Проективна група

Проєктивна група від ${\displaystyle n}$ змінних над тілом ${\displaystyle K}$ — група ${\displaystyle PGL_{n}(K)}$ перетворень ${\displaystyle (n-1)}$-вимірного проєктивного простору ${\displaystyle P_{n-1}(K)}$, індукованих невиродженими лінійними перетвореннями простору ${\displaystyle K^{n}}$. Є природний епіморфізм

${\displaystyle P:GL_{n}(K)\to PGL_{n}(K)}$,

ядром якого є група гомотетій простору ${\displaystyle K^{n}}$, ізоморфна мультиплікативній групі ${\displaystyle Z^{*}}$ центра ${\displaystyle Z}$ тіла ${\displaystyle K}$. Елементи групи ${\displaystyle PGL_{n}(K)}$, називаються проєктивними перетвореннями, є простору ${\displaystyle P_{n-1}(K)}$.

Властивості

• При ${\displaystyle n\geq 2}$ група ${\displaystyle PSL_{n}(K)}$ проста, за винятком двох випадків: коли ${\displaystyle n=2}$ і ${\displaystyle |K|=2}$ або ${\displaystyle 3}$.
• Якщо ${\displaystyle K}$ — скінченне поле з ${\displaystyle q}$ елементів, то
      ${\displaystyle |PSL_{n}(K)|=(q-1,n)^{-1}q^{n(n-1)/2}(q^{n}-1)(q^{n-1}-1)\cdots (q^{2}-1).}$

Література

• Дьедонне Ж. Геометрия классических групп, пер. с франц., — М., 1974.