Ввідні означення
Нехай — монотонно неспадна, неперервна зліва функція дійсної змінної для якої
. У напівкільці всіх інтервалів виду
можна ввести міру
як:
. Її можна продовжити на борелівську сигма-алгебру породжену напівкільцем вказаних інтервалів. Зокрема для різних типів інтервалів
із скінченними кінцями:
,
,
,
.
де і
позначають границі справа функції
у відповідних точках.
називається мірою Лебега — Стілтьєса.
Типи мір
— функція стрибків, яка є константою в усіх точках за виключенням не більш, ніж зліченної множини точок
у яких функція «здійснює стрибок». Стрибок завжди є додатним і у точці розриву
він є рівним
. Міра
множини
у цьому випадку є рівною:
- У цьому випадку
називається дискретною мірою.
- Функція F є неперервною, монотонно не спадною на
і
. Тоді міра
множини
є рівною:
- У цьому випадку
називається абсолютно неперервною мірою.
— сингулярна функція (наприклад, драбина Кантора, де приріст
рівний 1 на всьому відрізку, але
є константою майже всюди ). Міра
зосереджена у точках зростання функції і називається сингулярною мірою.
Теорема про розклад міри
Твердження для міри Лебега — Стілтьєса
Згідно теореми Лебега про розклад міри будь-яку міру Лебега — Стілтьєса можна представити у вигляді суми трьох мір — дискретної, абсолютно неперервної, і сингулярної.
Твердження для σ-адитивних мір
Якщо і
є заданими на вимірному просторі
двома σ-скінченними мірами (чи, більш загально, σ-скінченними σ-адитивними зарядами), тоді існують дві міри (чи, відповідно σ-адитивні заряди)
і
для яких:
(тобто
є абсолютно неперервною щодо
)
(тобто
і
є сингулярними).
Ці дві міри є однозначно визначеними для and
Випадок міри Лебега — Стілтьєса одержується якщо є мірою Лебега — Стілтьєса, після чого її можна розкласти на абсолютно неперервну і сингулярну частини, а тоді із сингулярної частини окремо виділити (не більш, ніж зліченну) підмножину точок міра кожної з яких є додатною і відповідну дискретну міру.
Теорема Лебега пов'язана із теоремою теоремою Радона — Нікодима і її доведення можна одержати паралельно із доведенням цієї теореми (як у другому доведені у відповідній статті).
Див. також
Джерела
- Колмогоров А. Н., Фомин С. В. Элементы теории функций и функционального анализа. — 4-е изд. — Москва : Наука, 1976. — 544 с. — .(рос.)