У теорії міри, теорема Гана про розклад є твердженням про властивості зарядів. Названа на честь австрійського математика Ганса Гана. У випадку сигма-адитивного заряду на σ-алгебрі ця теорема і пов'язана теорема про розклад Жордана дозволяють фактично звести теорію зарядів і інтегралів на них до відповідної теорії міри.
Твердження теореми
Для будь-якого вимірного простору і будь-якого сигма-адитивного заряду , визначеного на -алгебрі існують -вимірні множини і для яких:
- і .
- Для кожної множини такого, якщо , то , тобто на всіх вимірних підмножинах множини значення заряду є не меншим 0 (множини із такою властивістю називаються додатними).
- Для кожної множини такого, якщо , то , тобто на всіх вимірних підмножинах множини значення заряду є не більшим 0 (множини із такою властивістю називаються від'ємними).
Більше того, цей розклад є майже єдиним у сенсі, що для будь-якої іншої пари множин із для яких виконуються ці три умови, симетричні різниці і є мають міру нуль разом із усіма їх підмножинами.
Пара називається розкладом Гана заряду .
Доведення
Можна вважати, що не приймає значення (в іншому випадку можна розглядати міру ).
Твердження про від'ємні множини
Нехай і . Тоді існує від'ємна множина ( тобто множина , така що для кожної -вимірної підмножини , також ) для якої .
Доведення
Нехай і за припущенням індукції для побудована множина . Нехай позначає супремум для усіх -вимірних підмножин множини . Цей супремум може бути нескінченним. Оскільки порожня множина є підмножиною , то . Згідно означення , існує -вимірна підмножина , для якої
Тоді крок індукції завершується якщо прийняти . Остаточно нехай:
Оскільки множини попарно не перетинаються, то із сигма адитивності заряду випливає, що
Зокрема звідси випливає, що . Якщо не є від’ємною множиною то існує -вимірна підмножина , яка задовольняє . Оскільки за побудовою також для кожного то і , тож сума ряду праворуч є рівною і тому також , що суперечить припущенню. Отже такої множини не існує і є від’ємною множиною.
Побудова розкладу Гана
Нехай і, за індукцією, при вже наявному нехай позначає інфімум для усіх -вимірних підмножин множини . Цей інфімум може бути рівним . Оскільки порожня множина є підмножиною то . Отже, існує -вимірна підмножина для якої
Згідно з наведеним вище твердженням існує від'ємна множина така, що . Тоді для завершення кроку індукції можна позначити .
Остаточно також
Оскільки множини попарно не перетинаються, для кожної -вимірної підмножини :
згідно сигма-адитивності заряду . Зокрема є від’ємною множиною. Якщо позначити то є додатною множиною. Якби це було не так, то існувала б -вимірна підмножина для якої . Але тоді для всіх і
що суперечить припущенню про . Отже, є додатною множиною.
Властивість майже єдиності
Якщо є ще одним розкладом Гана для , то є водночас додатною і від'ємною множиною. Отже, кожна його вимірна підмножина має міру нуль. Те ж саме стосується і . Рівності:
і адитивність заряду завершують доведення теореми.
Розклад Жордана заряду
Наслідком теореми Гана про розклад є Теорема Жордана про розклад, яка стверджує, що для кожного сигма-адитивного заряду заданого на існує розклад на різницю двох мір і , принаймні одна із яких є скінченною.
Теорема Жордана відразу випливає із теореми Гана, якщо для довільної -вимірної множини відповідні міри визначити як:
для будь-якого розкладу Гана заряду .
Для побудованих так мір також для будь якого розкладу Гана також для -вимірних підмножин і для -вимірних підмножин .
Міри і визначені за допомогою розкладу Гана називаються додатною і від'ємною складовою заряду відповідно. Пара називається розкладом Жордана (або розкладом Гана — Жордана) заряду . Розклад Жордана є єдиним, його означення не залежить від вибору розкладу Гана.
Еквівалентно означення мір із розкладу Жордана для заряду можна одержати із рівностей
для будь-якого у .
Розклад Жордана є мінімальним із усіх розкладів заряду як різниці мір: якщо також для пари невід’ємних мір на , то
Міри із розкладу Жордана є сингулярними. Міра називається повною варіацією заряду
Див. також
Посилання
- Hahn decomposition theorem на сайті PlanetMath.
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Hahn decomposition, Математична енциклопедія, , ISBN
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Jordan decomposition of a signed measure, Математична енциклопедія, , ISBN
Література
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U teoriyi miri teorema Gana pro rozklad ye tverdzhennyam pro vlastivosti zaryadiv Nazvana na chest avstrijskogo matematika Gansa Gana U vipadku sigma aditivnogo zaryadu na s algebri cya teorema i pov yazana teorema pro rozklad Zhordana dozvolyayut faktichno zvesti teoriyu zaryadiv i integraliv na nih do vidpovidnoyi teoriyi miri Tverdzhennya teoremiDlya bud yakogo vimirnogo prostoru X S displaystyle X Sigma i bud yakogo sigma aditivnogo zaryadu m displaystyle mu viznachenogo na s displaystyle sigma algebri S displaystyle Sigma isnuyut S displaystyle Sigma vimirni mnozhini P displaystyle P i N displaystyle N dlya yakih P N X displaystyle P cup N X i P N displaystyle P cap N varnothing Dlya kozhnoyi mnozhini E S displaystyle E in Sigma takogo yaksho E P displaystyle E subseteq P to m E 0 displaystyle mu E geqslant 0 tobto na vsih vimirnih pidmnozhinah mnozhini P displaystyle P znachennya zaryadu m displaystyle mu ye ne menshim 0 mnozhini P displaystyle P iz takoyu vlastivistyu nazivayutsya dodatnimi Dlya kozhnoyi mnozhini E S displaystyle E in Sigma takogo yaksho E N displaystyle E subseteq N to m E 0 displaystyle mu E leqslant 0 tobto na vsih vimirnih pidmnozhinah mnozhini N displaystyle N znachennya zaryadu m displaystyle mu ye ne bilshim 0 mnozhini N displaystyle N iz takoyu vlastivistyu nazivayutsya vid yemnimi Bilshe togo cej rozklad ye majzhe yedinim u sensi sho dlya bud yakoyi inshoyi pari P N displaystyle P N mnozhin iz S displaystyle Sigma dlya yakih vikonuyutsya ci tri umovi simetrichni riznici P P displaystyle P triangle P i N N displaystyle N triangle N ye mayut miru nul razom iz usima yih pidmnozhinami Para P N displaystyle P N nazivayetsya rozkladom Gana zaryadu m displaystyle mu DovedennyaMozhna vvazhati sho m displaystyle mu ne prijmaye znachennya displaystyle infty v inshomu vipadku mozhna rozglyadati miru m displaystyle mu Tverdzhennya pro vid yemni mnozhini Nehaj D S displaystyle D in Sigma i m D 0 displaystyle mu D leqslant 0 Todi isnuye vid yemna mnozhina A D displaystyle A subseteq D tobto mnozhina A S displaystyle A in Sigma taka sho dlya kozhnoyi S displaystyle Sigma vimirnoyi pidmnozhini B A displaystyle B subseteq A takozh m B 0 displaystyle mu B leqslant 0 dlya yakoyi m A m D displaystyle mu A leqslant mu D Dovedennya Nehaj A 0 D displaystyle A 0 D i za pripushennyam indukciyi dlya n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 pobudovana mnozhina A n D displaystyle A n subseteq D Nehaj t n displaystyle t n poznachaye supremum m B displaystyle mu B dlya usih S displaystyle Sigma vimirnih pidmnozhin B displaystyle B mnozhini A n displaystyle A n Cej supremum mozhe buti neskinchennim Oskilki porozhnya mnozhina displaystyle varnothing ye pidmnozhinoyu A n displaystyle A n to t n 0 displaystyle t n geqslant 0 Zgidno oznachennya t n displaystyle t n isnuye S displaystyle Sigma vimirna pidmnozhina B n A n displaystyle B n subseteq A n dlya yakoyi m B n min 1 t n 2 displaystyle mu B n geqslant min left 1 frac t n 2 right Todi krok indukciyi zavershuyetsya yaksho prijnyati A n 1 A n B n displaystyle A n 1 A n setminus B n Ostatochno nehaj A D n 0 B n displaystyle A D Bigg backslash bigcup n 0 infty B n Oskilki mnozhini B n n 0 displaystyle B n n 0 infty poparno ne peretinayutsya to iz sigma aditivnosti zaryadu m displaystyle mu viplivaye sho m A m D n 0 m B n m D n 0 min 1 t n 2 displaystyle mu A mu D sum n 0 infty mu B n leqslant mu D sum n 0 infty min left 1 frac t n 2 right Zokrema zvidsi viplivaye sho m A m D displaystyle mu A leqslant mu D Yaksho A displaystyle A ne ye vid yemnoyu mnozhinoyu to isnuye S displaystyle Sigma vimirna pidmnozhina B A displaystyle B subseteq A yaka zadovolnyaye m B gt 0 displaystyle mu B gt 0 Oskilki za pobudovoyu takozh B A n displaystyle B subseteq A n dlya kozhnogo n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 to i t n m B displaystyle t n geqslant mu B tozh suma ryadu pravoruch ye rivnoyu displaystyle infty i tomu takozh m A displaystyle mu A infty sho superechit pripushennyu Otzhe takoyi mnozhini B displaystyle B ne isnuye i A displaystyle A ye vid yemnoyu mnozhinoyu Pobudova rozkladu Gana Nehaj N 0 displaystyle N 0 varnothing i za indukciyeyu pri vzhe nayavnomu N n displaystyle N n nehaj s n displaystyle s n poznachaye infimum m D displaystyle mu D dlya usih S displaystyle Sigma vimirnih pidmnozhin D displaystyle D mnozhini X N n displaystyle X setminus N n Cej infimum mozhe buti rivnim displaystyle infty Oskilki porozhnya mnozhina displaystyle varnothing ye pidmnozhinoyu X N n displaystyle X setminus N n to s n 0 displaystyle s n leqslant 0 Otzhe isnuye S displaystyle Sigma vimirna pidmnozhina D n X N n displaystyle D n subseteq X setminus N n dlya yakoyi m D n max s n 2 1 0 displaystyle mu D n leqslant max left frac s n 2 1 right leqslant 0 Zgidno z navedenim vishe tverdzhennyam isnuye vid yemna mnozhina A n D n displaystyle A n subseteq D n taka sho m A n m D n displaystyle mu A n leqslant mu D n Todi dlya zavershennya kroku indukciyi mozhna poznachiti N n 1 N n A n displaystyle N n 1 N n cup A n Ostatochno takozh N n 0 A n displaystyle N bigcup n 0 infty A n Oskilki mnozhini A n n 0 displaystyle A n n 0 infty poparno ne peretinayutsya dlya kozhnoyi S displaystyle Sigma vimirnoyi pidmnozhini B N displaystyle B subseteq N m B n 0 m B A n displaystyle mu B sum n 0 infty mu B cap A n zgidno sigma aditivnosti zaryadu m displaystyle mu Zokrema N displaystyle N ye vid yemnoyu mnozhinoyu Yaksho poznachiti P X N displaystyle P X setminus N to P displaystyle P ye dodatnoyu mnozhinoyu Yakbi ce bulo ne tak to isnuvala b S displaystyle Sigma vimirna pidmnozhina D P displaystyle D subseteq P dlya yakoyi m D lt 0 displaystyle mu D lt 0 Ale todi s n m D displaystyle s n leqslant mu D dlya vsih n N 0 displaystyle n in mathbb N 0 i m N n 0 m A n n 0 max s n 2 1 displaystyle mu N sum n 0 infty mu A n leqslant sum n 0 infty max left frac s n 2 1 right infty sho superechit pripushennyu pro m displaystyle mu Otzhe P displaystyle P ye dodatnoyu mnozhinoyu Vlastivist majzhe yedinosti Yaksho N P displaystyle N P ye she odnim rozkladom Gana dlya X displaystyle X to P N displaystyle P cap N ye vodnochas dodatnoyu i vid yemnoyu mnozhinoyu Otzhe kozhna jogo vimirna pidmnozhina maye miru nul Te zh same stosuyetsya i N P displaystyle N cap P Rivnosti P P N N P N N P displaystyle P triangle P N triangle N P cap N cup N cap P i aditivnist zaryadu zavershuyut dovedennya teoremi Rozklad Zhordana zaryaduNaslidkom teoremi Gana pro rozklad ye Teorema Zhordana pro rozklad yaka stverdzhuye sho dlya kozhnogo sigma aditivnogo zaryadu m displaystyle mu zadanogo na S displaystyle Sigma isnuye rozklad m m m displaystyle mu mu mu na riznicyu dvoh mir m displaystyle mu i m displaystyle mu prinajmni odna iz yakih ye skinchennoyu Teorema Zhordana vidrazu viplivaye iz teoremi Gana yaksho dlya dovilnoyi S displaystyle Sigma vimirnoyi mnozhini E displaystyle E vidpovidni miri viznachiti yak m E m E P displaystyle mu E mu E cap P m E m E N displaystyle mu E mu E cap N dlya bud yakogo rozkladu Gana P N displaystyle P N zaryadu m displaystyle mu Dlya pobudovanih tak mir takozh dlya bud yakogo rozkladu Gana P N displaystyle P N takozh m E 0 displaystyle mu E 0 dlya S displaystyle Sigma vimirnih pidmnozhin E N displaystyle E subseteq N i m E 0 displaystyle mu E 0 dlya S displaystyle Sigma vimirnih pidmnozhin E P displaystyle E subseteq P Miri m displaystyle mu i m displaystyle mu viznacheni za dopomogoyu rozkladu Gana nazivayutsya dodatnoyu i vid yemnoyu skladovoyu zaryadu m displaystyle mu vidpovidno Para m m displaystyle mu mu nazivayetsya rozkladom Zhordana abo rozkladom Gana Zhordana zaryadu m displaystyle mu Rozklad Zhordana ye yedinim jogo oznachennya ne zalezhit vid viboru rozkladu Gana Ekvivalentno oznachennya mir iz rozkladu Zhordana m m displaystyle mu mu dlya zaryadu m displaystyle mu mozhna oderzhati iz rivnostej m E sup B S B E m B displaystyle mu E sup B in Sigma B subseteq E mu B m E inf B S B E m B displaystyle mu E inf B in Sigma B subseteq E mu B dlya bud yakogo E displaystyle E u S displaystyle Sigma Rozklad Zhordana ye minimalnim iz usih rozkladiv zaryadu yak riznici mir yaksho takozh m n n displaystyle mu nu nu dlya pari n n displaystyle nu nu nevid yemnih mir na X displaystyle X to n m n m displaystyle nu geqslant mu quad nu geqslant mu Miri m m displaystyle mu mu iz rozkladu Zhordana ye singulyarnimi Mira m m m displaystyle mu mu mu nazivayetsya povnoyu variaciyeyu zaryadu m displaystyle mu Div takozhZaryad teoriya miri PosilannyaHahn decomposition theorem na sajti PlanetMath Hazewinkel Michiel red 2001 Hahn decomposition Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Hazewinkel Michiel red 2001 Jordan decomposition of a signed measure Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4LiteraturaBillingsley Patrick 1995 Probability and Measure Third Edition Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics New York John Wiley amp Sons ISBN 0 471 00710 2 Fischer Tom 2012 Existence uniqueness and minimality of the Jordan measure decomposition arXiv 1206 5449 math ST