Пінг-понг лема

У математиці пінг-понг лема (або лема про настільний теніс) — це будь-яке з математичних тверджень, які стверджують, що декілька елементів у групі, які діють на деякій множині вільно, породжують вільну підгрупу цієї групи.

Історія

Пінг-понг аргументація бере свої витоки з кінця 19 століття і зазвичай приписується Феліксу Кляйну, який використовував її при дослідженні підгруп кляйнівських груп, тобто ізометричних дискретних груп тривимірного гіперболічного простору, або, що еквівалентно, перетворень Мебіуса сфери Рімана. Пінг-понг лема була ключовим інструментом ^[en] у роботі 1972 року, яка містить доведення такого відомого нині результату як альтернатива Тітса. Результат стверджує, що ^[en] лінійна група або є майже розв'язною, або містить вільну підгрупу рангу 2. Пінг-понг лема та її варіації широко використовуються в ^[en] і геометричній теорії груп.

Сучасні версії пінг-понг леми можна знайти в багатьох книжках, зокрема, Ліндон & Шупп, де ла Гарп, Брідсон & Гефлінгер.

Формальні твердження

Пінг-понг лема для декількох підгруп

Ця версія пінг-понг леми стверджує, що декілька підгруп групи, діючих на множині вільно, породжують вільний добуток. Нижченаведене твердження з'явилося в роботі Олійника та Сущанського, а його доведення в роботі де ла Гарпи.

Нехай ${\displaystyle G}$ — група, що діє на множині ${\displaystyle X}$, і нехай ${\displaystyle H_{1},H_{2},\dots ,H_{k}}$, де ${\displaystyle k\geq 2}$, — підгрупи групи ${\displaystyle G}$ такі, що хоча б одна із цих підгруп має порядок більший ніж 2. Припустимо, що існують попарно неперетинні непорожні підмножини ${\displaystyle X_{1},X_{2},\dots ,X_{k}}$ із множини ${\displaystyle X}$, які задовольняють наступну умову:

• для будь-якого ${\displaystyle i\neq s}$ і для будь-якого ${\displaystyle h\in H_{i}}$, ${\displaystyle h\neq 1}$ маємо: ${\displaystyle h(X_{s})\subseteq X_{i}}$.

Тоді

${\displaystyle \langle H_{1},\dots ,H_{k}\rangle =H_{1}\ast \dots \ast H_{k}.}$

${\displaystyle }$

Доведення

З означення вільного добутку випливає, що достатньо буде перевірити лише те, чи задане непорожнє зведене слово представляє собою нетривіальний елемент із групи ${\displaystyle G}$. Нехай ${\displaystyle w}$ буде таким словом, довжина якого ${\displaystyle m\geq 2}$, і нехай

${\displaystyle w=\prod _{i=1}^{m}w_{i},}$

де ${\displaystyle w_{i}\in H_{\alpha i}}$ для деяких ${\displaystyle \alpha _{i}\in \{1,\dots ,k\}}$. Оскільки слово ${\displaystyle w}$ є зведеним, то ${\displaystyle \alpha \neq \alpha _{i+1}}$ для будь-яких ${\displaystyle i=1,\dots ,m-1}$ і кожне ${\displaystyle w_{i}}$ відрізняється від нейтрального елемента з підгрупи ${\displaystyle H_{\alpha _{i}}}$. Після цього діємо словом ${\displaystyle w}$ на елемент однієї із множин ${\displaystyle X_{i}}$. Оскільки припустили, що хоча б одна підгрупа ${\displaystyle H_{i}}$ має порядок щонайменше 3, то ^[en] можна припустити, що ${\displaystyle H_{i}}$ має порядок щонайменше 3. Спочатку робимо припущення, що ${\displaystyle \alpha _{1}}$ і ${\displaystyle \alpha _{m}}$ одночасно дорівнюють 1 (із чого випливає, що ${\displaystyle m\geq 3}$). Тепер розглянемо слово ${\displaystyle w}$, яке діє на множину ${\displaystyle X_{2}}$. Отримуємо наступний ланцюжок обмежень:

${\displaystyle w(X_{2})\subseteq \prod _{i=1}^{m-1}w_{i}(X_{1})\subseteq \prod _{i=1}^{m-2}w_{i}(X_{\alpha m-1})\subseteq \dots \subseteq w_{1}(X_{\alpha 2})\subseteq X_{1}.}$

За припущенням різні ${\displaystyle X_{i}}$ є неперетинними, тому робимо висновок, що слово ${\displaystyle w}$ діє нетривіально на деякий елемент підмножини ${\displaystyle X_{2}}$. Таким чином, слово ${\displaystyle w}$ представляє нетривіальний елемент групи ${\displaystyle G}$.

Для завершення доведення розглянемо три випадки:

• якщо ${\displaystyle \alpha _{1}=1}$, ${\displaystyle a_{m}\neq 1}$, тоді нехай ${\displaystyle h\in H_{1}\backslash {\big \{}w_{1}^{-1},1{\big \}}}$ (таке ${\displaystyle h}$ існує, оскільки за припущенням ${\displaystyle H_{1}}$ має порядок щонайменше 3);
• якщо ${\displaystyle \alpha _{1}\neq 1}$, ${\displaystyle \alpha _{m}=1}$, тоді нехай ${\displaystyle h\in H_{1}\backslash \{w_{m},1\}}$;
• і якщо ${\displaystyle \alpha _{1}\neq 1}$, ${\displaystyle \alpha _{m}\neq 1}$, тоді нехай ${\displaystyle h\in H_{1}\backslash \{1\}}$.

У кожному з випадків слово ${\displaystyle hwh^{-1}}$ після зведення стає зменшеним словом, у якому перша і остання літера з підгрупи ${\displaystyle H_{1}}$. Отже, слово ${\displaystyle hwh^{-1}}$ представляє нетривіальний елемент із групи ${\displaystyle G}$, так само і слово ${\displaystyle w}$. Це і доводить наше твердження.

Пінг-понг лема для циклічних підгруп

Нехай ${\displaystyle G}$ — група, що діє на множині ${\displaystyle X}$. Нехай ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$, де ${\displaystyle k\geq 2}$, — елементи групи ${\displaystyle G}$ нескінченного порядку. Припустимо, що існують неперетинні непорожні підмножини

${\displaystyle X_{1}^{+},\dots ,X_{k}^{+}\quad {\text{і}}\quad X_{1}^{-},\dots ,X_{k}^{-}}$

множини ${\displaystyle X}$, для яких виконуються наступні умови:

• ${\displaystyle a_{i}(X-X_{i}^{-})\subseteq X_{i}^{+}}$, ${\displaystyle i=1,\dots ,k,}$
• ${\displaystyle a_{i}^{-1}(X-X_{i}^{+})\subseteq X_{i}^{-}}$, ${\displaystyle i=1,\dots ,k.}$

Тоді підгрупа ${\displaystyle H=\langle a_{1},\dots ,a_{k}\rangle \leq G}$, що породжена елементами ${\displaystyle a_{1},\dots ,a_{k}}$, є вільною з вільним базисом ${\displaystyle \{a_{1},\dots ,a_{k}\}.}$

Доведення

Це твердження є наслідком пінг-понг леми для загальних підгруп, якщо покладемо ${\displaystyle X_{i}=X_{i}^{+}\cup X_{i}^{-}=}$ і ${\displaystyle H_{i}=\langle a_{i}\rangle .}$

Приклади

Приклад спеціальної лінійної групи

За допомогою пінг-понг леми можна довести, що підгрупа ${\displaystyle H=\langle A,B\rangle \leq {\rm {SL}}_{2}({\mathbb {Z} })}$, породжена матрицями

${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}\quad }$ і ${\displaystyle \quad B={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}},}$

є вільною групою і має ранг 2.

Доведення

Дійсно, нехай ${\displaystyle H_{1}=\langle A\rangle }$ і ${\displaystyle H_{2}=\langle B\rangle }$ — циклічні підгрупи групи ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}({\mathbb {Z} })}$ породжені матрицями ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ відповідно. Неважко перевірити, що ${\displaystyle A}$ і ${\displaystyle B}$ є елементами нескінченного порядку групи ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}({\mathbb {Z} })}$ і те, що

${\displaystyle H_{1}={\begin{Bmatrix}{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}\colon n\in {\mathbb {Z} }\end{Bmatrix}}}$

і

${\displaystyle H_{2}=\{B^{n}\,|\,n\in {\mathbb {Z} }\}={\begin{Bmatrix}{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}\colon n\in {\mathbb {Z} }\end{Bmatrix}}.}$

Розглянемо дію групи ${\displaystyle {\rm {SL}}_{2}({\mathbb {Z} })}$ на ${\displaystyle {\mathbb {R} }^{2}}$ за допомогою лінійних перетворень. Покладемо

${\displaystyle X_{1}={\begin{Bmatrix}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in {\mathbb {R} }^{2}\colon |x|>|y|\end{Bmatrix}}}$

і

${\displaystyle X_{2}={\begin{Bmatrix}{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in {\mathbb {R} }^{2}\colon |x|<|y|\end{Bmatrix}}.}$

Неважко перевірити, використовуючи наведений вище опис підгрупи ${\displaystyle H_{1}}$ і ${\displaystyle H_{2}}$, що для кожного нетривіального ${\displaystyle g\in H_{1}}$ отримуємо ${\displaystyle g(X_{2})\subseteq X_{1}}$ і ${\displaystyle g(X_{1})\subseteq X_{2}}$ для кожного нетривіального ${\displaystyle g\in H_{2}}$. Використовуючи наведену вище пінг-понг лему для двох циклічних підгруп, робимо висновок, що ${\displaystyle H=H_{1}*H_{2}}$. Оскільки підгрупи ${\displaystyle H_{1}}$ і ${\displaystyle H_{2}}$ є нескінченно циклічними, то звідси випливає, що підгрупа ${\displaystyle H}$ є вільною групою рангу 2.

Приклад словесно-гіперблочної групи

Нехай ${\displaystyle G}$ — словесно-гіперболічна група, яка є групою без кручення, тобто, не має нетотожних елементів скінченного порядку. Нехай ${\displaystyle g,h\in G}$ — два некомутативних елемента, тобто таких, що ${\displaystyle gh\neq hg.}$ Тоді існує таке ${\displaystyle M\geq 1}$, що для будь-яких натуральних ${\displaystyle n\geq M}$, ${\displaystyle m\geq M}$ підгрупа ${\displaystyle H\langle g^{n},h^{m}\rangle \leq G}$ є вільною групою рангу 2.

Схема доведення

Дія групи ${\displaystyle G}$ на її гіперболічній границі ${\displaystyle \partial G}$ є гомеоморфізмом. Відомо, що, якщо ${\displaystyle a}$ в групі ${\displaystyle G}$ є не тотожнім елементом, то ${\displaystyle a}$ має принаймні дві різні нерухомі точки — ${\displaystyle a^{\infty }}$ і ${\displaystyle a^{-\infty }}$, які належать границі ${\displaystyle \partial G}$. Відповідно ${\displaystyle a^{\infty }}$ є притягально нерухомою точкою точкою, а ${\displaystyle a^{-\infty }}$ — відштовхувально нерухомою точкою.

Оскільки елементи ${\displaystyle g}$ і ${\displaystyle h}$ не комутують, то з основних властивостей словесно-гіперболічної групи випливає, що ${\displaystyle g^{\infty }}$, ${\displaystyle g^{-\infty }}$, ${\displaystyle h^{\infty }}$ і ${\displaystyle h^{-\infty }}$є чотирма різними точками границі ${\displaystyle \partial G.}$ Вибираємо неперетинні околи ${\displaystyle U_{+}}$, ${\displaystyle U_{-}}$, ${\displaystyle V_{+}}$ і ${\displaystyle V_{-}}$ відповідно для ${\displaystyle g^{\infty }}$, ${\displaystyle g^{-\infty }}$, ${\displaystyle h^{\infty }}$ і ${\displaystyle h^{-\infty }}$ на границі ${\displaystyle \partial G}$. Тоді з властивостей притягувальних/відштовхувальних нерухомих точок елементів ${\displaystyle g}$ і ${\displaystyle h}$ випливає, що існує таке ${\displaystyle M\geq 1}$, що для будь-яких натуральних ${\displaystyle n\geq M}$, ${\displaystyle m\geq M}$:

• ${\displaystyle g^{n}(\partial G-U_{-})\subseteq U_{+},}$
• ${\displaystyle g^{-n}(\partial G-U_{+})\subseteq U_{-},}$
• ${\displaystyle h^{m}(\partial G-V_{-})\subseteq V_{+},}$
• ${\displaystyle h^{-m}(\partial G-V_{+})\subseteq V_{-}.}$

З пінг-понг леми випливає, що підгрупа ${\displaystyle H=\langle g^{n},h^{m}\rangle \leq G}$ є вільною підгрупою рангу 2.

Застосування пінг-понг леми

• Пінг-понг лема використовується в кляйнівських групах для дослідження так званих ^[en]. У контексті кляйнівських груп пінг-понг лему можна використати для того, щоб показати, що особлива група ізометрії гіперболічного тривимірного простору не лише вільна, а також цілком розривна і геометрично скінченна.
• Аналогічні аргументи типу Шоткі широко використовуються в геометричній теорії груп, особливо для підгруп словесно-гіперболічних груп і для груп автоморфізмів дерев.
• Пінг-понг лема також використовується для дослідження підгруп типу Шоткі груп класів відображень поверхонь Рімана, де множина, на якій діє група класів відображень, є границею Терстона простору Тайхмюллера. Аналогічний аргумент також використовується при дослідженні підгруп ^[en] вільної групи.
• Одним із найвідоміших застосувань пінг-понг леми є доведення ^[en] так званої альтернатива Тітса для лінійних груп. (Дивись для огляду доведення Тітса і пояснення використаних ідей, включаючи використання пінг-понг леми).
• Існують узагальнення пінг-понг леми, що породжують не лише вільний добуток, але і також вільні добутки з амальгамацією і ^[en].Ці узагальнення використовуються зазвичай для доведення комбінаційної теореми Маскіта для кляйнівських груп.
• Також існують версії пінг-понг леми, які гарантують, що декілька елементів групи породжують ^[en]. Такі версії використовують як для узагальненої дії групи на множині, так і для конкретних типів дій, наприклад, в контексті лінійних груп, ^[en], тощо.

Див. також

• Вільна група
• Вільний добуток
• Кляйнівська група
• Альтернатива Тітса
• Словесно-гіперболічна група
• ^[en]

Література

1. Pierre de la Harpe. Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago. ; Ch. II.B "The table-Tennis Lemma (Klein's criterion) and examples of free products"; pp. 25–41.
2. J. Tits. Free subgroups in linear groups. Journal of Algebra, vol. 20 (1972), pp. 250–270
3. Roger C. Lyndonand de la Harpe Combinatorial Group Theory. Springer-Verlag, New York, 2001. "Classics in Mathematics" series, reprint of the 1977 edition. ; Ch II, Section 12, pp. 167–169
4. Martin R. Bridson, and André Haefliger. Metric spaces of non-positive curvature. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 319. Springer-Verlag, Berlin, 1999. ; Ch.III.Γ, pp. 467–468
5. Andrij Olijnyk and Vitaly Suchchansky. Representations of free products by infinite unitriangular matrices over finite fields.^{[недоступне посилання]} International Journal of Algebra and Computation. Vol. 14 (2004), no. 5–6, pp. 741–749; Lemma 2.1
6. M. Gromov. Hyperbolic groups. Essays in group theory, pp. 75–263, Mathematical Sciences Research Institute Publications, 8, Springer, New York, 1987; ; Ch. 8.2, pp. 211–219.
7. Alexander Lubotzky. Lattices in rank one Lie groups over local fields. Geometric and Functional Analysis, vol. 1 (1991), no. 4, pp. 406–431
8. Richard P. Kent, and Christopher J. Leininger. Subgroups of mapping class groups from the geometrical viewpoint. In the tradition of Ahlfors-Bers. IV, pp. 119–141, Contemporary Mathematics series, 432, American Mathematical Society, Providence, RI, 2007; ; 0-8218-4227-7
9. M. Bestvina, M. Feighn, and M. Handel. Laminations, trees, and irreducible automorphisms of free groups. Geometric and Functional Analysis, vol. 7 (1997), no. 2, pp. 215–244.
10. Pierre de la Harpe. Free groups in linear groups. L'Enseignement Mathématique (2), vol. 29 (1983), no. 1-2, pp. 129–144
11. Bernard Maskit. Kleinian groups. Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Fundamental Principles of Mathematical Sciences], 287. Springer-Verlag, Berlin, 1988. ; Ch. VII.C and Ch. VII.E pp.149–156 and pp. 160–167
12. Pierre de la Harpe. Topics in geometric group theory. Chicago Lectures in Mathematics. University of Chicago Press, Chicago. ; Ch. II.B "The table-Tennis Lemma (Klein's criterion) and examples of free products"; pp. 187–188.
13. Alex Eskin, Shahar Mozes and Hee Oh. On uniform exponential growth for linear groups. Inventiones Mathematicae. vol. 60 (2005), no. 1, pp.1432–1297; Lemma 2.2
14. Roger C. Alperin and Guennadi A. Noskov. Uniform growth, actions on trees and GL₂. Computational and Statistical Group Theory:AMS Special Session Geometric Group Theory, April 21–22, 2001, Las Vegas, Nevada, AMS Special Session Computational Group Theory, April 28–29, 2001, Hoboken, New Jersey. (Robert H. Gilman, Vladimir Shpilrain, Alexei G. Myasnikov, editors). American Mathematical Society, 2002. ; page 2, Lemma 3.1
15. Yves de Cornulier and Romain Tessera. Quasi-isometrically embedded free sub-semigroups. [ 2012-11-04 у Wayback Machine.] , vol. 12 (2008), pp. 461–473; Lemma 2.1