Теорема Круля про головний ідеал

Теорема Круля про головний ідеал — важливе твердження у комутативній алгебрі, яке разом зі своїми наслідками є основою для означення розмірності в алгебрі і алгебричній геометрії. Теорема названа на честь австрійського математика Вольфганга Круля.

Твердження теореми

Нехай A — кільце Нетер, ${\displaystyle a\in A}$ — елемент кільця, що не є оборотним чи дільником нуля і ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ — мінімальний простий ідеал кільця над головним ідеалом aA. Тоді висота ідеалу дорівнює 1.

Наслідком теореми є так звана теорема Круля про висоту: якщо мінімальна кількість елементів, що породжують деякий ідеал нетерового кільця рівна m, то висота цього ідеалу не більша, ніж m.

Доведення

Теорема Круля про головний ідеал

Оскільки нас цікавлять лише прості ідеали ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subseteq {\mathfrak {p}}}$ , можна замінити A на його локалізацію ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$. Дійсно всі прості ідеали кільця ${\displaystyle A_{\mathfrak {p}}}$ мають вигляд ${\displaystyle {\mathfrak {q}}A_{\mathfrak {p}},}$ де ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\subseteq {\mathfrak {p}}}$ — простий ідеал кільця A.

Отже, надалі припустимо, що кільце A є локальним з єдиним максимальним ідеалом ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ і ${\displaystyle a\not \in {\mathfrak {q}}}$ для кожного простого ідеалу ${\displaystyle {\mathfrak {q}}\neq {\mathfrak {p}}}$. Замінюючи ${\displaystyle A}$ на ${\displaystyle A/{\sqrt {0}}}$, можна також припустити, що A редуковане (не містить нільпотентів) або, що те саме, ${\displaystyle \{0\}}$ — радикальний ідеал.

Розглянемо його простий розклад (тобто мінімальні прості ідеали перетин яких рівний нульовому ідеалу; для нетерових кілець ці ідеали утворюють скінченну множину): ${\displaystyle \{0\}=\bigcap _{i=1}^{s}{\mathfrak {p}}_{i}}$ . Оскільки добуток ідеалів кільця є підмножиною перетину цих ідеалів, то також ${\displaystyle \prod _{i=1}^{s}{\mathfrak {p}}_{i}=\{0\}}$, отже , ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ містить довільний ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ , але ${\displaystyle a\not \in {\mathfrak {p}}_{i}}$ , оскільки всі елементи з ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}}$ — дільники нуля . Тому ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}>0}$ .

Припустимо, що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\supset {\mathfrak {q}}}$ , де ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ — простий ідеал. Розглянемо фактор-кільце ${\displaystyle A/aA}$ . Воно має єдиний простий ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}/aA}$ , отже, є артіновим. Це означає, що будь-який спадний ланцюжок ідеалів A, які містять a, стабілізується. Зокрема, це вірно для ланцюжка, що складається з ідеалів ${\displaystyle aA+{\mathfrak {q}}^{(k)},}$ де ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(k)},}$ позначає символічний степінь ідеала.

Отже, існує ціле k , таке що ${\displaystyle aA+{\mathfrak {q}}^{(k)}=aA+{\mathfrak {q}}^{(k+1)}}$ . Беручи довільний ${\displaystyle b\in {\mathfrak {q}}^{(k)}}$, одержимо, що ${\displaystyle b=ac+d}$ для деяких ${\displaystyle c\in A,\ d\in {\mathfrak {q}}^{(k+1)}}$ , звідки ${\displaystyle ac\in {\mathfrak {q}}^{(k)}}$ і ${\displaystyle sac\in {\mathfrak {q}}^{k}}$ для деякого ${\displaystyle s\not \in {\mathfrak {q}}}$ відповідно до означення символічного степеня. Але ${\displaystyle sa\not \in {\mathfrak {q}}}$ , отже також ${\displaystyle c\in {\mathfrak {q}}^{(k)}}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(k)}=a{\mathfrak {q}}^{(k)}+{\mathfrak {q}}^{(k+1)}}$ .

З леми Накаями одержується рівність ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(k)}={\mathfrak {q}}^{(k+1)}.}$ Справді маємо ${\displaystyle a\in {\mathfrak {p}}}$ і ідеал ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$ є максимальним, тож з леми Накаями для будь-якого скінченнопородженого модуля M з рівності ${\displaystyle {\mathfrak {p}}M=M}$ випливає, що ${\displaystyle M=0.}$ Як наслідок для скінченнопородженого модуля N, що є підмодулем M з рівності ${\displaystyle {\mathfrak {p}}M+N=M}$ випливає, що ${\displaystyle N=M.}$ Взявши ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(k)},{\mathfrak {q}}^{(k+1)}}$ як ${\displaystyle M,N}$ отримуємо необхідну рівність.

Отже, ${\displaystyle {\mathfrak {q}}^{(k)}={\mathfrak {q}}^{(k+1)}}$ і ${\displaystyle {\mathfrak {q}}}$ є мінімальним простим ідеалом відповідно до властивостей символічних степенів і ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}=1}$

Теорема Круля про висоту

Спершу доведемо таке твердження. Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1},{\mathfrak {q}}_{2},...,{\mathfrak {q}}_{m}}$ — прості ідеали нетерового кільця A і ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\supsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\supsetneq ...\supsetneq {\mathfrak {p}}_{l}}$ — ланцюжок простих ідеалів A, такий що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\not \subseteq {\mathfrak {q}}_{i}}$ для всіх і. Тоді існує ланцюжок простих ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{0}\supsetneq {\mathfrak {p}}_{1}'\supsetneq ...\supsetneq {\mathfrak {p}}_{l-1}'\supsetneq {\mathfrak {p}}_{l},}$ такий що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{i}'\not \subseteq {\mathfrak {q}}_{j}}$ для всіх і,j.

Можна припустити,що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{l}\subseteq {\mathfrak {q}}_{i}}$ для всіх і. Замінивши A на ${\displaystyle A/{\mathfrak {p}}_{l},}$ вважатимемо, що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{l}=\{0\}.}$ Використовуючи індукцію щодо довжини l, можна також припустити, що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{l-2}\not \subseteq {\mathfrak {q}}_{i}}$ для всіх і. Згідно леми про уникнення простих ідеалів існує ${\displaystyle a\in {\mathfrak {p}}_{l-2}}$ такий, що ${\displaystyle a\not \in \bigcap _{i=1}^{m}{\mathfrak {q}}_{i}}$. Елемент a не є оборотним і не є дільником нуля, оскільки за припущенням нульовий ідеал є простим. Тому, якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{l-1}'}$ — мінімальний простий ідеал, який міститься в ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{l-2}}$ і містить a, то за теоремою Круля про головний ідеал ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}_{l-1}'=1.}$ Оскільки ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}_{l-2}\geqslant 2,}$ то ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{l-1}'\neq {\mathfrak {p}}_{l-2}}$ і ми одержуємо необхідний ланцюжок.

Доведення теореми про висоту здійснюється індукцією по кількості породжуючих елементів m. Випадок m = 1 випливає з теореми Круля про головний ідеал. Розглянемо ідеал ${\displaystyle (a_{1},a_{2},...,a_{m})}$де породжуюча множина містить найменшу можливі кількість елементів і нехай ${\displaystyle {\mathfrak {p}}}$— відповідний мінімальний простий ідеал.

Нехай ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{1},{\mathfrak {q}}_{2},...,{\mathfrak {q}}_{m}}$ — мінімальні прості ідеали, які містять ідеал ${\displaystyle I=(a_{1},a_{2},...,a_{m-1})}$ (їх кількість завжди є скінченною). Якщо ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {q}}_{i}}$ для деякого і, то ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}\leqslant m-1.}$ Припустимо, що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}\neq {\mathfrak {q}}_{i}.}$

Розглянемо будь-який ланцюжок простих ідеалів ${\displaystyle {\mathfrak {p}}={\mathfrak {p}}_{0}\supsetneq {\mathfrak {p}}_{1}\supsetneq ...\supsetneq {\mathfrak {p}}_{l}.}$ Із попереднього можна припустити що ${\displaystyle {\mathfrak {p}}_{l-1}\not \subseteq {\mathfrak {q}}_{i}}$ для всіх і. Позначимо ${\displaystyle {\bar {A}}=A/I,\ {\bar {a}}=a+I\in {\bar {A}},\ {\bar {\mathfrak {q}}}_{i}={\mathfrak {q}}_{i}/I,\ {\bar {\mathfrak {p}}}_{i}={\mathfrak {p}}_{i}/I.}$ Тоді ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {p}}}={\bar {\mathfrak {p}}}_{0}}$ є мінімальним серед простих ідеалів ${\displaystyle {\bar {A}},}$ що містять ${\displaystyle a_{m},}$ отже, ${\displaystyle \operatorname {ht} {\bar {\mathfrak {p}}}\leqslant 1.}$ Оскільки ${\displaystyle {\mathfrak {q}}_{i}}$ є всіма мінімальними простими ідеалами ${\displaystyle {\bar {A}}}$ і ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {p}}}_{l-1}\not \subseteq {\mathfrak {q}}_{i},}$ то ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {p}}}}$ є мінімальним серед простих ідеалів ${\displaystyle {\bar {A}},}$ що містять ${\displaystyle {\bar {\mathfrak {p}}}_{l-1}.}$ Тому ${\displaystyle {\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}_{l-1}}$ є мінімальним серед простих ідеалів у ${\displaystyle A/{\mathfrak {p}}_{l-1},}$ які містять всі класи ${\displaystyle a_{i}+{\mathfrak {p}}_{l-1}\ (i=1,...,m-1).}$ За індуктивним припущенням, ${\displaystyle \operatorname {ht} {\mathfrak {p}}/{\mathfrak {p}}_{l-1}\leqslant m-1,}$ тобто ${\displaystyle l\leqslant m.}$

Див. також

• Висота (теорія кілець)
• Мінімальний простий ідеал

Література

• Юрій Дрозд. Вступ до алгебричної геометрії
• David Eisenbud: Commutative Algebra. with a View Toward Algebraic Geometry Springer, New York, , 10. The Principal Ideal Theorem an Systems of Parameters.
• Michael Francis Atiyah, Ian Grant Macdonald: Introduction to Commutative Algebra. Westview Press, New York, , 11 Dimension Theory.