Теорема Громова про групи поліноміального зростання

Теоре́ма Гро́мова про гру́пи поліноміа́льного зроста́ння стверджує, що всі скінченнопороджені групи поліноміального зростання майже нільпотентні, тобто мають нільпотентну підгрупу скінченного індексу.

Теорему довів Громов 1981 року. У тій самій статті вводиться так звана збіжність за Громовом — Гаусдорфом. Доведення суттєво використовує так звану альтернативу Тітса .

Варіації та узагальнення

• Теорема залишається істинною, якщо ступінь зростання групи ${\displaystyle O(n^{(\log \log n)^{c}})}$.

• Якщо для групи ${\displaystyle G}$ існує многочлен ${\displaystyle P}$ такий, що для будь-кого ${\displaystyle n\in \mathbb {N} }$ існує система твірних ${\displaystyle S=S^{-1}}$ така, що

  ${\displaystyle |S^{n}|\leqslant P(n)\cdot |S|,}$

то ${\displaystyle G}$ майже нільпотентна і зокрема має поліноміальне зростання.

Примітки

1. M. Gromov, Groups of Polynomial growth and Expanding Maps, Publications mathematiques I.H.É.S., 53, 1981 [ 2016-11-29 у Wayback Machine.]
2. Yehuda Shalom, Terence Tao, A finitary version of Gromov's polynomial growth theorem . Архів оригіналу за 16 грудня 2018. Процитовано 29 серпня 2022.{{}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title ()
3. Emmanuel Breuillard, Ben Green, Terence Tao, The structure of approximate groups. . Архів оригіналу за 16 грудня 2018. Процитовано 29 серпня 2022.{{}}: Обслуговування CS1: Сторінки з текстом «archived copy» як значення параметру title ()