Сигма-скінченна міра в функціональному аналізі — міра, така що довільна вимірна множина може бути представлена у вигляді зліченного об'єднання вимірних множин скінченної міри.
Визначення
Неай - простір з мірою, де
— деяка множина,
— задане на ній кільце підмножин,
— міра визначена на кільці. Міра
називається σ-скінченною, якщо для довільної множини
існує зліченна сім'я вимірних множин
, така що
і
. Якщо міра визначена на деякій алгебрі
підмножин множини
, то необхідною і достатньою умовою σ-скінченності є виконання поданих вище умов для єдиної множини
Приклади
- Будь-яка скінченна, зокрема ймовірнісна міра скінченна.
- Міра Лебега
на
σ-скінченна, оскільки
.
- (Зліченна міра)
на
, тобто така, що
не є σ-скінченною, оскільки зліченне об'єднання будь-яких множин скінченної міри в цьому випадку буде зліченним, тоді як весь простір незліченний.
Властивості
σ-скінченні міри мають багато властивостей не характерних для інших видів мір, тому вони часто виступають припущеннями при формулюванні теорем теорії мри та інтегралу, зокрема (теореми Радона-Нікодима), (теореми Фубіні) та ін. σ-скінченність також є достатньою умовою єдиності продовження міри заданої на кільці до міри на породженому цим кільцем σ-кільці (теорема Каратеодорі).
Література
- Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. — изд. четвёртое, переработанное. — М.: Наука, 1976. — 544 с.
- Халмош П.Р. Теория меры. М.: Изд-во иностр. лит., 1953
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет