Альтернатива Тітса

Альтернати́ва Ті́тса — теорема про будову скінченно породжених лінійних груп. Названа на честь ^[en].

Формулювання

Нехай ${\displaystyle G}$ скінченно породжена лінійна група над деяким полем. Тоді для ${\displaystyle G}$ виконується рівно одне з таких тверджень

• Або ${\displaystyle G}$ майже розв'язна, тобто містить розв'язну підгрупу скінченного індексу.
• Або ${\displaystyle G}$ містить підгрупу, ізоморфну вільній групі з двома твірними.

Наслідки

• Лінійна група не , тоді й лише тоді, коли вона містить неабелеву вільну групу.
  • Іншими словами, гіпотеза фон Неймана справедлива й для лінійних груп.
• Альтернатива Тітса є важливим компонентом у доведенні теореми Громова про групи поліноміального зростання.

Варіації та узагальнення

Кажуть, що група ${\displaystyle G}$ задовольняє альтернативу Тітса, якщо кожна підгрупа ${\displaystyle H<G}$ майже розв'язна або містить неабелеву вільну підгрупу. Іноді у визначенні додатково припускають, що ${\displaystyle H}$ скінченно породжена.

Прикладами груп, що задовольняють альтернативу Тітса, є лінійні групи, а також:

• Гіперболічні групи
• ^[en]

Приклади груп, що не задовольняють альтернативу Тітса:

•  ;
• Група F Томпсона .

Про доведення

У доведенні розглядають замикання ${\displaystyle {\bar {G}}}$ групи ${\displaystyle G}$ у топології Зариського. Якщо ${\displaystyle {\bar {G}}}$ розв'язна, то й група ${\displaystyle G}$ розв'язна. В іншому випадку переходять до розгляду образу ${\displaystyle G}$ в компоненті Леві ${\displaystyle {\bar {G}}}$. Якщо вона некомпактна, то пінг-понг лема завершує доведення. Якщо вона компактна, то або всі власні значення елементів у образі ${\displaystyle G}$ є коренями одиниці, отже, образ ${\displaystyle G}$ скінченний, або можна знайти вкладення, для якого застосовна пінг-понг лема.

Примітки

1. Ivanov, Nikolai. Algebraic properties of the Teichmüller modular group //  : journal. — 1984. — Vol. 275 (26 June). — P. 786—789.
2. McCarthy, Jenny. A "Tits-alternative" for subgroups of surface mapping class groups // Trans. Amer. Math. Soc. : journal. — 1985. — Vol. 291 (26 June). — P. 583—612. — DOI:10.1090/s0002-9947-1985-0800253-8.
3. ; Feighn, Mark; Handel, Michael. The Tits alternative for Out(F_n) I: Dynamics of exponentially-growing automorphisms // Annals of Mathematics : journal. — 2000. — Vol. 151, no. 2 (26 June). — P. 517—623. — arXiv:math/9712217. — DOI:10.2307/121043.

Посилання

• Tits, J. Free subgroups in linear groups // ^[en]. — 1972. — Т. 20, № 2. — С. 250—270. — DOI:10.1016/0021-8693(72)90058-0.