Локалізація кільця

В комутативній алгебрі локалізацією комутативного кільця R (з одиницею) по мультиплікативній системі ${\displaystyle S\subset R}$ називається простір формальних дробів з чисельниками з R і знаменниками з S з арифметичними операціями і ототожненнями, звичайними для дробів. Використовується також термін кільце часток. Позначається як S^-1R .

Термін локалізація походить з алгебраїчної геометрії: якщо R  — це кільце функцій на алгебраїчному многовиді V, то для того, щоб вивчити локальні властивості цього многовида в точці p, зазвичай розглядають множину функцій, які не рівні нулю в цій точці і локалізують R по цій множині.

Звичайне позначення для локалізації (або кільця часток)  — S^-1R, проте в окремих випадках частіше вживають інші позначення. Так, якщо S  — доповнення простого ідеалу I, локалізація R позначається як R_I (і називається локалізацією кільця по простому ідеалу), а якщо S  — множина всіх степенів елемента f, використовується позначення R_f . Останні два випадки є фундаментальними для теорії схем.

Формальне визначення

За допомогою формальних дробів

Мультиплікативною системою в кільці R називається підмножина S в R, така що ${\displaystyle 1\in S,\;0\not \in S}$ і множина S є замкнутою щодо множення в кільці R, тобто з того що ${\displaystyle a,b\in S}$ випливає, що також ${\displaystyle ab\in S}$.

Елементами локалізації кільця R по мультиплікативній системі S є формальні дроби виду r/s, де r  — довільний елемент R, а s  — елемент множини S. Два дроби ${\displaystyle r_{1}/s_{1}}$ і ${\displaystyle r_{2}/s_{2}}$ вважаються еквівалентними (є представниками одного і того ж елемента кільця часток), якщо для деякого елемента ${\displaystyle t\in S}$ справедливо ${\displaystyle t(r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1})=0}$. Якщо R  — цілісне кільце, тобто в ньому немає дільників нуля то очевидно для нього має виконуватися простіше правило еквівалентності: два дроби ${\displaystyle r_{1}/s_{1}}$ і ${\displaystyle r_{2}/s_{2}}$ є еквівалентними, якщо ${\displaystyle r_{1}s_{2}-r_{2}s_{1}=0}$.

Операції додавання і множення визначаються як звичайно для дробів:

${\displaystyle r_{1}/s_{1}+r_{2}/s_{2}=(r_{1}s_{2}+r_{2}s_{1})/s_{1}s_{2}}$

${\displaystyle r_{1}/s_{1}*r_{2}/s_{2}=r_{1}r_{2}/s_{1}s_{2}}$

Перевіряється, що, якщо в сумі або добутку дроби замінити на еквівалентні, новий результат буде дробом, еквівалентним попередньому. З такими операціями множина ${\displaystyle S^{-1}R}$ набуває структури комутативного кільця з одиницею. Нулем в ньому є дріб 0/1, одиницею  — дріб 1/1. Елементи початкового кільця R можна ідентифікувати з елементами виду r/1 в кільці S ^-1 R. Відображення ${\displaystyle l_{S}\,:\,R\rightarrow S^{-1}R}$, що відображає елемент r в r/1 є гомоморфізмом кілець.

Через універсальну властивість

Нехай, як і вище R — комутативне кільце з одиницею і S деяка його мультиплікативна система.

Локалізація кільця R по мультиплікативній системі S має наступну властивість універсальності:

${\displaystyle l_{S}(S)\subset (S^{-1}R)^{*},}$ тобто образи елементів з S у кільці ${\displaystyle S^{-1}R}$ є оборотними елементами і окрім того для любих гомоморфізмів ${\displaystyle f:R\rightarrow B}$, для яких ${\displaystyle f(S)\subset B^{*}}$ тобто образи елементів з S є оборотними, існує єдиний гомоморфізм ${\displaystyle g\,:\,S^{-1}R\rightarrow B}$ для якого ${\displaystyle f=g\circ l_{S}}$.

Дана властивість повністю визначає локалізацію R по S: Якщо деяке інше кільце задовольняє умову універсальності подану вище то воно є ізоморфним до ${\displaystyle S^{-1}R.}$

Властивості

• Кожен оборотний елемент кільця S^-1R має вигляд er/s, де r і s належать множині S, а e  — оборотний елемент кільця R.
• Кожен ідеал кільця S^-1R є породжений елементами з множини ${\displaystyle l_{S}(I)}$ де I  — деякий ідеал кільця R.
• Існує бієкція між множиною простих ідеалів кільця S^-1R і множиною простих ідеалів R, що не перетинаються з множиною S.
• Якщо, як вище, ідеали I^S і J^S кільця S ^-1R породжені елементами ${\displaystyle l_{S}(I)}$ і ${\displaystyle l_{S}(J),}$ де I і J  — ідеали кільця R, то ідеали I^S + J^S , I^SJ^S породжені елементами з ${\displaystyle l_{S}(I+J)}$ і ${\displaystyle l_{S}(IJ)}$ відповідно. Також ${\displaystyle {\sqrt {I^{S}}}}$ (радикал ідеалу) породжується елементами з ${\displaystyle l_{S}({\sqrt {I}})}$
• Як наслідок з попереднього, нульрадикал кільця S^-1R породжується образами нульрадикала кільця R при канонічному відображенні.
• Нехай I  — ідеал кільця R, і ${\displaystyle p:R\to R/I}$ — природна проєкція на фактор-кільце. Для мультиплікативної системи S, що не перетинається з I позначимо через T образ цієї множини при цій проєкції. Тоді p породжує сюр'єктивний гомоморфізм ${\displaystyle {\bar {p}}:S^{-1}R\to T^{-1}(R/I)}$ і кільця ${\displaystyle T^{-1}(R/I)}$ і ${\displaystyle S^{-1}R/(IS^{-1}R)}$ є ізоморфними.
• Нехай ${\displaystyle S,S'}$  — мультиплікативні системи в кільці R і ${\displaystyle S\subset S'.}$ Тоді кільце часток ${\displaystyle (S')^{-1}R}$ є ізоморфним кільцю ${\displaystyle (l_{S}(S'))^{-1}(S^{-1}R).}$
• Локалізація кілець Нетер, Артіна і Дедекінда теж є кільцями відпвідно Нетер, Артіна і Дедекінда.

Локалізація по простому ідеалу

Важливий окремий випадок локалізації  — локалізація кільця по простому ідеалу I, коли мультиплікативна система є доповненням цього ідеалу в кільці. В цьому випадку локалізація позначається як R_I. Для локалізації кільця по простому ідеалу справедливі такі властивості:

• Локалізація R_I по простому кільці є локальним кільцем. Його єдиний максимальний ідеал породжується образами ідеала I.
• Існує бієкція між простими ідеалами в R_I і простими ідеалами в R, що містяться у I.
• Якщо S  — мультиплікативна система, що не перетинається з I, то R_I є ізоморфним ${\displaystyle (S^{-1}R)_{I}.}$
• Зокрема поле часток кільця R є ізоморфним полю часток кільця R_I.

Приклади

• Якщо R  — цілісне кільце, множина всіх його ненульових елементів утворює мультиплікативну систему. Кільце часток за цією системою є полем і називається полем часток, зазвичай позначається Quot (R). Всі елементи поля часток мають вигляд a/ b, де a, b  — елементи R і b ≠ 0, зі звичайними арифметичними правилами скорочення чисельника і знаменника, додавання і множення. Легко бачити, що поле часток  — найменше поле, в яке можна вкласти R. Наприклад, поле часток поля є ізоморфним самому полю.
• Полем часток кільця цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ є поле раціональних чисел ${\displaystyle \mathbb {Q} }$.
• Степені числа 10 в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ утворюють мультиплікативну систему. Кільцем часток по ній буде кільце скінченних десяткових дробів.
• Полем часток кільця многочленів ${\displaystyle k[X_{1},X_{2},...,X_{n}]}$ над полем k буде поле раціональних функцій ${\displaystyle k(X_{1},X_{2},...,X_{n})}$.
• Парні числа в ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ утворюють простий ідеал. Локалізацією кільця ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ по ньому буде кільце раціональних дробів, у яких в нескоротному вигляді знаменник  — непарне число.
• Розглянемо кільце многочленів k[x] і f = x. Тоді R_f  — кільце многочленів Лорана k[x, x^-1].
• Якщо R  — евклідове кільце, то всяке кільце, проміжне між R і його полем часток, є локалізацією кільця R за деякою мультиплікативною системою S.
• Якщо система S складається з одних тільки оборотних елементів кільця R, канонічний гомоморфізм кільця R в S ^-1 R перетворюється в ізоморфізм, тобто S ^-1 R в цьому випадку є ізоморфним кільцю R.

Модулі часток

Приблизно таку ж конструкцію можна застосувати і до модулів і для довільного R-модуля M розглянути локалізацію модуля S ^-1 M .

Локалізація модуля S^-1M  — це множина формальних дробів виду m/s із відношенням еквівалентності ${\displaystyle m_{1}/s_{1}\equiv m_{2}/s_{2}}$ , якщо ${\displaystyle t(m_{1}s_{2}-m_{2}s_{1})=0}$, для деякого елемента ${\displaystyle t\in S}$, зі звичайною операцією додавання дробів, а також з операцією множення на елементи кільця S ^-1R виду m/s * a/s'= am / ss' .

Еквівалентно, як і для випадку кілець локалізацію модуля можна визначити за допомогою універсальної властивості аналогічної випадку кілець.

Нехай ${\displaystyle u:M\to N}$  — гомоморфізм R-модулів. Він індукує гомоморфізм S^-1R-модулів ${\displaystyle S^{-1}u:S^{-1}M\to S^{-1}N}$, що відображає m/s в u(m)/s . Очевидно, що ${\displaystyle S^{-1}(u\circ v):S^{-1}u\circ S^{-1}v}$, тобто операція S^-1 є функтором. Більш того, цей функтор є точним. Тобто, якщо послідовність ${\displaystyle M_{1}\;{\xrightarrow {v}}\;M_{2}\;{\xrightarrow {u}}\;M_{3}}$ є точною, то і індукована послідовність ${\displaystyle S^{-1}M_{1}\;{\xrightarrow {S^{-1}v}}\;S^{-1}M_{2}\;{\xrightarrow {S^{-1}u}}\;S^{-1}M_{3}}$ є точною.

З цього випливає, що якщо ${\displaystyle M'}$ є підмодулем ${\displaystyle M}$, то і ${\displaystyle S^{-1}M'}$ є підмодулем ${\displaystyle S^{-1}M}$. Якщо ж ми розглянемо два підмодуля даного модуля, то застосування до них S ^-1 комутує із операцією суми модулів, перетину модулів і операцією переходу до фактор-модуля. Також локалізація тензорного добутку двох R-модулів ізоморфна тензорному добутку їх локалізацій.

Локалізацію модуля також можна записати за допомогою тензорного добутку: ${\displaystyle S^{-1}M\cong S^{-1}R\otimes _{R}M.}$

З цього запису і з точності функтора локалізації випливає, що модуль ${\displaystyle S^{-1}M}$ є плоским.

R-модуль M є нульовим тоді і тільки тоді коли для довільного простого ідеала I локалізація M по I є нульовим модулем. Те саме твердження справедливе, якщо замість простих ідеалів розглядати лише максимальні.

Локальні властивості

Властивість P кільця А (або А - модуля M) називається локальною якщо такі твердження еквівалентні:

• R (відповідно M) має властивість P,
• R_I (відповідно M_I ) має властивість P для всіх простих ідеалів I кільця А.

Можна навести такі приклади локальних властивостей: властивість модуля бути рівним нулю, властивість гомоморфізму бути ін'єктивним або сюр'єктивним (потрібно розглядати гомоморфізми, індуковані локалізацією), властивість модуля бути плоским.

Див. також

• Локальне кільце
• Повне кільце часток
• Поле часток
• Умова Оре

Джерела

• Зарисский О., Коммутативная алгебра. — Москва : , 1963. — Т. 1. — 373 с.(рос.)
• Бурбаки Н. Коммутативная алгебра. — Москва : Мир, 1971. — С. 707. — (Елементи математики)(рос.)
• Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.