Функція Мінковського

Не плутати з функціоналом Мінковського.

Функція «знак питання» Мінковського — побудована Германом Мінковським монотонна сингулярна функція ${\displaystyle ?(x)}$ на відрізку ${\displaystyle [0,1]}$, яка має низку чудових властивостей. Так, вона взаємно-однозначно і зі збереженням порядку переводить квадратичні ірраціональності (тобто, числа вигляду ${\displaystyle a+{\sqrt {b}},}$ де ${\displaystyle a}$ і ${\displaystyle b}$ раціональні) на відрізку ${\displaystyle [0,1]}$ у раціональні числа на тому ж відрізку, а раціональні числа — в двійково-раціональні. Вона пов'язана з рядами Фарея, ланцюговими дробами, і дробово-лінійними перетвореннями, а її графік має низку цікавих симетрій.

Функція Мінковського

Побудова

Функцію Мінковського можна задати декількома еквівалентними способами: через ряди Фарея, через ланцюгові дроби і побудовою графіка за допомогою послідовних ітерацій.

Задання за допомогою дерева Штерна — Броко

На кінцях відрізка функція Мінковського задається як ${\displaystyle ?(0)=0}$ і ${\displaystyle ?(1)=1}$. Після цього для будь-яких двох раціональних чисел ${\displaystyle {\frac {a}{b}}}$ і ${\displaystyle {\frac {c}{d}}}$, для яких ${\displaystyle ad-bc=1}$ — іншими словами, для будь-яких двох послідовних у будь-якому з рядів Фарея, — функція в їх медіанті ${\displaystyle {\frac {a+c}{b+d}}}$ визначається як середнє арифметичне значень у цих точках:

${\displaystyle ?\left({\frac {a+c}{b+d}}\right)={\frac {1}{2}}\left(?\left({\frac {a}{b}}\right)+?\left({\frac {c}{d}}\right)\right).}$

Так

${\displaystyle ?\left({\frac {1}{2}}\right)={\frac {?(0)+?(1)}{2}}={\frac {1}{2}},}$

${\displaystyle ?\left({\frac {1}{3}}\right)={\frac {?(0)+?(1/2)}{2}}={\frac {1}{4}},}$

${\displaystyle ?\left({\frac {2}{3}}\right)={\frac {?(1/2)+?(1)}{2}}={\frac {3}{4}}}$

і так далі.

Оскільки послідовності

${\displaystyle {\frac {0}{1}},{\frac {1}{1}},}$

${\displaystyle {\frac {0}{1}},{\frac {1}{2}},{\frac {1}{1}},}$

${\displaystyle {\frac {0}{1}},{\frac {1}{3}},{\frac {1}{2}},{\frac {2}{3}},{\frac {1}{1}},}$

у яких наступна виходить з попередньої дописуванням між кожними сусідніми її елементами їх медіанти, перераховують в об'єднанні всі раціональні числа відрізка ${\displaystyle [0,1]}$ (див. дерево Штерна — Броко), така ітеративна процедура задає функцію Мінковського у всіх раціональних точках ${\displaystyle [0,1]}$. Більш того, легко бачити, що множиною її значень у цих точках виявляються точно всі двійково-раціональні числа ${\displaystyle [0,1]}$ — іншими словами, щільна в ${\displaystyle [0,1]}$ множина. Тому побудована функція за монотонністю однозначно продовжується до неперервної функції ${\displaystyle ?\colon [0,1]\to [0,1]}$, і це якраз і є функція Мінковського.

Задання за допомогою ланцюгового дробу

Функція Мінковського, в певному сенсі, перетворює розклад у ланцюговий дріб на подання в двійковій системі числення. А саме, точку ${\displaystyle x\in [0,1]}$, що розкладається в ланцюговий дріб як ${\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},\ldots ]}$, функція Мінковського переводить у

${\displaystyle ?(x)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{k-1}}{2^{a_{1}+\ldots +a_{k}-1}}}.}$

Іншими словами, точка

${\displaystyle x={\frac {1}{a_{1}+{\dfrac {1}{a_{2}+{\dfrac {1}{a_{3}+\ldots }}}}}}}$

переходить у точку

${\displaystyle ?(x)=0{,}\underbrace {0\ldots 0} _{a_{1}-1}\underbrace {1\ldots 1} _{a_{2}}\underbrace {0\ldots 0} _{a_{3}}\underbrace {1\ldots 1} _{a_{4}}\ldots _{(2)}.}$

Самоподібність

Нехай точка ${\displaystyle x\in [0,1]}$ задається ланцюговим дробом ${\displaystyle x=[0;a_{1},a_{2},\ldots ]}$. Тоді збільшення ${\displaystyle a_{1}}$ на одиницю, тобто, перехід до ${\displaystyle y=[0;a_{1}+1,a_{2},\ldots ]}$ задається відображенням

${\displaystyle f\colon x\mapsto y={\frac {1}{1+{\dfrac {1}{x}}}}={\frac {x}{1+x}},}$

а функція Мінковського після такого перетворення ділиться (як це випливає з її задання через ланцюговий дріб аргументу) навпіл:

${\displaystyle ?\left({\frac {x}{1+x}}\right)={\frac {?(x)}{2}}.\qquad (1)}$

З іншого боку, зі симетрії відносно ${\displaystyle 1/2}$ медіантної конструкції легко бачити, що

${\displaystyle ?(1-x)=1-?(x).\qquad (2)}$

Перетворивши (1) за допомогою (2), бачимо, що під дією відображення ${\displaystyle g(x)=1-f(1-x)=1-{\frac {1-x}{2-x}}={\frac {1}{2-x}}}$ функція Мінковського перетворюється як

${\displaystyle ?\left({\frac {1}{2-x}}\right)={\frac {1+?(x)}{2}}.}$

Тому графік функції Мінковського переводиться в себе кожним із перетворень

${\displaystyle F(x,t)=\left({\frac {x}{1+x}},{\frac {t}{2}}\right),\quad G(x,t)=\left({\frac {1}{2-x}},{\frac {1+t}{2}}\right).\qquad (3)}$

Більш того, об'єднання їх образів — це точно весь початковий графік, оскільки образ ${\displaystyle F}$ — це частина графіка над відрізком ${\displaystyle [0,1/2]}$, а образ ${\displaystyle G}$ — графік над відрізком ${\displaystyle [1/2,1]}$.

Побудова графіка як фрактала

Графік функції Мінковського можна побудувати як граничну множину для системи ітераційних функцій. А саме, відображення ${\displaystyle F}$ і ${\displaystyle G}$, задані формулами (3), зберігають графік функції Мінковського і переводять одиничний квадрат всередину себе. Тому послідовність множин ${\displaystyle X_{n}}$, визначена рекурсивно співвідношеннями

${\displaystyle X_{0}=[0,1]\times [0,1],\quad X_{n+1}=F(X_{n})\cup G(X_{n}),}$

є спадна за вкладенням послідовність множин, причому графік ${\displaystyle \Gamma =\{(x,?(x))\mid x\in [0,1]\}}$ функції Мінковського міститься в будь-якій із них.

Неважко помітити, що ${\displaystyle X_{n}}$ є об'єднанням прямокутників висоти ${\displaystyle 1/2^{n}}$, Тому гранична множина

${\displaystyle X_{\infty }=\bigcap _{n}X_{n}}$

є графіком деякої функції. Оскільки ${\displaystyle \Gamma \subset X_{\infty }}$, то вони збігаються. Тому графік функції Мінковського це гранична множина системи ітераційних функцій

${\displaystyle F,G:[0,1]^{2}\to [0,1]^{2}.}$

Властивості

• Функція Мінковського сингулярна, тобто в майже будь-який (за мірою Лебега) точці ${\displaystyle x\in [0,1]}$ її похідна існує і дорівнює нулю. Тим самим, міра на ${\displaystyle [0,1]}$, функцією розподілу якої є функція Мінковського (продовжена нулем на від'ємні числа і одиницею на більші одиниці), сингулярна.
• Функція Мінковського взаємно однозначно переводить раціональні числа на відрізку ${\displaystyle [0,1]}$ у двійково-раціональні числа на тому ж відрізку.
• Функція Мінковського взаємно однозначно переводить квадратичні ірраціональності на відрізку ${\displaystyle [0,1]}$ у раціональні числа на тому ж відрізку. Дійсно, число ${\displaystyle x}$ є квадратичною ірраціональністю тоді і тільки тоді, коли його розклад у ланцюговий дріб, починаючи з деякого моменту, періодичний; з іншого боку, ця періодичність рівносильна періодичності двійкового запису образу — іншими словами, раціональності ${\displaystyle ?(x)}$.
• Графік функції Мінковського переводиться в себе відображеннями ${\displaystyle F}$ і ${\displaystyle G}$, заданими (3), а, отже, і їх композиціями.

Література

• Minkowski H. Verhandlungen des III. internationalen Mathematiker-Kongresses in Heidelberg. — Berlin, 1904.
• Denjoy A. Sur une fonction réelle de Minkowski. — Journal de Mathématiques Pures et Appliquées. — 1938. — 17. — pp. 105—151.
• Conley, R. M. (2003), A Survey of the Minkowski ?(x) Function, Masters thesis, West Virginia University, Посилання.
• Conway, J. H. (2000), Contorted fractions, On Numbers and Games (вид. 2nd), Wellesley, MA: A K Peters, с. 82—86.
• Кириллов А. А. Повесть о двух фракталах. — М.: МЦНМО, 2009.

Див. також

• Функція Кантора

Посилання

• Weisstein, Eric W. Minkowski's Question Mark Function(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.