Кут плоский (площинний) — геометрична фігура, утворена двома променями (сторонами кута), які виходять з однієї точки, що називається вершиною кута.
Ряд практичних задач приводить до доцільності розглядати кут як фігуру, що утворюється при обертанні фіксованого променя навколо точки О (з якої виходить промінь) до заданого положення. У цьому випадку кут є мірою відстані між двома променями, що виходять з однієї точки або мірою повороту променя. Таке визначення дозволяє узагальнити поняття кута: залежно від напрямку обертання розрізняють додатні й від'ємні кути, розглядають кути, більші від розгорнутого і повного, кути, рівні нулю тощо. В тригонометрії це дозволяє вивчати тригонометричні функції для будь-якого значення аргументу.
Поняття кута узагальнюється також на різні об'єкти, що розглядаються в стереометрії (див. нижче).
Позначення
Для позначення кутів в планіметрії найчастіше використовуються три великі латинські літери, середня з яких відповідає вершині, а дві інші разом із вершиною задають промені. Для того, щоб відрізнити позначення кута від позначення трикутника перед трьома літерами ставиться знак . Наприклад, означає кут з вершиною в точці B і променями BA та BC. У зв'язку з вибором в математиці напрямку відліку кутів проти годинникової стрілки, точки, що лежать на сторонах в позначенні кута, прийнято перераховувати також у напрямі проти стрілки годинника. Кут можна позначати також однією великою латинською літерою, що відповідає його вершині в тому випадку, коли це не призводить до неоднозначності.
Для зручності оперування з кутами деякі кути на рисунках та кресленнях і в формулах позначають малими грецькими літерами (α, β, γ, θ, φ тощо), перед якими знак кута не ставиться. Для позначення тілесних кутів (див. нижче) найчастіше використовують літери ω та Ω.
На схемах кути позначаються малими одинарними, подвійними або потрійними дужками, що проходять по внутрішній області кута з центрами у вершині кута. Рівність кутів може відзначатися однаковою кратністю дужок або однаковою кількістю поперечних штрихів на дужці. Якщо необхідно вказати напрямок відліку кута, він відзначається стрілкою на дужці. Прямі кути відзначаються не дужками, а двома сполученими рівними відрізками, розташованими так, що разом зі сторонами вони утворюють невеликий квадрат, одна з вершин якого збігається з вершиною кута.
Конгруентність
Для порівняння кутів використовується поняття конгруентності, що є аналогом поняття рівності для чисел. Два кути називаються конгруентними, якщо їх можна сумістити за допомогою операцій ізометрії: переносу, обертання і дзеркального відбиття, тобто таких операцій, при яких не змінюється віддаль між будь-якими точками на площині.
Для порівняння кутів необхідно сумістити їхні вершини, й один із двох променів для кожного кута. Якщо при цьому другі промені теж накладаються один на одного, то ці кути конгруентні. Якщо при накладанні вершин і одного з променів простір, обмежений сторонами кута α повністю поміщається в просторі, обмеженому сторонами кута β, то кут α менший від кута β, і, відповідно, кут β більший від кута α.
Нестрого й неформально конгруентні кути називають рівними.
Вимірювання
Одиниці вимірювання кутів у SI
У міжнародній системі одиниць SI використовується спосіб вираження величини кута, за якого кут — безрозмірнісна величина. Цей спосіб вимірювання базується на означенні радіана. За цього значення кута за означенням дорівнює відношенню довжини дуги S кола з центром у вершині кута і будь-яким радіусом до величини цього радіуса r. Це відношення не залежить від вибору радіуса. Кут величиною 1 радіан визначається як такий, за якого відношення довжини дуги до радіуса дорівнює одиниці, тобто довжина дуги дорівнює радіусу. Безрозмірнісні величини кутів зручно використовувати у тригонометрії.
Позасистемні одиниці вимірювання кутів
Традиційно кути вимірюють у кутових градусах, мінутах і секундах. При цьому ділиться на 180 градусів, кожен із градусів ділиться на 60 мінут, кожна з мінут на 60 секунд. Градуси позначаються значком °, наприклад, 37°, мінути штрихами, а секунди подвійними штрихами.
Кут можна розглядати і як фігуру, утворену обертанням променя, починаючи з певного початкового положення. Тоді, залежно від напрямку обертання, величина кута може набувати як додатних, так і від'ємних значень. За домовленістю вважається, що при обертанні променя проти годинникової стрілки величина кута зростає від нуля до додатних значень. При обертанні за годинниковою стрілкою величина кута зменшується, набуваючи від'ємних значень.
Такий підхід дозволяє також розглядати значення кутів, більші від повного кута, якщо промінь здійснить більше від одного оберту. Це зручно в тригонометрії та фізиці.
У морській справі кути вимірюються у румбах. 1 румб дорівнює 1⁄32 від повного кола (360 градусів) компаса, тобто 11,25 градуса чи 11°15′.
В астрономії кут прямого піднесення і годинний кут в екваторіальній системі координат вимірюються в годинах, мінутах і секундах (що становлять відповідно 1⁄24, 1⁄1440 та 1⁄86400 від повного кола); це пов'язане з кутовою швидкістю осьового обертання Землі, яка робить приблизно 1 оберт за 24 години. Отже, за одну годину (хвилину, секунду) часу небесна сфера «повертається» приблизно на 1 годину (хвилину, секунду) у кутовій мірі. Інші кутові величини в астрономії виражаються зазвичай у градусах, мінутах та секундах дуги. Слід зазначити щоб уникнути плутанини, що одна секунда (мінута) прямого піднесення дорівнює 15 секундам (мінутам) дуги.
В артилерії та збройовій справі використовуються також тисячні (1/1000 частина радіана) та поділки кутоміра.
У деяких контекстах, таких як ідентифікація точки в полярних координатах чи опис орієнтації об'єкта у двох вимірах відносно його базової орієнтації, кути, що відрізняються на ціле число повних обертів, фактично є еквівалентними. Наприклад, у таких випадках можна вважати еквівалентними кути 15° та 360015° (= 15° + 360°×1000). В інших контекстах, таких як ідентифікація точки на спіральній кривій або опис сукупного обертання об'єкта у двох вимірах відносно його початкової орієнтації, кути, що відрізняються на ненульове ціле число повних обертів, не є еквівалентними.
Деякі плоскі кути мають спеціальні назви. Крім вищезгаданих одиниць вимірювання (радіан, румб, градус тощо), слід згадати:
- квадрант — прямий кут, 1⁄4 кола);
- секстант — 1⁄6 кола, величина шкали приладу для вимірювання кутів — секстанта;
- октант — 1⁄8 кола; крім того, в стереометрії октантом називають тригранний кут, утворений трьома взаємно перпендикулярними площинами.
Малі кути (наприклад, кут похилу поверхні) іноді вимірюють не власне кутовою мірою, а її тангенсом (або синусом), тобто відношенням піднесення по нахилені площині до проєкції на горизонталь пройденого по ній шляху (або до самого цього шляху). Для випадку малих кутів похилу це відношення приблизно дорівнює куту, вираженому в радіанах (tg α ≈ sin α ≈ α при α << 1). При цьому це відношення виражається зазвичай у відсотках або проміле. Наприклад, похил дороги у 10 % означає, що на кожні 100 метрів шляху (у проєкції на горизонталь) дорога піднімається на 10 м; кут до горизонту дорівнює arctg(10/100) ≈ 5,71° ≈ 0,1 радіана.
Напрям відліку кутів
У математиці та фізиці, зазвичай, додатнім напрямом відліку кутів вважається напрям проти стрілки годинника. Переважно, кут починають вимірювати від променя, початок якого збігається з центром системи координат (СК), а напрям — з додатним напрямом осі абсцис.
Для визначення напряму відліку кутів у тривимірному просторі використовують правило гвинта.
В географії та геодезії за початок відліку кутів по азимуту прийнято напрям «на північ»; кут відлічується за годинниковою стрілкою. Отже, напряму «на схід» відповідає азимутальний кут 90°, «на південь» — 180°, «на захід» — 270°. У військовій справі (артилерії) напрям відліку кутів є аналогічним, але відлік ведуть у тисячних або поділках кутоміра.
Прилади для вимірювання кутів
Прилади для вимірювання кутів називаються кутомірами. Найпопулярніший із них транспортир. Транспортир можна використовувати як для вимірювання, так і для побудови кута певної величини.
Вимірювання кутів є важливою практичною задачею в багатьох областях науки і техніки: в астрономії, навігації, в будівництві та гірництві тощо.
За допомогою тригонометрії вимірювання кутів дозволяє визначати віддалі між далекими об'єктами. Для задоволення потреби вимірювання кутів розроблено багато високоточних інструментів: теодолітів, гоніометрів, секстантів і т. д.
Постулат додавання кутів
У постулаті додавання кута зазначено, що якщо кут B знаходиться у внутрішній частині кута AOC, то
Міра кута AOC — сума міри кута AOB і міри кута BOC. У цьому постулаті не має значення, в якій одиниці вимірюється кут, доки всі кути вимірюються в однаковій одиниці вимірювання.
Одиниці вимірювання
Одиниці, які використовуються для представлення кутів, перераховані нижче в порядку зменшення величини. Серед цих одиниць найчастіше використовуються градус і радіан. Кути, виражені в радіанах, є безрозмірними для методу аналізу розмірностей.
Більшість одиниць кутового вимірювання визначені таким чином, що один оберт (тобто одне повне коло) дорівнює n одиницям, для деякого цілого числа n. Два винятки — радіан та діаметрова частина.
- Оберт (n = 1)
Оберт, повне коло — це повний круговий рух (коли відбувається повернення до початкової точки). Оберт позначається τ, cyc, rev, rot.
- Квадрант (n = 4)
- Квадрант це 1/4 від оберту, тобто прямий кут. Ця одиниця використовувалася в Началах Евкліда. 1 кв. = 90° = π/2 рад = 1/4 оберт = 100 °. У Німеччині для позначення квадранта використовують символ ∟.
Класифікація та різновиди плоских кутів
За величиною
Залежно від величини кути поділяються на декілька категорій.
- називають кут, обидва промені якого лежать на одній прямій, по різні боки від вершини. Величина такого кута приймається рівною 180° і дорівнює за означенням радіана радіан.
- Прямий кут дорівнює половині розгорнутого кута. Прямі кути утворені взаємно перпендикулярними променями. Величина прямого кута становить 90° або радіан.
- Гострими кутами називають кути, менші за прямі. Величина гострих кутів лежить у проміжку від 0° до 90°, або в радіанах від 0 до
- більші від прямих, але менші від розгорнутих, їхня величина лежить у проміжку від 90° до 180°, або від до .
- Неопуклі кути (більше 180°, але менше 360°)
- Кут, вдвічі більший від розгорнутого, називається повним. Його величина у радіанах дорівнює відношенню довжини кола до радіуса, що становить . У градусах це 360°.
Вертикальні та прилеглі кути
Два кути, які мають спільну сторону, називаються прилеглими.
При перетині двох прямих утворюються чотири нерозгорнуті кути: дві пари вертикальних кутів, чотири пари суміжних кутів. Протилежні між собою вертикальні кути конгруентні. Суміжні кути разом утворюють розгорнутий кут, тому їхня сума дорівнює 180°, або в радіанах — .
Два кути, які в сумі утворюють прямий кут, називаються комплементарними. Сума комплементарних кутів дорівнює 90°, або, в радіанах, . Обидва кути є гострими.
Центральний та вписаний кути
Будь-які конкретній дузі кола можна зіставити єдиний центральний і безліч вписаних кутів.
- Центральний кут — кут з вершиною у центрі кола. Величина центрального кута дорівнює градусній мірі дуги, розташованої між сторонами цього кута.
- Вписаний кут — кут, вершина якого лежить на колі, а сторони перетинають це коло. Величина вписаного кута дорівнює половині градусної міри дуги, обмеженої його сторонами. Усі вписані кути, що спираються на одну і ту ж дугу, є однаковими.
- Величина вписаного кута дорівнює половині величини центрального кута, що спирається біля основи на колі на ту ж дугу (див. рис.).
Бісектриса кута
Бісектрисою (від лат. bis — «двічі» та лат. seco — «розтинаю») кута називається промінь, що проходить через вершину кута і ділить його навпіл. Кожна точка бісектриси однаково віддалена від сторін кута (і, навпаки, будь-яка точка внутрішньої області кута, що є рівновіддаленою від сторін кута, лежить на його бісектрисі).
Бісектриси вертикальних кутів є продовженням одна одної. Бісектриси суміжних кутів є взаємно перпендикулярними.
Кути у многокутниках
Теорема про суму внутрішніх кутів многокутника
Теорема про суму внутрішніх кутів многокутника
У евклідовій геометрії сума внутрішніх кутів αi довільного n-кутника без самоперетинів дорівнює
Так, наприклад:
- сума внутрішніх кутів трикутника дорівнює 180°;
- чотирикутника 360°;
- п'ятикутника 540° тощо.
У гіперболічній геометрії сума кутів трикутника завжди менша 180°.
У сферичній геометрії сума кутів трикутника завжди більша 180°.
Теорема про зовнішній кут трикутника
Теорема про зовнішній кут трикутника: Зовнішній кут трикутника дорівнює сумі двох інших кутів трикутника, не суміжних з цим внутрішнім кутом. (див. рис.):
Кути у стереометрії
Поняття кута використовується також у стереометрії, тобто в геометрії тривимірного простору, в якій вводяться поняття двогранного, тригранного і т. д. та тілесного кута.
Двогранний кут — фігура, утворена двома півплощинами, обмеженими спільною прямою. Півплощини, які утворюють тілесний називають гранями, а пряму, що їх обмежує, ребром. Для визначення величини двогранного кута використовується плоский кут на площині, перпендикулярній до площини ребра двогранного кута.
Тригранний кут — це частина простору, обмежена трьома плоскими кутами зі спільною вершиною і попарно загальними сторонами, що не лежать в одній площині. Спільна вершина цих кутів називається вершиною тригранного кута. Сторони кутів називаються ребрами, плоскі кути при вершині тригранного кута називаються його гранями. Кожна з трьох пар граней тригранного кута утворює двогранний кут.
Багатогранний кут — частина простору, обмежена декількома площинами, що перетинаються в одній точці.
Тілесний кут або просторовий кут — частина простору, яка є об'єднанням усіх променів, що виходять з деякої точки (вершини кута) і перетинають деяку поверхню (яка називається поверхнею, що стягує даний тілесний кут). Тілесний кут задається вершиною і незамкненою поверхнею. Може розглядатись як узагальнення поняття плоского кута на випадок тривимірного простору. Для вимірювання тілесних кутів використовується спеціальна одиниця стерадіан. Повна сфера має тілесний кут стерадіан. Багатогранні кути (у тому числі і тригранний) є частковим випадком тілесного кута.
-
-
- Багатогранні кути
- Ілюстрація тілесного кута
За кут між двома кривими, що перетинаються у певній точці, у якій кожна з кривих має визначену дотичну, приймають кут між цими дотичними. Поняття кута узагальнюється також на інші об'єкти, що розглядаються у стереометрії. Так, під кутом між прямою та площиною у просторі мають на увазі кут між цією прямою та її проєкцією на цю площину. Під кутом між двома мимобіжними прямими — розуміють кут між паралельними до них прямими проведеними через одну і ту ж точку.
Спеціальні кути
Див. також
Примітки
- «Кут» [ 5 червня 2016 у Wayback Machine.] // Українська радянська енциклопедія : у 12 т. / гол. ред. М. П. Бажан ; редкол.: О. К. Антонов та ін. — 2-ге вид. — К. : Головна редакція УРЕ, 1974–1985.
- 4.1 Фізичні величини, пов'язані з простором та часом [ 22 березня 2013 у Wayback Machine.] / Нормалізована українська науково-технічна термінологія.
- Знак вперше був запропонований у 1634 році французьким математиком П'єром Ерігоном (фр. Pierre Hérigone).
- Наказ Міністерства економічного розвитку та торгівлі України від 25.08.2015 № 914. [ 20 серпня 2019 у Wayback Machine.] Про затвердження визначень основних одиниць SI, назв та визначень похідних одиниць SI, десяткових кратних і частинних від одиниць SI, дозволених позасистемних одиниць, а також їх позначень та Правил застосування одиниць вимірювання і написання назв та позначень одиниць вимірювання і символів величин.
- В дійсності істинний період обертання Землі відносно зірок приблизно є на 4 хвилини коротшим, ніж 24 години, див. Зоряний час.
Джерела
- Істер О. С. Геометрія: Підруч. для 7 кл. загальноосвіт. навч. закл / О. С. Істер. — К. : Освіта, 2007. — 159 с. — .
- Погорєлов О. В. Геометрія: Планіметрія [Текст]: підруч. для 7-9 кл. серед. шк / О. В. Погорєлов. — 4-те вид. — К. : Освіта, 2000. — 223 с. — .
- Бурда М. І. Геометрія [Текст]: підруч. для 10 кл. загальноосвіт. навч. закл. : академ. рівень / М. І. Бурда, Н. А. Тарасенкова. — К. : Освіта, 2013. — 175 с. — .
- Біляніна О. Я. Геометрія. 10 клас. Академічний рівень [Текст]: підруч. для загальноосвіт. навч. закл / О. Я. Біляніна, Г. І. Білянін, В. О. Швець. — 2-ге вид. — К. : Генеза, 2014. — 253 с. — .
- Планіметрія [Текст]: міні-підручник / Роганін О. М., Титаренко О. М. — Харків : Торсінг Плюс, 2014. — 7 с. — .
- Кушнир И. А. Геометрия: теоремы и задачи [Текст]: учебное пособие. Т. 1. Планиметрия / И. А. Кушнир. — К. : Астарта, 1996. — 475 с. — ISBN 996-523-25-5.
- Выгодский М. Я. Справочник по элементарной математике. — М. : Наука, 1966. — 424 с.
- Чертов А. Г. Физические величины. — М. : Высшая школа, 1990. — 336 с. — .
Посилання
- Кут // Термінологічний словник-довідник з будівництва та архітектури / Р. А. Шмиг, В. М. Боярчук, І. М. Добрянський, В. М. Барабаш ; за заг. ред. Р. А. Шмига. — Львів, 2010. — С. 115. — .
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Кут |
- Weisstein, Eric W. Line Bisector(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Angle(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Weisstein, Eric W. Polygon(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Cambridge: Cambridge University Press, 1911, с. 14 , Encyclopædia Britannica, 11th ed., Vol. II,
- Heiberg, Johan Ludvig (1908). Heath, T. L. (ред.). . The Thirteen Books of Euclid's Elements. Т. 1. Cambridge: Cambridge University Press. Архів оригіналу за 20 січня 2021. Процитовано 4 травня 2016.
- Angles [ 15 березня 2015 у Wayback Machine.] на сайті «Math Open Reference» (англ.)
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U Vikipediyi ye statti pro inshi znachennya cogo termina Kut znachennya Kut ploskij ploshinnij geometrichna figura utvorena dvoma promenyami storonami kuta yaki vihodyat z odniyeyi tochki sho nazivayetsya vershinoyu kuta Simvol kuta Pobudova kuta velichinoyu 55 z vikoristannyam transportira Ryad praktichnih zadach privodit do docilnosti rozglyadati kut yak figuru sho utvoryuyetsya pri obertanni fiksovanogo promenya navkolo tochki O z yakoyi vihodit promin do zadanogo polozhennya U comu vipadku kut ye miroyu vidstani mizh dvoma promenyami sho vihodyat z odniyeyi tochki abo miroyu povorotu promenya Take viznachennya dozvolyaye uzagalniti ponyattya kuta zalezhno vid napryamku obertannya rozriznyayut dodatni j vid yemni kuti rozglyadayut kuti bilshi vid rozgornutogo i povnogo kuti rivni nulyu tosho V trigonometriyi ce dozvolyaye vivchati trigonometrichni funkciyi dlya bud yakogo znachennya argumentu Ponyattya kuta uzagalnyuyetsya takozh na rizni ob yekti sho rozglyadayutsya v stereometriyi div nizhche PoznachennyaPoznachennya kuta Dlya poznachennya kutiv v planimetriyi najchastishe vikoristovuyutsya tri veliki latinski literi serednya z yakih vidpovidaye vershini a dvi inshi razom iz vershinoyu zadayut promeni Dlya togo shob vidrizniti poznachennya kuta vid poznachennya trikutnika pered troma literami stavitsya znak displaystyle angle Napriklad ABC displaystyle angle text ABC oznachaye kut z vershinoyu v tochci B i promenyami BA ta BC U zv yazku z viborom v matematici napryamku vidliku kutiv proti godinnikovoyi strilki tochki sho lezhat na storonah v poznachenni kuta prijnyato pererahovuvati takozh u napryami proti strilki godinnika Kut mozhna poznachati takozh odniyeyu velikoyu latinskoyu literoyu sho vidpovidaye jogo vershini v tomu vipadku koli ce ne prizvodit do neodnoznachnosti Dlya zruchnosti operuvannya z kutami deyaki kuti na risunkah ta kreslennyah i v formulah poznachayut malimi greckimi literami a b g 8 f tosho pered yakimi znak kuta ne stavitsya Dlya poznachennya tilesnih kutiv div nizhche najchastishe vikoristovuyut literi w ta W Na shemah kuti poznachayutsya malimi odinarnimi podvijnimi abo potrijnimi duzhkami sho prohodyat po vnutrishnij oblasti kuta z centrami u vershini kuta Rivnist kutiv mozhe vidznachatisya odnakovoyu kratnistyu duzhok abo odnakovoyu kilkistyu poperechnih shtrihiv na duzhci Yaksho neobhidno vkazati napryamok vidliku kuta vin vidznachayetsya strilkoyu na duzhci Pryami kuti vidznachayutsya ne duzhkami a dvoma spoluchenimi rivnimi vidrizkami roztashovanimi tak sho razom zi storonami voni utvoryuyut nevelikij kvadrat odna z vershin yakogo zbigayetsya z vershinoyu kuta KongruentnistDlya porivnyannya kutiv vikoristovuyetsya ponyattya kongruentnosti sho ye analogom ponyattya rivnosti dlya chisel Dva kuti nazivayutsya kongruentnimi yaksho yih mozhna sumistiti za dopomogoyu operacij izometriyi perenosu obertannya i dzerkalnogo vidbittya tobto takih operacij pri yakih ne zminyuyetsya viddal mizh bud yakimi tochkami na ploshini Dlya porivnyannya kutiv neobhidno sumistiti yihni vershini j odin iz dvoh promeniv dlya kozhnogo kuta Yaksho pri comu drugi promeni tezh nakladayutsya odin na odnogo to ci kuti kongruentni Yaksho pri nakladanni vershin i odnogo z promeniv prostir obmezhenij storonami kuta a povnistyu pomishayetsya v prostori obmezhenomu storonami kuta b to kut a menshij vid kuta b i vidpovidno kut b bilshij vid kuta a Nestrogo j neformalno kongruentni kuti nazivayut rivnimi VimiryuvannyaMiroyu kuta ye vidnoshennya dovzhini dugi S do radiusa r Ilyustraciya vid yemnih kutiv ta kutiv bilshih vid povnogo Odinici vimiryuvannya kutiv u SI Dokladnishe Radian U mizhnarodnij sistemi odinic SI vikoristovuyetsya sposib virazhennya velichini kuta za yakogo kut bezrozmirnisna velichina Cej sposib vimiryuvannya bazuyetsya na oznachenni radiana Za cogo znachennya kuta za oznachennyam dorivnyuye vidnoshennyu dovzhini dugi S kola z centrom u vershini kuta i bud yakim radiusom do velichini cogo radiusa r Ce vidnoshennya ne zalezhit vid viboru radiusa Kut velichinoyu 1 radian viznachayetsya yak takij za yakogo vidnoshennya dovzhini dugi do radiusa dorivnyuye odinici tobto dovzhina dugi dorivnyuye radiusu Bezrozmirnisni velichini kutiv zruchno vikoristovuvati u trigonometriyi Pozasistemni odinici vimiryuvannya kutiv Dokladnishe Gradus minuta sekunda Tradicijno kuti vimiryuyut u kutovih gradusah minutah i sekundah Pri comu dilitsya na 180 gradusiv kozhen iz gradusiv dilitsya na 60 minut kozhna z minut na 60 sekund Gradusi poznachayutsya znachkom napriklad 37 minuti shtrihami a sekundi podvijnimi shtrihami Kut mozhna rozglyadati i yak figuru utvorenu obertannyam promenya pochinayuchi z pevnogo pochatkovogo polozhennya Todi zalezhno vid napryamku obertannya velichina kuta mozhe nabuvati yak dodatnih tak i vid yemnih znachen Za domovlenistyu vvazhayetsya sho pri obertanni promenya proti godinnikovoyi strilki velichina kuta zrostaye vid nulya do dodatnih znachen Pri obertanni za godinnikovoyu strilkoyu velichina kuta zmenshuyetsya nabuvayuchi vid yemnih znachen Takij pidhid dozvolyaye takozh rozglyadati znachennya kutiv bilshi vid povnogo kuta yaksho promin zdijsnit bilshe vid odnogo obertu Ce zruchno v trigonometriyi ta fizici Shkala kompasa Poznachennya kuta nahilu dorogi na dorozhnomu znaku U morskij spravi kuti vimiryuyutsya u rumbah 1 rumb dorivnyuye 1 32 vid povnogo kola 360 gradusiv kompasa tobto 11 25 gradusa chi 11 15 V astronomiyi kut pryamogo pidnesennya i godinnij kut v ekvatorialnij sistemi koordinat vimiryuyutsya v godinah minutah i sekundah sho stanovlyat vidpovidno 1 24 1 1440 ta 1 86400 vid povnogo kola ce pov yazane z kutovoyu shvidkistyu osovogo obertannya Zemli yaka robit priblizno 1 obert za 24 godini Otzhe za odnu godinu hvilinu sekundu chasu nebesna sfera povertayetsya priblizno na 1 godinu hvilinu sekundu u kutovij miri Inshi kutovi velichini v astronomiyi virazhayutsya zazvichaj u gradusah minutah ta sekundah dugi Slid zaznachiti shob uniknuti plutanini sho odna sekunda minuta pryamogo pidnesennya dorivnyuye 15 sekundam minutam dugi V artileriyi ta zbrojovij spravi vikoristovuyutsya takozh tisyachni 1 1000 chastina radiana ta podilki kutomira U deyakih kontekstah takih yak identifikaciya tochki v polyarnih koordinatah chi opis oriyentaciyi ob yekta u dvoh vimirah vidnosno jogo bazovoyi oriyentaciyi kuti sho vidriznyayutsya na cile chislo povnih obertiv faktichno ye ekvivalentnimi Napriklad u takih vipadkah mozhna vvazhati ekvivalentnimi kuti 15 ta 360015 15 360 1000 V inshih kontekstah takih yak identifikaciya tochki na spiralnij krivij abo opis sukupnogo obertannya ob yekta u dvoh vimirah vidnosno jogo pochatkovoyi oriyentaciyi kuti sho vidriznyayutsya na nenulove cile chislo povnih obertiv ne ye ekvivalentnimi Deyaki ploski kuti mayut specialni nazvi Krim vishezgadanih odinic vimiryuvannya radian rumb gradus tosho slid zgadati kvadrant pryamij kut 1 4 kola sekstant 1 6 kola velichina shkali priladu dlya vimiryuvannya kutiv sekstanta oktant 1 8 kola krim togo v stereometriyi oktantom nazivayut trigrannij kut utvorenij troma vzayemno perpendikulyarnimi ploshinami Mali kuti napriklad kut pohilu poverhni inodi vimiryuyut ne vlasne kutovoyu miroyu a yiyi tangensom abo sinusom tobto vidnoshennyam pidnesennya po nahileni ploshini do proyekciyi na gorizontal projdenogo po nij shlyahu abo do samogo cogo shlyahu Dlya vipadku malih kutiv pohilu ce vidnoshennya priblizno dorivnyuye kutu virazhenomu v radianah tg a sin a a pri a lt lt 1 Pri comu ce vidnoshennya virazhayetsya zazvichaj u vidsotkah abo promile Napriklad pohil dorogi u 10 oznachaye sho na kozhni 100 metriv shlyahu u proyekciyi na gorizontal doroga pidnimayetsya na 10 m kut do gorizontu dorivnyuye arctg 10 100 5 71 0 1 radiana Napryam vidliku kutiv U matematici ta fizici zazvichaj dodatnim napryamom vidliku kutiv vvazhayetsya napryam proti strilki godinnika Perevazhno kut pochinayut vimiryuvati vid promenya pochatok yakogo zbigayetsya z centrom sistemi koordinat SK a napryam z dodatnim napryamom osi abscis Dlya viznachennya napryamu vidliku kutiv u trivimirnomu prostori vikoristovuyut pravilo gvinta V geografiyi ta geodeziyi za pochatok vidliku kutiv po azimutu prijnyato napryam na pivnich kut vidlichuyetsya za godinnikovoyu strilkoyu Otzhe napryamu na shid vidpovidaye azimutalnij kut 90 na pivden 180 na zahid 270 U vijskovij spravi artileriyi napryam vidliku kutiv ye analogichnim ale vidlik vedut u tisyachnih abo podilkah kutomira Priladi dlya vimiryuvannya kutiv Kutomiri Priladi dlya vimiryuvannya kutiv nazivayutsya kutomirami Najpopulyarnishij iz nih transportir Transportir mozhna vikoristovuvati yak dlya vimiryuvannya tak i dlya pobudovi kuta pevnoyi velichini Vimiryuvannya kutiv ye vazhlivoyu praktichnoyu zadacheyu v bagatoh oblastyah nauki i tehniki v astronomiyi navigaciyi v budivnictvi ta girnictvi tosho Za dopomogoyu trigonometriyi vimiryuvannya kutiv dozvolyaye viznachati viddali mizh dalekimi ob yektami Dlya zadovolennya potrebi vimiryuvannya kutiv rozrobleno bagato visokotochnih instrumentiv teodolitiv goniometriv sekstantiv i t d Postulat dodavannya kutiv U postulati dodavannya kuta zaznacheno sho yaksho kut B znahoditsya u vnutrishnij chastini kuta AOC to m A O C m A O B m B O C displaystyle m angle AOC m angle AOB m angle BOC Mira kuta AOC suma miri kuta AOB i miri kuta BOC U comu postulati ne maye znachennya v yakij odinici vimiryuyetsya kut doki vsi kuti vimiryuyutsya v odnakovij odinici vimiryuvannya Odinici vimiryuvannya Odinici yaki vikoristovuyutsya dlya predstavlennya kutiv pererahovani nizhche v poryadku zmenshennya velichini Sered cih odinic najchastishe vikoristovuyutsya gradus i radian Kuti virazheni v radianah ye bezrozmirnimi dlya metodu analizu rozmirnostej Bilshist odinic kutovogo vimiryuvannya viznacheni takim chinom sho odin obert tobto odne povne kolo dorivnyuye n odinicyam dlya deyakogo cilogo chisla n Dva vinyatki radian ta diametrova chastina Obert n 1 Obert povne kolo ce povnij krugovij ruh koli vidbuvayetsya povernennya do pochatkovoyi tochki Obert poznachayetsya t cyc rev rot Kvadrant n 4 Kvadrant ce 1 4 vid obertu tobto pryamij kut Cya odinicya vikoristovuvalasya v Nachalah Evklida 1 kv 90 p 2 rad 1 4 obert 100 U Nimechchini dlya poznachennya kvadranta vikoristovuyut simvol Klasifikaciya ta riznovidi ploskih kutivZa velichinoyu Riznovidi kutiv za velichinoyu Rozgornutij kut Pryamij kut Gostrij kut Tupij kut Neopuklij kut Povnij kut Zalezhno vid velichini kuti podilyayutsya na dekilka kategorij nazivayut kut obidva promeni yakogo lezhat na odnij pryamij po rizni boki vid vershini Velichina takogo kuta prijmayetsya rivnoyu 180 i dorivnyuye za oznachennyam radiana p displaystyle pi radian Pryamij kut dorivnyuye polovini rozgornutogo kuta Pryami kuti utvoreni vzayemno perpendikulyarnimi promenyami Velichina pryamogo kuta stanovit 90 abo p 2 displaystyle pi 2 radian Gostrimi kutami nazivayut kuti menshi za pryami Velichina gostrih kutiv lezhit u promizhku vid 0 do 90 abo v radianah vid 0 do p 2 displaystyle pi 2 bilshi vid pryamih ale menshi vid rozgornutih yihnya velichina lezhit u promizhku vid 90 do 180 abo vid p 2 displaystyle pi 2 do p displaystyle pi Neopukli kuti bilshe 180 ale menshe 360 Kut vdvichi bilshij vid rozgornutogo nazivayetsya povnim Jogo velichina u radianah dorivnyuye vidnoshennyu dovzhini kola do radiusa sho stanovit 2 p displaystyle 2 pi U gradusah ce 360 Vertikalni ta prilegli kuti Vertikalni kuti ta prilegli kuti i yih chastkovi vipadki Prilegli kuti Velichina kuta utvorenogo zovnishnimi ne spilnimi yihnimi storonami dorivnyuye sumi velichin yih samih a b Kuti a i b ye vertikalnimi Kuti a ta g a takozh b ta g skladayut pari sumizhnih Komplementarni kuti a i b vzayemno dopovnyuyut odin odnogo do pryamogo kuta a b 90 Sumizhni kuti na risunku gostrij a i tupij b utvoryuyut rozgornutij kut a b Spryazheni kuti utvoryuyut povnij kut 360 navedeno chastkovij priklad 150 210 360 Dva kuti yaki mayut spilnu storonu nazivayutsya prileglimi Pri peretini dvoh pryamih utvoryuyutsya chotiri nerozgornuti kuti dvi pari vertikalnih kutiv chotiri pari sumizhnih kutiv Protilezhni mizh soboyu vertikalni kuti kongruentni Sumizhni kuti razom utvoryuyut rozgornutij kut tomu yihnya suma dorivnyuye 180 abo v radianah p displaystyle pi Dva kuti yaki v sumi utvoryuyut pryamij kut nazivayutsya komplementarnimi Suma komplementarnih kutiv dorivnyuye 90 abo v radianah p 2 displaystyle pi 2 Obidva kuti ye gostrimi Centralnij ta vpisanij kuti Vpisanij kut 8 dorivnyuye polovini velichini centralnogo kuta 28 sho spirayetsya osnovoyu na tu zh dugu rozhevogo koloru Tobto kut 8 ne zminyuye svoyeyi velichini pri peremishenni vershini uzdovzh kola zelenij ta blakitnij kuti Zovnishnij kut dlya vpisanogo z inshogo boku kuta kola maye tu zh velichinu 8 korichnevogo koloru Bud yaki konkretnij duzi kola mozhna zistaviti yedinij centralnij i bezlich vpisanih kutiv Centralnij i vpisanij kut Centralnij kut 8 Vpisanij kut a Centralnij kut kut z vershinoyu u centri kola Velichina centralnogo kuta dorivnyuye gradusnij miri dugi roztashovanoyi mizh storonami cogo kuta Vpisanij kut kut vershina yakogo lezhit na koli a storoni peretinayut ce kolo Velichina vpisanogo kuta dorivnyuye polovini gradusnoyi miri dugi obmezhenoyi jogo storonami Usi vpisani kuti sho spirayutsya na odnu i tu zh dugu ye odnakovimi Velichina vpisanogo kuta dorivnyuye polovini velichini centralnogo kuta sho spirayetsya bilya osnovi na koli na tu zh dugu div ris Bisektrisa kutaBisektrisa kuta chervonij promin Bisektrisoyu vid lat bis dvichi ta lat seco roztinayu kuta nazivayetsya promin sho prohodit cherez vershinu kuta i dilit jogo navpil Kozhna tochka bisektrisi odnakovo viddalena vid storin kuta i navpaki bud yaka tochka vnutrishnoyi oblasti kuta sho ye rivnoviddalenoyu vid storin kuta lezhit na jogo bisektrisi Bisektrisi vertikalnih kutiv ye prodovzhennyam odna odnoyi Bisektrisi sumizhnih kutiv ye vzayemno perpendikulyarnimi Kuti u mnogokutnikahIlyustraciya do teoremi pro zovnishnij kut trikutnika Teorema pro sumu vnutrishnih kutiv mnogokutnika Teorema pro sumu vnutrishnih kutiv mnogokutnika U evklidovij geometriyi suma vnutrishnih kutiv ai dovilnogo n kutnika bez samoperetiniv dorivnyuye i 1 n a i n 2 180 displaystyle sum i 1 n alpha i n 2 cdot 180 circ Tak napriklad suma vnutrishnih kutiv trikutnika dorivnyuye 180 chotirikutnika 360 p yatikutnika 540 tosho U giperbolichnij geometriyi suma kutiv trikutnika zavzhdi mensha 180 U sferichnij geometriyi suma kutiv trikutnika zavzhdi bilsha 180 Teorema pro zovnishnij kut trikutnika Teorema pro zovnishnij kut trikutnika Zovnishnij kut trikutnika dorivnyuye sumi dvoh inshih kutiv trikutnika ne sumizhnih z cim vnutrishnim kutom div ris d a c displaystyle d a c Kuti u stereometriyiPonyattya kuta vikoristovuyetsya takozh u stereometriyi tobto v geometriyi trivimirnogo prostoru v yakij vvodyatsya ponyattya dvogrannogo trigrannogo i t d ta tilesnogo kuta Dvogrannij kut figura utvorena dvoma pivploshinami obmezhenimi spilnoyu pryamoyu Pivploshini yaki utvoryuyut tilesnij nazivayut granyami a pryamu sho yih obmezhuye rebrom Dlya viznachennya velichini dvogrannogo kuta vikoristovuyetsya ploskij kut na ploshini perpendikulyarnij do ploshini rebra dvogrannogo kuta Trigrannij kut ce chastina prostoru obmezhena troma ploskimi kutami zi spilnoyu vershinoyu i poparno zagalnimi storonami sho ne lezhat v odnij ploshini Spilna vershina cih kutiv nazivayetsya vershinoyu trigrannogo kuta Storoni kutiv nazivayutsya rebrami ploski kuti pri vershini trigrannogo kuta nazivayutsya jogo granyami Kozhna z troh par granej trigrannogo kuta utvoryuye dvogrannij kut Bagatogrannij kut chastina prostoru obmezhena dekilkoma ploshinami sho peretinayutsya v odnij tochci Tilesnij kut abo prostorovij kut chastina prostoru yaka ye ob yednannyam usih promeniv sho vihodyat z deyakoyi tochki vershini kuta i peretinayut deyaku poverhnyu yaka nazivayetsya poverhneyu sho styaguye danij tilesnij kut Tilesnij kut zadayetsya vershinoyu i nezamknenoyu poverhneyu Mozhe rozglyadatis yak uzagalnennya ponyattya ploskogo kuta na vipadok trivimirnogo prostoru Dlya vimiryuvannya tilesnih kutiv vikoristovuyetsya specialna odinicya steradian Povna sfera maye tilesnij kut 4 p displaystyle 4 pi steradian Bagatogranni kuti u tomu chisli i trigrannij ye chastkovim vipadkom tilesnogo kuta Dvogrannij kut Trigrannij kut Bagatogranni kuti Ilyustraciya tilesnogo kuta Za kut mizh dvoma krivimi sho peretinayutsya u pevnij tochci u yakij kozhna z krivih maye viznachenu dotichnu prijmayut kut mizh cimi dotichnimi Ponyattya kuta uzagalnyuyetsya takozh na inshi ob yekti sho rozglyadayutsya u stereometriyi Tak pid kutom mizh pryamoyu ta ploshinoyu u prostori mayut na uvazi kut mizh ciyeyu pryamoyu ta yiyi proyekciyeyu na cyu ploshinu Pid kutom mizh dvoma mimobizhnimi pryamimi rozumiyut kut mizh paralelnimi do nih pryamimi provedenimi cherez odnu i tu zh tochku Specialni kutiKut vertikalnij Granichnij kut zrushennya Kut diz yunktivu Kut zenitnij Kut maksimalnogo osidannya Kut prirodnogo ukosu Kut padinnya plasta Kut ukosu ustupu Kut ukosu yarusu vidvalu Kuti deviaciyi pidjomnih kanativ Kuti povnih zrushen Kuti rozriviv Komplementarni kutiDiv takozhDvogrannij kut Tilesnij kut Sumizhni kutiPrimitki Kut 5 chervnya 2016 u Wayback Machine Ukrayinska radyanska enciklopediya u 12 t gol red M P Bazhan redkol O K Antonov ta in 2 ge vid K Golovna redakciya URE 1974 1985 4 1 Fizichni velichini pov yazani z prostorom ta chasom 22 bereznya 2013 u Wayback Machine Normalizovana ukrayinska naukovo tehnichna terminologiya Znak displaystyle angle vpershe buv zaproponovanij u 1634 roci francuzkim matematikom P yerom Erigonom fr Pierre Herigone Nakaz Ministerstva ekonomichnogo rozvitku ta torgivli Ukrayini vid 25 08 2015 914 20 serpnya 2019 u Wayback Machine Pro zatverdzhennya viznachen osnovnih odinic SI nazv ta viznachen pohidnih odinic SI desyatkovih kratnih i chastinnih vid odinic SI dozvolenih pozasistemnih odinic a takozh yih poznachen ta Pravil zastosuvannya odinic vimiryuvannya i napisannya nazv ta poznachen odinic vimiryuvannya i simvoliv velichin V dijsnosti istinnij period obertannya Zemli vidnosno zirok priblizno ye na 4 hvilini korotshim nizh 24 godini div Zoryanij chas DzherelaIster O S Geometriya Pidruch dlya 7 kl zagalnoosvit navch zakl O S Ister K Osvita 2007 159 s ISBN 978 966 04 0678 0 Pogoryelov O V Geometriya Planimetriya Tekst pidruch dlya 7 9 kl sered shk O V Pogoryelov 4 te vid K Osvita 2000 223 s ISBN 966 04 0465 4 Burda M I Geometriya Tekst pidruch dlya 10 kl zagalnoosvit navch zakl akadem riven M I Burda N A Tarasenkova K Osvita 2013 175 s ISBN 978 617 656 018 0 Bilyanina O Ya Geometriya 10 klas Akademichnij riven Tekst pidruch dlya zagalnoosvit navch zakl O Ya Bilyanina G I Bilyanin V O Shvec 2 ge vid K Geneza 2014 253 s ISBN 978 966 11 0007 6 Planimetriya Tekst mini pidruchnik Roganin O M Titarenko O M Harkiv Torsing Plyus 2014 7 s ISBN 978 966 404 512 1 Kushnir I A Geometriya teoremy i zadachi Tekst uchebnoe posobie T 1 Planimetriya I A Kushnir K Astarta 1996 475 s ISBN 996 523 25 5 Vygodskij M Ya Spravochnik po elementarnoj matematike M Nauka 1966 424 s Chertov A G Fizicheskie velichiny M Vysshaya shkola 1990 336 s ISBN 5 06 001011 2 PosilannyaKut Terminologichnij slovnik dovidnik z budivnictva ta arhitekturi R A Shmig V M Boyarchuk I M Dobryanskij V M Barabash za zag red R A Shmiga Lviv 2010 S 115 ISBN 978 966 7407 83 4 Vikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Kut Weisstein Eric W Line Bisector angl na sajti Wolfram MathWorld Weisstein Eric W Angle angl na sajti Wolfram MathWorld Weisstein Eric W Polygon angl na sajti Wolfram MathWorld Angle Encyclopaedia Britannica 11th ed Vol II Cambridge Cambridge University Press 1911 s 14 Heiberg Johan Ludvig 1908 Heath T L red The Thirteen Books of Euclid s Elements T 1 Cambridge Cambridge University Press Arhiv originalu za 20 sichnya 2021 Procitovano 4 travnya 2016 Angles 15 bereznya 2015 u Wayback Machine na sajti Math Open Reference angl