Модуль без кручень

Модуль без кручень — модуль ${\displaystyle M}$ над кільцем ${\displaystyle K}$, такий що з рівності ${\displaystyle \alpha m=0}$, де ${\displaystyle \alpha }$ — елемент ${\displaystyle K}$, який не є дільником нуля, і ${\displaystyle m\in M}$, випливає, що ${\displaystyle m=0}$.

Приклади

• Цілісне кільце ${\displaystyle K}$ як ${\displaystyle K}$-модуль, а також всі його ненульові ліві ідеали є модулями без кручень.
• Модуль M над комутативним кільцем K з полем часток Q є модулем без кручень тоді і тільки тоді, коли Tor₁(Q/K,M) = 0. зокрема, всі плоскі модулі є модулями без кручень.
• Над нетеровим цілозамкнутим кільцем довільний скінченнопороджений модуль без кручень має вільний підмодуль фактор-модуль, за яким ізоморфний ідеалу кільця.
• Над кільцем Дедекінда модуль є модулем без кручень тоді і тільки тоді, коли він є проєктивним модулем.
• Єдиними модулями без кручень над областю головних ідеалів є вільні модулі.

Властивості

• модуля без кручень, а також пряма сума і прямий добуток модулів без кручень також є модулями без кручень.
• Якщо кільце ${\displaystyle K}$ є комутативним, то для будь-якого модуля ${\displaystyle M}$ визначений підмодуль кручень

${\displaystyle Tor(M)=\{x\in M:\exists \alpha \in K,\alpha \not =0,\alpha x=0\}.}$

Тоді фактор-модуль ${\displaystyle M/Tor(M)}$ є модулем без кручень.

Див. також

• Вільний модуль
• Плоский модуль
• Скрут (алгебра)

Джерела

• Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Модуль без кручень, Математична енциклопедія, , ISBN 
• Matlis, Eben (1972), Torsion-free modules, The University of Chicago Press, Chicago-London, ISBN , MR 0344237