочленів p і q є матриця розмірності одержана таким чином:
- елементами першого рядка є:
- другий рядок одержується з першого переміщенням елементів на одну позицію вправо; перший елемент рядка рівний нулю.
- наступні (n-2) рядків одержуються подібним чином.
- (n+1)-ий рядок має вигляд:
- Наступні рядки формуються у вже згаданий спосіб.
Наприклад якщо m=4 і n=3, одержуємо наступну матрицю:
Визначник матриці Сильвестра
Теорема Визначник матриці Сильвестра многочленів p і q рівний результанту цих многочленів, де результант визначається як:
де
— корені многочлена p в алгебраїчному замиканні поля, а
— корені многочлена q в алгебраїчному замиканні поля.
Доведення
Розглянемо систему рівнянь
Дана система є системою n+m лінійних рівнянь щодо матрицею яких є матриця Сильвестра. Очевидно, якщо многочлени p і q мають спільний корінь то визначник матриці Сильвестра рівний нулю. Далі оскільки визначник є многочленом від коефіцієнтів многочленів p і q він є також многочленом від їх коренів. Якщо хоч для однієї з n•m пар виконується:
то визначник дорівнюватиме нулю, а значить, як многочлен від коренів многочленів він повинен ділитися на добуток цих різниць, тобто результант є дільником визначника Сильвестра, як многочлен від Проте розписуючи коефіцієнти многочлена через його корені і підставляючи в формулу визначника бачимо, що степінь
не може бути більшою ніж m, а степінь
не може бути більшою ніж n; також не важко бачити, що, наприклад, коефіцієнти біля
в результанта і визначника Сильвестра збігаються і дорівнюють
Звідси і випливає рівність результанта і визначника Сильвестра.
Застосування
Розвязки лінійних рівнянь
де є вектором розмірності
і
вектор розмірності
, є векторами коефіцієнтів єдиних поліномів
(степенів
і
, відповідно) що задовольняють рівність
(в даному рівнянні добуток і сума здійснюються для поліномів). Відповідно ядро транспонованої матриці Сильвестра дає всі розв'язки рівняння Безу and
.
Як наслідок ранг матриці Сильвестра визначає степінь найбільшого спільного дільника многочленів p і q.
м
Джерела
- , . Матричный анализ. — М: : Мир, 1989. — 653 с.(рос.)
- Eric W. Weisstein, Sylvester Matrix [ 21 серпня 2009 у Wayback Machine.] на сайті MathWorld
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
V matematici matriceyu Silvestra nazivayut matricyu elementami yakoyi ye nuli a takozh pevnim chinom rozmisheni koeficiyenti dvoh mnogochleniv OznachennyaNehaj p i q dva mnogochleni stepeniv m i n Vizmemo p z p 0 p 1 z p 2 z 2 p m z m q z q 0 q 1 z q 2 z 2 q n z n displaystyle p z p 0 p 1 z p 2 z 2 cdots p m z m q z q 0 q 1 z q 2 z 2 cdots q n z n Matriceyu Silvestra dlya mnogochleniv p i q ye matricya rozmirnosti n m n m displaystyle n m times n m oderzhana takim chinom elementami pershogo ryadka ye p m p m 1 p 1 p 0 0 0 displaystyle begin pmatrix p m amp p m 1 amp cdots amp p 1 amp p 0 amp 0 amp cdots amp 0 end pmatrix drugij ryadok oderzhuyetsya z pershogo peremishennyam elementiv na odnu poziciyu vpravo pershij element ryadka rivnij nulyu nastupni n 2 ryadkiv oderzhuyutsya podibnim chinom n 1 ij ryadok maye viglyad q n q n 1 q 1 q 0 0 0 displaystyle begin pmatrix q n amp q n 1 amp cdots amp q 1 amp q 0 amp 0 amp cdots amp 0 end pmatrix Nastupni ryadki formuyutsya u vzhe zgadanij sposib Napriklad yaksho m 4 i n 3 oderzhuyemo nastupnu matricyu S p q p 4 p 3 p 2 p 1 p 0 0 0 0 p 4 p 3 p 2 p 1 p 0 0 0 0 p 4 p 3 p 2 p 1 p 0 q 3 q 2 q 1 q 0 0 0 0 0 q 3 q 2 q 1 q 0 0 0 0 0 q 3 q 2 q 1 q 0 0 0 0 0 q 3 q 2 q 1 q 0 displaystyle S p q begin pmatrix p 4 amp p 3 amp p 2 amp p 1 amp p 0 amp 0 amp 0 0 amp p 4 amp p 3 amp p 2 amp p 1 amp p 0 amp 0 0 amp 0 amp p 4 amp p 3 amp p 2 amp p 1 amp p 0 q 3 amp q 2 amp q 1 amp q 0 amp 0 amp 0 amp 0 0 amp q 3 amp q 2 amp q 1 amp q 0 amp 0 amp 0 0 amp 0 amp q 3 amp q 2 amp q 1 amp q 0 amp 0 0 amp 0 amp 0 amp q 3 amp q 2 amp q 1 amp q 0 end pmatrix Viznachnik matrici SilvestraTeorema Viznachnik matrici Silvestra mnogochleniv p i q rivnij rezultantu cih mnogochleniv de rezultant viznachayetsya yak r e s p q p m n q n m 1 i m 1 j n b j a i displaystyle mathrm res p q p m n q n m prod 1 leqslant i leqslant m 1 leqslant j leqslant n beta j alpha i de a j displaystyle alpha j koreni mnogochlena p v algebrayichnomu zamikanni polya a b j displaystyle beta j koreni mnogochlena q v algebrayichnomu zamikanni polya Dovedennya Rozglyanemo sistemu rivnyan x m 1 p x 0 displaystyle x m 1 p x 0 x m 2 p x 0 displaystyle x m 2 p x 0 displaystyle ldots p x 0 displaystyle p x 0 x n 1 q x 0 displaystyle x n 1 q x 0 x n 2 q x 0 displaystyle x n 2 q x 0 displaystyle ldots q x 0 displaystyle q x 0 Dana sistema ye sistemoyu n m linijnih rivnyan shodo x m n 1 x m n 2 1 displaystyle x m n 1 x m n 2 ldots 1 matriceyu yakih ye matricya Silvestra Ochevidno yaksho mnogochleni p i q mayut spilnij korin to viznachnik matrici Silvestra rivnij nulyu Dali oskilki viznachnik ye mnogochlenom vid koeficiyentiv mnogochleniv p i q vin ye takozh mnogochlenom vid yih koreniv Yaksho hoch dlya odniyeyi z n m par vikonuyetsya a i b j 0 1 i m 1 j n displaystyle alpha i beta j 0 quad 1 leq i leq m 1 leq j leq n to viznachnik dorivnyuvatime nulyu a znachit yak mnogochlen vid koreniv mnogochleniv vin povinen dilitisya na dobutok cih riznic tobto rezultant ye dilnikom viznachnika Silvestra yak mnogochlen vid a i b j displaystyle alpha i beta j Prote rozpisuyuchi koeficiyenti mnogochlena cherez jogo koreni i pidstavlyayuchi v formulu viznachnika bachimo sho stepin b j displaystyle beta j ne mozhe buti bilshoyu nizh m a stepin a i displaystyle alpha i ne mozhe buti bilshoyu nizh n takozh ne vazhko bachiti sho napriklad koeficiyenti bilya b j m displaystyle beta j m v rezultanta i viznachnika Silvestra zbigayutsya i dorivnyuyut p m n q n m i 1 m a i n 1 displaystyle p m n q n m prod i 1 m alpha i n 1 Zvidsi i viplivaye rivnist rezultanta i viznachnika Silvestra ZastosuvannyaRozvyazki linijnih rivnyan S p q T x y 0 0 displaystyle S p q mathrm T cdot begin pmatrix x y end pmatrix begin pmatrix 0 0 end pmatrix de x displaystyle x ye vektorom rozmirnosti n displaystyle n i y displaystyle y vektor rozmirnosti m displaystyle m ye vektorami koeficiyentiv yedinih polinomiv x y displaystyle x y stepeniv n 1 displaystyle n 1 i m 1 displaystyle m 1 vidpovidno sho zadovolnyayut rivnist x p y q 0 displaystyle x cdot p y cdot q 0 v danomu rivnyanni dobutok i suma zdijsnyuyutsya dlya polinomiv Vidpovidno yadro transponovanoyi matrici Silvestra daye vsi rozv yazki rivnyannya Bezu deg x lt deg q displaystyle deg x lt deg q and deg y lt deg p displaystyle deg y lt deg p Yak naslidok rang matrici Silvestra viznachaye stepin najbilshogo spilnogo dilnika mnogochleniv p i q deg gcd p q m n r a n k S p q displaystyle deg gcd p q m n mathrm rank S p q mDzherela Matrichnyj analiz M Mir 1989 653 s ros Eric W Weisstein Sylvester Matrix 21 serpnya 2009 u Wayback Machine na sajti MathWorld