У теорії міри, теорема Гана про розклад є твердженням про властивості (зарядів). Названа на честь австрійського математика (Ганса Гана). У випадку сигма-адитивного заряду на σ-алгебрі ця теорема і пов'язана теорема про розклад Жордана дозволяють фактично звести теорію зарядів і інтегралів на них до відповідної теорії міри.
Твердження теореми
Для будь-якого вимірного простору і будь-якого сигма-адитивного (заряду)
, визначеного на
-алгебрі
існують
-вимірні множини
і
для яких:
і
.
- Для кожної множини
такого, якщо
, то
, тобто на всіх вимірних підмножинах множини
значення заряду
є не меншим 0 (множини
із такою властивістю називаються додатними).
- Для кожної множини
такого, якщо
, то
, тобто на всіх вимірних підмножинах множини
значення заряду
є не більшим 0 (множини
із такою властивістю називаються від'ємними).
Більше того, цей розклад є майже єдиним у сенсі, що для будь-якої іншої пари множин із
для яких виконуються ці три умови, симетричні різниці
і
є мають міру нуль разом із усіма їх підмножинами.
Пара називається розкладом Гана заряду
.
Доведення
Можна вважати, що не приймає значення
(в іншому випадку можна розглядати міру
).
Твердження про від'ємні множини
Нехай і
. Тоді існує від'ємна множина
( тобто множина
, така що для кожної
-вимірної підмножини
, також
) для якої
.
Доведення
Нехай і за припущенням індукції для
побудована множина
. Нехай
позначає супремум
для усіх
-вимірних підмножин
множини
. Цей супремум може бути нескінченним. Оскільки порожня множина
є підмножиною
, то
. Згідно означення
, існує
-вимірна підмножина
, для якої
Тоді крок індукції завершується якщо прийняти . Остаточно нехай:
Оскільки множини попарно не перетинаються, то із сигма адитивності заряду
випливає, що
Зокрема звідси випливає, що . Якщо
не є від’ємною множиною то існує
-вимірна підмножина
, яка задовольняє
. Оскільки за побудовою також
для кожного
то і
, тож сума ряду праворуч є рівною
і тому також
, що суперечить припущенню. Отже такої множини
не існує і
є від’ємною множиною.
Побудова розкладу Гана
Нехай і, за індукцією, при вже наявному
нехай
позначає інфімум
для усіх
-вимірних підмножин
множини
. Цей інфімум може бути рівним
. Оскільки порожня множина
є підмножиною
то
. Отже, існує
-вимірна підмножина
для якої
Згідно з наведеним вище твердженням існує від'ємна множина така, що
. Тоді для завершення кроку індукції можна позначити
.
Остаточно також
Оскільки множини попарно не перетинаються, для кожної
-вимірної підмножини
:
згідно сигма-адитивності заряду . Зокрема
є від’ємною множиною. Якщо позначити
то
є додатною множиною. Якби це було не так, то існувала б
-вимірна підмножина
для якої
. Але тоді
для всіх
і
що суперечить припущенню про . Отже,
є додатною множиною.
Властивість майже єдиності
Якщо є ще одним розкладом Гана для
, то
є водночас додатною і від'ємною множиною. Отже, кожна його вимірна підмножина має міру нуль. Те ж саме стосується і
. Рівності:
і адитивність заряду завершують доведення теореми.
Розклад Жордана заряду
Наслідком теореми Гана про розклад є Теорема Жордана про розклад, яка стверджує, що для кожного сигма-адитивного заряду заданого на
існує розклад
на різницю двох мір
і
, принаймні одна із яких є скінченною.
Теорема Жордана відразу випливає із теореми Гана, якщо для довільної -вимірної множини
відповідні міри визначити як:
для будь-якого розкладу Гана заряду
.
Для побудованих так мір також для будь якого розкладу Гана також
для
-вимірних підмножин
і
для
-вимірних підмножин
.
Міри і
визначені за допомогою розкладу Гана називаються додатною і від'ємною складовою заряду
відповідно. Пара
називається розкладом Жордана (або розкладом Гана — Жордана) заряду
. Розклад Жордана є єдиним, його означення не залежить від вибору розкладу Гана.
Еквівалентно означення мір із розкладу Жордана для заряду
можна одержати із рівностей
для будь-якого у
.
Розклад Жордана є мінімальним із усіх розкладів заряду як різниці мір: якщо також для пари
невід’ємних мір на
, то
Міри із розкладу Жордана є (сингулярними). Міра
називається повною варіацією заряду
Див. також
- (Заряд (теорія міри))
Посилання
- Hahn decomposition theorem на сайті PlanetMath.
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Hahn decomposition, Математична енциклопедія, , ISBN
- Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Jordan decomposition of a signed measure, Математична енциклопедія, , ISBN
Література
- Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure -- Third Edition. Wiley Series in Probability and Mathematical Statistics. New York: John Wiley & Sons. ISBN .
- Fischer, Tom (2012). Existence, uniqueness, and minimality of the Jordan measure decomposition. arXiv:1206.5449 [math.ST].
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет