Сингулярні міри

У теорії міри дві міри ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle \nu }$ визначені в одному вимірному просторі називаються взаємно сингулярними якщо для деякої вимірної множини її міра ${\displaystyle \mu }$ є рівною нулю і міра ${\displaystyle \nu }$ на її доповненні є рівною нулю.

Формальне означення

Взаємно сингулярні міри

Нехай ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ — вимірний простір, а ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle \nu }$ — міри над цим простором. Ці міри називаються взаємно сингулярними, (позначається ${\displaystyle \mu \perp \nu ,}$) якщо існує розбиття X на дві непорожні множини ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {F}}}$ із порожнім перетином для яких:

${\displaystyle \mu }$ є рівною нулю для всіх вимірних підмножин у ${\displaystyle B,}$ а ${\displaystyle \nu }$ є рівною нулю для всіх вимірних підмножин у ${\displaystyle A.}$

Узагальнення

Очевидно, що у попередньому означенні достатньо вимагати щоб значення міри ${\displaystyle \mu }$ було нульовим для ${\displaystyle B,}$ а значення міри ${\displaystyle \nu }$ нульовим на ${\displaystyle A.}$ Проте у виді поданому вище його легко можна узагальнити на заряди, комплексні і векторні міри. Якщо ці структури є σ-адитивними і заданими на вимірному просторі, то у відповідному означенні достатньо замінити слово міра на заряд, комплексну чи векторну міру.

Еквівалентно у випадку σ-адитивних зарядів на вимірному просторі можна сказати, що ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle \nu }$ є взаємно сингулярними, якщо їх повні варіації ${\displaystyle |\mu |}$ і ${\displaystyle |\nu |}$ є взаємно сингулярними як міри.

Якщо міра чи заряд є заданими лише на алгебрі множин або не є σ-адитивними іноді розглядається слабше поняття взаємної сингулярності: заряди (не обов'язково σ-адитивні ) ${\displaystyle \mu }$ і ${\displaystyle \nu }$ на просторі із алгеброю множин ${\displaystyle (X,{\mathcal {F}})}$ називають слабко взаємно сингулярними, якщо для довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існують непорожні множини ${\displaystyle A,B\in {\mathcal {A}}}$ із порожнім перетином для яких ${\displaystyle |\mu |(A)<\varepsilon }$ і ${\displaystyle |\nu |(B)<\varepsilon }$. Якщо два заряди є взаємно сингулярними то вони є і слабко взаємно сингулярними. У випадку σ-адитивних зарядів на вимірному просторі ці два поняття є еквівалентними.

Приклади

• Дельта-функція Дірака, зосереджена у точці евклідового простору задає сингулярну міру (відносно міри Лебега). Відповідна міра є рівною 1 для вимірних множин, що містять вказану точку і 0 для множин, що не містять її.
• Розподіл Кантора має неперервну (але не абсолютно неперервну) функцію розподілу (функцію Кантора). Незважаючи на неперервність функції розподілу, відповідна міра ймовірності є сингулярною із мірою Лебега. Іншими подібними прикладами є функції Мінковського і Салема. В усіх випадках міру конкретної вимірної множини ${\displaystyle A\subset [0,1]}$ можна одержати за допомогою інтеграла Лебега — Стілтьєса, як ${\displaystyle \mu (A)=\int _{A}1df.}$ Наприклад для випадку із функцією Кантора, якщо ${\displaystyle C}$ — множина Кантора то ${\displaystyle \mu (C)=\int _{C}1df=1}$ і ${\displaystyle \mu ([0,1]\setminus C)=\int _{[0,1]\setminus C}1df=0}$, а міра Лебега множини Кантора дорівнює нулю. Тоді ${\displaystyle C}$ і ${\displaystyle [0,1]\setminus C}$ і є тим розбиттям, яке демонструє взаємну сингулярність міри Лебега і міри породженої функцією Кантора на одиничному інтервалі.

Див.також

• Абсолютна неперервність
• Заряд (теорія міри)
• Міра множини
• Сингулярна функція
• Теорема Лебега про розклад міри