Знакозмінна міра

Зарядом (або знакозмінною мірою) у математиці, зокрема теорії міри називається узагальнення поняття міри множини, що може набувати будь-яких дійсних значень, а не лише невід'ємних чисел.

Означення

Загалом у літературі існують різні означення терміну заряд. Одним із поширених і досить загальних є таке:

зарядом називається скінченно адитивна функція множин, визначена на деякій алгебрі множин із значеннями на розширеній дійсній прямій ${\displaystyle \mathbb {R} \cup \left\{-\infty ,+\infty \right\}.}$ Іншими словами для множини ${\displaystyle X}$ і заданої на ній алгебри підмножин ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ функція ${\displaystyle \mu :{\mathcal {A}}\to \mathbb {R} \cup \{\infty ,-\infty \}}$ називається зарядок якщо:

• ${\displaystyle \mu (\varnothing )=0,}$
• Якщо ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ і ${\displaystyle A\cap B=\varnothing }$, то ${\displaystyle \mu (A\cup B)=\mu (A)+\mu (B).}$

Оскільки вирази на зразок ${\displaystyle \infty -\infty }$ є невизначеними то заряд для якого ${\displaystyle \mu (A)=+\infty ,}$ а ${\displaystyle \mu (X\setminus A)=-\infty }$ є неприпустимим. Звідси якщо ${\displaystyle \mu (A)=+\infty }$ то і ${\displaystyle \mu (X)=+\infty }$. Аналогічно якщо ${\displaystyle \mu (B)=-\infty ,}$ то і ${\displaystyle \mu (X)=-\infty }$. Відповідно заряд може набувати щонайбільше одного із значень ${\displaystyle \{\infty ,-\infty \}.}$ Оскільки для заряду ${\displaystyle \mu }$ функція ${\displaystyle -\mu }$ теж є зарядом основні властивості якого є аналогічним до ${\displaystyle \mu }$ то у визначенні заряду іноді конкретизують, що він може приймати лише значення ${\displaystyle +\infty ,}$ тобто областю значень є множина ${\displaystyle (-\infty ,+\infty ].}$

Дійсним зарядом називається заряд значеннями якого є лише дійсні числа (тобто заряд жодної множини не є безмежним). Іноді термін заряд використовується лише для дійсних зарядів. Також важливим є поняття обмеженого заряду, тобто заряду для якого ${\displaystyle \sup _{A\in {\mathcal {A}}}|\mu (A)|<\infty .}$ Додатним зарядом називається заряд для якого ${\displaystyle \mu (A)\geqslant 0}$ для всіх ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}<\infty .}$

Дуже часто в означенні заряду вимагається властивість σ-адитивності.

Σ-адитивним зарядом називається заряд (у найзагальнішому означенні) для якого додатково виконується умова:

${\displaystyle \mu \left(\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\mu (A_{n})}$

для будь-якої послідовності множин ${\displaystyle A_{1}}$, ${\displaystyle A_{2},\ldots ,A_{n},\ldots }$ для якої ${\textstyle \bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}}$ і ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }$ для ${\displaystyle i\neq j}$. Найчастіше у цьому випадку заряд розглядається на σ-алгебрі.

Приклади

• Нехай ${\displaystyle \mu _{1}}$ і ${\displaystyle \mu _{2}}$ є стандартними мірами на ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ і хоча б одна із цих мір є скінченною. Тоді ${\displaystyle \mu =\mu _{1}-\mu _{2}}$ є σ-адитивним зарядом на ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$. Якщо обидві міри є скінченними, то заряд є обмеженим. Якщо для ${\displaystyle \mu _{1}}$ і ${\displaystyle \mu _{2}}$ вимагати лише скінченну адитивність, то ${\displaystyle \mu }$ буде (скінченно адитивним) зарядом.
• Нехай ${\displaystyle X=\mathbb {N} }$ — множина натуральних чисел і ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ є алгеброю елементами якої є множини, які або самі є скінченними або мають скінченні доповнення. Тоді функція задана як ${\displaystyle \mu (A)=}$ кількості елементів A, якщо A є скінченною і -(кількості елементів ${\displaystyle X\setminus A}$), якщо ${\displaystyle X\setminus A}$ є скінченною (зокрема ${\displaystyle \mu (X)=0}$) є дійсним необмеженим зарядом.
• Нехай ${\displaystyle X=[0,\ 1)}$ і ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ є алгеброю породженою напівалгеброю інтервалів виду ${\displaystyle [a,\ b)}$ для ${\displaystyle 0\leqslant a\leqslant b\leqslant 1.}$ Елементами ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ є скінченні диз'юнктні об'єднання інтервалів вказаного виду. Нехай ${\displaystyle f:X\to \mathbb {R} }$ — довільна дійснозначна функція. Тоді якщо визначити ${\displaystyle \mu _{f}([a,\ b))=f(b)-f(b)}$ і для всіх множин алгебри ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ продовжити за адитивністю, то ${\displaystyle \mu _{f}}$ є зарядом.

Вибираючи конкретні ${\displaystyle f}$ можна одержати багато цікавих прикладів і контрприкладів зарядів. Нехай, наприклад, ${\displaystyle f(x)=0}$ якщо ${\displaystyle x}$ є ірраціональним числом або ${\displaystyle x=0}$ і ${\displaystyle f\left({m \over n}\right)=n}$ для раціональних чисел записаних через нескоротний дріб як ${\displaystyle {m \over n}.}$ Тоді відповідний заряд ${\displaystyle \mu _{f}}$ є дійсним але не обмеженим ні зверху ні знизу. Навіть більше для кожної множини ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$ існують підмножини із зарядами більшими за будь-яке додатне число і підмножини із зарядами меншими за будь-яке від'ємне число.

Також ${\displaystyle \mu _{f}}$ у цьому випадку є скінченно адитивном (за побудовою) але не σ-адитивним. Дійсно ${\displaystyle \mu _{f}([0,\ 1))=f(1)-f(0)=1-0=1}$ і якщо ${\displaystyle x_{i},\ i\geqslant 0}$ є строго зростаючою послідовністю додатних ірраціональних чисел для яких ${\textstyle \lim _{i\to \infty }x_{i}=1}$ і ${\displaystyle x_{0}=0}$ то ${\textstyle [0,\ 1)=\bigcup _{i=0}^{\infty }[x_{i},\ x_{i+1})}$ але

${\displaystyle \mu _{f}([,\ 1))=1\neq 0=\sum _{i=0}^{\infty }\mu _{f}([x_{i},\ x_{i+1})).}$

• Нехай (X, Σ) є вимірним простором, ${\displaystyle \nu }$ — міра на ньому і f: X → R — вимірна функція для якої

${\displaystyle \int _{X}\!|f(x)|\,d\nu (x)<\infty .}$

Тоді на (X, Σ) можна ввести σ-адитивний заряд для якого

${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}\!f(x)\,d\nu (x)}$

для всіх A із Σ. Цей заряд є прикладом дійсного σ-адитивного заряду.

• Подібний приклад σ-адитивного заряду, що набуває значень +∞ можна одержати якщо послабити вимоги до функції f і замість абсолютної інтегровності вимагати виконання умови:

${\displaystyle \int _{X}\!f^{-}(x)\,d\nu (x)<\infty ,}$

де f⁻(x) = max(−f(x), 0).

Властивості

Загальні вдастивості

Всюди нижче множини ${\displaystyle A,B}$ належать деякій алгебрі ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$ підмножин множини X і ${\displaystyle \mu }$ є зарядом на ${\displaystyle {\mathcal {A}}}$.

• Для довільної скінченної кількості множин ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}},\ i=1,\ldots ,n}$ для яких ${\displaystyle A_{i}\cap A_{j}=\varnothing }$ для ${\displaystyle i\neq j}$ виконується рівність (скінченна адитивність):

${\textstyle \mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)=\sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i}).}$

• Якщо ${\displaystyle A\subset B}$ і ${\displaystyle -\infty <\mu (A)<\infty }$ тоді ${\displaystyle \mu (B\setminus A)=\mu (B)-\mu (A).}$
• Якщо ${\displaystyle A\subset B}$, то з того, що ${\displaystyle \mu (B)<\infty }$ випливає, що і ${\displaystyle \mu (A)<\infty }$; аналогічно, якщо ${\displaystyle \mu (B)>-\infty }$ то і ${\displaystyle \mu (A)>-\infty .}$
• ${\displaystyle \mu (A)+\mu (B)=\mu (A\cup B)+\mu (A\cap B).}$ Більш загально для скінченної кількості множин ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}},\ i=1,\ldots ,n}$ :

${\textstyle \sum _{i=1}^{n}\mu (A_{i})=\mu \left(\bigcup _{i=1}^{n}A_{i}\right)+\mu \left(\bigcup _{i\neq j}A_{i}\cap A_{j}\right)+\mu \left(\bigcup _{i<j<k}A_{i}\cap A_{j}\cap A_{k}\right)+\ldots +\mu \left(\bigcap _{i=1}^{n}A_{i}\right).}$

• Заряд ${\displaystyle \mu }$ є σ-адитивним тоді і тільки тоді коли для нього виконується умова неперервності знизу: для довільної неспадної послідовності ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}},\ i\geqslant 1}$(тобто ${\displaystyle A_{i}\subseteq A_{j}}$ при ${\displaystyle i<j}$) для якої ${\textstyle A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}}$ виконується рівність: ${\displaystyle \mu (A)=\lim _{i\to \infty }\mu (A_{n}).}$
• Якщо ${\displaystyle \mu }$ є дійсним зарядом, то він є σ-адитивним тоді і тільки тоді коли виконується якась із двох еквівалентних умов:
  1. Для довільної незростаючої послідовності ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}},\ i\geqslant 1}$(тобто ${\displaystyle A_{i}\supseteq A_{j}}$ при ${\displaystyle i<j}$) для якої ${\textstyle A=\bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}\in {\mathcal {A}}}$ виконується рівність: ${\displaystyle \mu (A)=\lim _{i\to \infty }\mu (A_{n}).}$
  2. Для довільної незростаючої послідовності ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}},\ i\geqslant 1}$ для якої ${\textstyle \bigcap _{n=1}^{\infty }A_{n}=\varnothing }$ виконується рівність ${\displaystyle \lim _{i\to \infty }\mu (A_{n})=0.}$

• Якщо ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle \nu }$ є зарядами, а ${\displaystyle a,\ b}$ — дійсними числами, то ${\displaystyle a\cdot \mu +b\cdot \nu }$ теж є зарядом. Тому на просторі всіх зарядів на ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ можна ввести структуру дійсного векторного простору. Дійсні, обмежені, обмежені зверху чи знизу, σ-адитивні заряди утворюють векторні підпростори цього простору але множина додатних зарядів і множина мір не є векторними підпросторами. На множині зарядів на ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ також можна ввести відношення часткового порядку вважаючи, що ${\displaystyle \mu \leqslant \nu }$ якщо ${\displaystyle \mu (A)\leqslant \nu (A)}$ для всіх ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$. Це відношення узгоджується із векторною структурою простору: якщо ${\displaystyle \mu \leqslant \nu }$ то ${\displaystyle \mu +\rho \leqslant \nu +\rho }$ і ${\displaystyle a\cdot \mu \leqslant a\cdot \nu }$ для будь-якого заряду ${\displaystyle \rho }$ і додатного числа a. Іншими словами заряди на ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ утворюють впорядкований векторний простір. Це ж твердження є істинним і для його підпросторів.

Властивості обмежених зарядів

Нехай ${\displaystyle \mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}})}$ позначає множину обмежених зарядів на ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ і ${\displaystyle \mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}})}$ — множину σ-адитивних обмежених зарядів на ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$. Також для ${\displaystyle \mu ,\nu \in \mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}})}$ всюди нижче використовуються позначення

${\displaystyle (\mu \land \nu )(A)=\inf _{B\subset A}(\mu (B)+\nu (A\setminus B))}$

${\displaystyle (\mu \lor \nu )(A)=\sup _{B\subset A}(\mu (B)+\nu (A\setminus B))}$

${\displaystyle \mu ^{+}=\mu \lor 0,\ \mu ^{-}=-\mu \lor 0,\ |\mu |=\mu ^{+}+\mu ^{-}.}$

${\displaystyle \mu ^{+},\ \mu ^{-},\ |\mu |}$ називаються відповідно додатною, від'ємною і повною варіаціями заряду ${\displaystyle \mu .}$

• ${\displaystyle \mu ^{+},\ \mu ^{-},\ |\mu |}$ є додатними обмеженими зарядами для яких ${\displaystyle \mu ^{+}\land \mu ^{-}=0}$ і ${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$ (розклад Жордана).
• Еквівалентно для додатної і від'ємної варіацій:

  ${\displaystyle \mu ^{+}(A)=\sup _{B\subset A}(\mu (B))}$

  ${\displaystyle \mu ^{-}(A)=-\inf _{B\subset A}(\mu (B)).}$

• Для повної варіації:

  ${\displaystyle |\mu |(A)=\sup _{B\subset A}(\mu (B)-\mu (A\setminus B))=\sup \left(\sum _{i=1}^{n}|\mu (A_{i})|\right)}$ де у останній рівності супремум береться по всіх розбиттях множини ${\displaystyle A}$ як диз'юнктного об'єднання скінченної кількості множин ${\displaystyle A_{i}\in {\mathcal {A}}.}$

• Функції ${\displaystyle \mu \land \nu }$ і ${\displaystyle \mu \lor \nu }$ є обмеженими зарядами і є відповідно інфімумом і супремумом для множини ${\displaystyle \{\mu ,\nu \}}$ у введеному вище відношенні часткового порядку. Таким чином ${\displaystyle \mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}})}$ із введеними вище структурою векторного простору і відношенням часткового порядку є векторною ґраткою (простором Ріса). Ця ґратка є обмежено повною, тобто кожна обмежена зверху множина зарядів має супремум, а обмежена знизу — інфімум.
• На просторі ${\displaystyle \mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}})}$ можна ввести норму: ${\displaystyle \|\mu \|=|\mu |(X).}$ Із цією нормою ${\displaystyle \mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}})}$ є повним нормованим простором.
• Якщо ${\displaystyle \mu ,\nu \in \mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}})}$ то також усі заряди ${\displaystyle \mu ^{+},\ \mu ^{-},\ |\mu |}$ і ${\displaystyle \mu \land \nu }$ з ${\displaystyle \mu \lor \nu }$ теж належать ${\displaystyle \mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}}).}$ Таким чином ${\displaystyle \mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}})}$ є векторною підґраткою ${\displaystyle \mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}}).}$ Більше того ця підґратка є нормальною тобто, якщо деяка множина зарядів із ${\displaystyle \mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}})}$ має супремум у ${\displaystyle \mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}}),}$ то він також є елементом ${\displaystyle \mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}})}$ і якщо для ${\displaystyle \mu ,\nu \in \mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}})}$виконується нерівність ${\displaystyle |\mu |\leqslant |\nu |}$ і також ${\displaystyle \nu \in \mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}})}$ то і ${\displaystyle \mu \in \mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}}).}$ Окрім того ${\displaystyle \mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}})}$ є замкнутим підпростором ${\displaystyle \mathrm {ba} \;(X,\;{\mathcal {A}})}$ згідно відповідної норми. Відповідно ${\displaystyle \mathrm {ca} \;(X,\;{\mathcal {A}})}$ теж є обмежено повною ґраткою і повним нормованим простором.

Теореми про розклад

Для довільних зарядів ${\displaystyle \mu ,\nu }$ які або одночасно не приймають значення ${\displaystyle \infty }$ або одночасно не приймають значення ${\displaystyle -\infty }$ можна аналогічно ввести ${\displaystyle \mu \land \nu }$ і ${\displaystyle \mu \lor \nu }$. Також для довільного заряду ${\displaystyle \mu }$ можна позначити ${\displaystyle \mu ^{+}}$ і ${\displaystyle \mu ^{-}}$ заряди одержані за означенням як ${\displaystyle \mu ^{+}(A)=\sup _{B\subset A}(\mu (B))}$ і ${\displaystyle \mu ^{-}(A)=-\inf _{B\subset A}(\mu (B)).}$ Тоді ${\displaystyle \mu ^{+}}$ і ${\displaystyle \mu ^{-}}$ є додатними зарядами.

Теорема про розклад Жордана у загальному випадку стверджує, що якщо ${\displaystyle \mu }$ не приймає значення ${\displaystyle \infty }$ то ${\displaystyle \mu ^{+}-\mu =\mu ^{-},}$ якщо ${\displaystyle \mu }$ не приймає значення ${\displaystyle -\infty }$ то ${\displaystyle \mu ^{-}+\mu =\mu ^{+}}$ і ${\displaystyle \mu =\mu ^{-}+\mu ^{+}}$ якщо і тільки якщо ${\displaystyle \mu }$ є обмеженим знизу або обмеженим зверху. Зокрема розклад Жордана ${\displaystyle \mu =\mu ^{+}-\mu ^{-}}$ існує для довільних обмежених зарядів і σ-адитивних зарядів на σ-алгебрі. В останньому випадку ${\displaystyle \mu ^{+}}$ і ${\displaystyle \mu ^{-}}$ будуть мірами.

Також розклад Жордана існує тоді і лише тоді, коли ${\displaystyle \mu ^{+}\land \mu ^{-}=0}$ і якщо ${\displaystyle \mu =\mu _{1}-\mu _{2}}$ і ${\displaystyle \mu _{1}\land \mu _{2}=0}$ для додатних зарядів ${\displaystyle \mu _{1},\ \mu _{2}}$ то ${\displaystyle \mu _{1}=\mu ^{+},\ \mu _{2}=\mu ^{-}.}$

Теорема Гана про розклад стверджує, що якщо ${\displaystyle \mu }$ є обмеженим знизу або обмеженим зверху то для довільного додатного числа ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує така множина ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$ що для довільних ${\displaystyle B,C\in {\mathcal {A}},}$ якщо ${\displaystyle B\subset A}$ то ${\displaystyle \mu (B)<\varepsilon }$ і якщо ${\displaystyle C\subset X\setminus A}$ то ${\displaystyle \mu (C)>-\varepsilon .}$

Якщо додатково ${\displaystyle \mu }$ є σ-адитивним зарядом на σ-алгебрі то існує така множина ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}},}$ що для довільних ${\displaystyle B,C\in {\mathcal {A}},}$ якщо ${\displaystyle B\subset A}$ то ${\displaystyle \mu (B)\leqslant 0}$ і якщо ${\displaystyle C\subset X\setminus A}$ то ${\displaystyle \mu (C)\geqslant 0.}$ До того ж у цьому випадку якщо ${\displaystyle A,A'\in {\mathcal {A}}}$ є двома такими множинами то для симетричних різниць ${\displaystyle A\triangle A'=0}$ і ${\displaystyle (X\setminus A)\triangle (X\setminus A')=0.}$ Розклад Жордана у цьому випадку можна також отримати як ${\displaystyle \mu ^{-}(B)=\mu (B\cap A)}$ і ${\displaystyle \mu ^{+}(B)=\mu (B\setminus A).}$

Заряд ${\displaystyle \nu }$ на ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$ називається абсолютно неперервним щодо заряду ${\displaystyle \mu }$ на ${\displaystyle (X,{\mathcal {A}})}$, якщо для кожного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує ${\displaystyle \delta >0}$, таке, що для кожної множини ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$, якщо ${\displaystyle |\mu |(A)<\delta }$ то ${\displaystyle |\nu (A)|<\varepsilon .}$ Із цієї властивості випливає властивість слабкої абсолютної неперервності: ${\displaystyle \nu }$ називається слабко абсолютно неперервним щодо ${\displaystyle \mu }$заряду ${\displaystyle \mu }$, якщо для кожної множини ${\displaystyle A\in {\mathcal {A}}}$, із того, що ${\displaystyle |\mu |(A)=0}$ випливає, що ${\displaystyle \nu (A)=0.}$ У випадку якщо ${\displaystyle \mu }$ є додатним зарядом, то ці два поняття є еквівалентними. Нехай ${\displaystyle \mu ,\nu \in \mathrm {ba} \;(X,\;\Sigma )}$. Тоді заряд ${\displaystyle \nu }$ єдиним чином можна подати у вигляді суми ${\displaystyle \nu =\nu _{1}+\nu _{2}}$, де ${\displaystyle \nu _{1}}$ є абсолютно неперервним щодо ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle \nu _{2}}$ є сингулярною із ${\displaystyle \mu }$. Такий розклад міри ${\displaystyle \nu }$ прийнято назвати розкладом Лебега.

Додатний заряд ${\displaystyle \nu \in \mathrm {ba} \;(X,\;\Sigma )}$ називається чисто скінченно адитивним, якщо для будь-якої додатної зліченно-адитивної міри ${\displaystyle \mu }$ з ${\displaystyle 0\leqslant \mu \leqslant \nu }$ випливає, що ${\displaystyle \mu =0}$. Довільний заряд називається чисто скінченно адитивним, якщо такими є заряди ${\displaystyle \nu ^{+}}$ і ${\displaystyle \nu ^{-}}$.

Будь-який заряд ${\displaystyle \nu \in \mathrm {ba} \;(X,\;\Sigma )}$ єдиним чином записується у вигляді суми ${\displaystyle \nu =\nu _{ca}+\nu _{pfa}}$, де ${\displaystyle \nu _{ca}}$ — зліченно-адитивний заряд, а ${\displaystyle \nu _{pfa}}$ — чисто скінченно адитивний заряд. Такий розклад також називається розкладом Йосиди — Г'юїта.

Див. також

• Векторна міра
• Комплексна міра
• Міра множини
• Сигма-алгебра
• Теорема Гана про розклад

Література

• Bartle, Robert G. (1966), The Elements of Integration, New York: John Wiley and Sons, Zbl 0146.28201
• Bhaskara Rao, K. P. S.; Bhaskara Rao, M. (1983), , Pure and Applied Mathematics, № 109, London: Academic Press, ISBN , Zbl 0516.28001, архів оригіналу за 28 січня 2022, процитовано 28 січня 2022
• Cohn, Donald L. (1997), , Boston: Birkhäuser Verlag, ISBN , Zbl 0436.28001, архів оригіналу за 28 січня 2022, процитовано 28 січня 2022