Група Брауера

У математиці групою Брауера поля k називається група класів еквівалентності скінченновимірних центральних простих алгебр над полем k із груповою операцією заданою тензорним добутком.

Група Брауера була визначена і вивчалася в серії робіт Брауера, Нетер, Алберта, Гассе і інших починаючи з 20-х років 20 століття. Найповніші результати, аж до повного обчислення групи Брауера, були отримані для числових полів у зв'язку з розвитком теорії полів класів. У термінах групи Брауера формулюється загальна форма закону взаємності.

Узагальненням поняття групи Брауера є група Брауера—Гротендіка, що визначається аналогічно група Брауера з заміною центральних простих алгебр на алгебри Адзумаї.

Означення

Алгебра A над полем k називається центральною простою, якщо її центр є рівним k і вона є простим кільцем. Якщо А і В є двома центральними простими алгебрами над полем k, то і їх тензорний добуток ${\displaystyle A\otimes _{k}B}$ є центральною простою алгеброю.

Якщо A є центральною простою алгеброю над полем k то центральною простою алгеброю буде також обернена алгебра, тобто алгебра А^op побудована на тому самому векторному просторі із тією ж адитивною структурою і множенням на скаляр але із множенням заданим як ${\displaystyle (ab)_{A^{op}}=(ba)_{A}.}$ До того ж ${\displaystyle A\otimes _{k}A^{op}\cong M(n,k),}$ де n — розмірність А над полем k.

Згідно теореми Веддерберна скінченновимірна проста алгебра A є ізоморфною матричній алгебрі M(n,S) для деякого тіла S. Дві скінченновимірні центральні прості алгебри A ~ M(n,S) і B ~ M(m,T) над полем F називаються подібними (еквівалентними за Брауером), якщо тіла S і T є ізоморфними.

Еквівалентність Брауера можна задати також і в інший спосіб: скінченновимірні центральні прості алгебри A і B над полем k є еквівалентними якщо для деяких натуральних чисел n і m алгебра ${\displaystyle A\otimes _{k}M(n,k)}$ є ізоморфною алгебрі ${\displaystyle B\otimes _{k}M(m,k).}$

З означень очевидно, що у кожному класі Брауера міститься рівно одна алгебра з діленням.

Для класів Брауера [A] і [B] тепер можна ввести ${\displaystyle [A][B]=\left[A\otimes _{k}B\right]}$. Дана операція є коректно визначеною, тобто якщо A ~ C і B ~ D (у введеному відношенні еквівалентності), то також ${\displaystyle A\otimes _{k}B\sim C\otimes _{k}D}$.

Оскільки ${\displaystyle A\otimes _{k}k\cong k\otimes _{k}A\cong A}$ то ${\displaystyle [A][k]=[k][A]=[A]}$ і клас еквівалентності поля k (який також містить всі повні матричні алгебри M(m,k)) є нейтральним елементом для даної бінарної операції.

Також [A][А^op ] = [А^op ][A] = [M(m,k)] = [k], тобто клас [А^op ] є оберненим до [A].

Із властивостей тензорного добутку також випливає, що введена операція є комутативною і асоціативною і тому множина класів еквівалентності із введеною операцією є абелевою групою, яка називається групою Брауера поля k і позначається ${\displaystyle {\textrm {Br}}(k).}$

Приклади

• Група Брауера дорівнює 0 для будь-якого сепарабельно замкнутого поля і будь-якого скінченного поля.
• Для поля дійсних чисел група Брауера є циклічною групою 2-го порядку і її ненульовий елемент — клас алгебри кватерніонів.
• Якщо k — поле p-адичних чисел або будь-яке повне дискретно нормоване локально компактне поле, то його група Брауера є ізоморфною ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$ (тут ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ — адитивна група раціональних чисел, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ — адитивна група цілих чисел). Цей факт є важливим в локальній теорії полів класів.

Властивості

• Група Брауера є абелевою.
• Група Брауера завжди є періодичною групою. Порядок будь-якого її елемента ділить число n, де n^2 — ранг тіла, що представляє цей елемент.
• Група Брауера функторіально залежить від k, тобто якщо K — розширення поля k, то визначений гомоморфізм ${\displaystyle {\textrm {Br}}(k)\to {\textrm {Br}}(K).}$ Його ядро, що позначається ${\displaystyle {\textrm {Br}}(K/k)}$ складається з класів алгебр, що розщеплюються над К.

Теорія полів класів

Нехай k — поле алгебричних чисел скінченного степеня або поле алгебричних функцій від однієї змінної із скінченним полем констант. Тоді має місце точна послідовність груп:

${\displaystyle 0\rightarrow {\textrm {Br}}(k){\xrightarrow {\textrm {inv}}}\bigoplus _{v}{\textrm {Br}}(k_{v}){\xrightarrow {\sum }}\mathbf {Q} /\mathbf {Z} \rightarrow 0,}$

де v пробігає всі нормування поля k, а ${\displaystyle k_{v}}$ — відповідні поповнення поля k, гомоморфізм ${\displaystyle {\textrm {inv}}}$ індукується природними вкладеннями ${\displaystyle k\to k_{v}.}$ Образ елемента з ${\displaystyle {\textrm {Br}}(k)}$ в ${\displaystyle {\textrm {Br}}(k_{v})}$ називається локальним інваріантом, гомоморфізм ${\displaystyle \sum }$ є сумою локальних інваріантів. Цей факт встановлюється в глобальній теорії полів класів. Якщо k — поле алгебричних функцій від однієї змінної над алгебрично замкнутим полем констант, то його група Брауера є нульовою (теорема Тзена).

Когомології Галуа

Конструкції схрещених добутків за допомогою систем факторів призводять до когомологічної інтерпретації група Брауера. Для будь-якого нормального розширення K/k має місце ізоморфізм

${\displaystyle {\textrm {Br}}(K/k)\cong H^{2}(K,K^{*}),}$

де ${\displaystyle H^{2}(K,K^{*})}$ — група двовимірних когомологій Галуа з коефіцієнтами в мультиплікативній групі ${\displaystyle K^{*}}$ поля K. Більш того, група ${\displaystyle {\textrm {Br}}(k)}$ є ізоморфною ${\displaystyle H^{2}({\bar {k}},{\bar {k}}^{*}),}$ де ${\displaystyle {\bar {k}}}$ — сепарабельне замикання поля k. Зіставлення центральній простій алгебрі її класу в група Брауера здійснюється за допомогою кограничного оператора

${\displaystyle H^{1}(K,PGL(n))\rightarrow H^{2}(K,K^{*})}$

в когомологічній послідовності для точної послідовності груп

${\displaystyle 1\to G^{*}\to GL(n)\to PGL(n)\to 1.}$

де ${\displaystyle GL(n)}$ і ${\displaystyle PGL(n)}$ — лінійна і проективна групи матриць порядку ${\displaystyle n\prod n.}$ Тут група ${\displaystyle H^{1}(K,PGL(n))}$ інтерпретується як множина класів з точністю до k-ізоморфізму центральних простих алгебр рангу ${\displaystyle n^{2}}$ над полем k, що розщеплюються над K або як множина класів k-ізоморфних многовидів Брауера — Севері розмірності n-1, що мають K-точку.

Когомологічна інтерпретація група Брауера дозволяє розглядати її як групу класів центральних розширень групи Галуа сепарабельного замикання ${\displaystyle {\bar {k}}/k}$ за допомогою групи ${\displaystyle {\bar {k}}^{*}.}$

Див. також

• Центральна проста алгебра

Література

• Ю. А. Дрозд, В. В. Кириченко Конечномерные алгебры, Киев: «Вища школа», 1980, 192с.
• Draxl, P. K. (1983). Skew Fields. London Mathematical Society Lecture Note Series. Т. 81. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN .
• Gille, Philippe; Szamuely, Tamás (2006). Central Simple Algebras and Galois Cohomology. Cambridge Studies in Advanced Mathematics. Т. 101. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN . MR 2266528.
• Guillot, Pierre (2018). A Gentle Course in Local Class Field Theory: Local Number Fields, Brauer Groups, Galois Cohomology. Cambridge: Cambridge University Press. ISBN .
• Saltman, David J. (1999). Lectures on Division Algebras. Regional Conference Series in Mathematics. Т. 94. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN . MR 1692654.