У математиці абстрактний многогранник, неформально кажучи, це структура, яка враховує тільки комбінаторні властивості традиційних многогранників і ігнорує багато інших їхніх властивостей, таких як кути, довжини ребер тощо. При цьому не потрібна наявність будь-якого простору, що містить многогранник, такого як евклідів простір. Абстрактне формулювання реалізує комбінаторні властивості як частково впорядковану множину (далі посет).
Абстрактне визначення дозволяє деякі більш загальні комбінаторні структури, ніж традиційна концепція многогранника, і допускає багато нових об'єктів, що не мають аналога в традиційній теорії.
Традиційні многогранники в порівнянні з абстрактними
В геометрії Евкліда шість чотирикутників, наведених на малюнку вище, різні. Все ж вони мають щось спільне, що відрізняє їх від трикутника або куба, наприклад.
Елегантна, хоча географічно неточна, [en] надає всю відповідну інформацію як проїхати з пункту A в пункт B. Ще один приклад — електрична принципова схема. За нею кінцеве розташування проводів і елементів часто з першого погляду визначити неможливо.
У кожному такому прикладі зв'язки між елементами ті ж самі і не пов'язані з фізичним розташуванням. У цьому випадку кажуть, що об'єкти комбінаторно еквівалентні. Ця еквівалентність і укладена в поняття абстрактного многогранника. Таким чином, комбінаторно наші шість чотирикутників «ті ж самі». Кажучи строгіше, вони ізоморфні або «зберігають структуру».
Властивості, зокрема вимірні, традиційних многогранників, такі як кути, довжина ребер, несиметрія і опуклість несуттєві для абстрактних многогранників. Інші традиційні поняття можуть розглядатися, але не завжди таким самим чином. Може трапитися, що деяке судження, істинне для традиційних многогранників, може бути хибним для абстрактних, і навпаки. Наприклад, традиційні многогранники правильні, якщо всі їхні грані і вершинні фігури правильні, але це не стосується абстрактних многогранників .
Вступні поняття
Для визначення абстрактних многогранників слід увести кілька понять.
У цій статті многогранник означає абстрактний многогранник, якщо не зазначено явно інше. Термін традиційний використовується для посилань на те, що зазвичай розуміється під многогранниками за винятком власне абстрактних многогранників. Іноді використовуються терміни класичний або геометричний.
Многогранники як частково впорядковані множини
Зв'язки на схемі залізниці або електричній схемі можна подати просто «точками і лініями», тобтографом. Многогранники, однак, мають ієрархію за розмірністю. Наприклад, вершини, ребра і грані куба мають розмірності 0, 1 і 2 відповідно. Сам куб є 3-вимірним.
У цій абстрактній теорії поняття рангу замінює поняття розмірності. Це поняття формально визначено нижче.
Поняття грань використовується для будь-яких елементів будь-якого рангу, наприклад вершин (ранг 0) або ребер (ранг 1), а не тільки граней рангу 2. Елемент рангу k називається k-гранню.
Можемо тоді визначити многогранник як множину граней P з відношенням порядку <, яке задовольняє додатковим аксіомам. Формально, P (з відношенням порядку <) буде (строго) частково впорядкованою множиною (посет).
Якщо F < G, ми кажемо, що F є підгранню G (або G має підгрань F).
Ми кажемо, що F і G інцидентні, якщо або F = G, або F < G, або G < F. Це значення відрізняється від традиційного використання в геометрії та інших галузях математики. Наприклад, у квадраті abcd, ребра ab і bc НЕ інцидентні.
Найменші і найбільші грані
Так само як поняття нуля і нескінченності є необхідними в математиці, такі ж поняття корисні для абстрактних многогранників — вважається що будь-який многогранник має найменшу грань, яка є підгранню всіх інших, і найбільшу грань, для якої всі інші грані є підгранями.
Фактично, многогранник може мати лише одну грань. В цьому випадку найменша і найбільша грані збігаються.
Найменшу і найбільшу грані називають невласними. Всі інші грані називають власними.
Найменшу грань називають порожньою гранню, оскільки вона не має вершин (або будь-яких інших граней) як підграней. Оскільки найменша грань міститься нижче за рівнем від вершин (граней нульового рангу), її ранг дорівнює -1. Ми позначаємо цю грань як F−1. Якщо це здається на перший погляд дивним, це почуття швидко зникає, коли розумієш, яку симетрію це поняття вносить у теорію. (Історично, математики противились таким поняттям, як від'ємні числа, дробові, ірраціональні і комплексні числа, і навіть нуль!)
Простий приклад
Як приклад тепер створимо абстрактний квадрат з гранями як у таблиці:
Тип грані | Ранг (k) | Число | k-грані |
---|---|---|---|
Найменша | -1 | 1 | F −1 |
Вершини | 0 | 4 | a, b, c, d |
Ребра | 1 | 4 | W, X, Y, Z |
Найбільша | 2 | 1 | G |
Відношення < визначається як множина пар, яка (для цього прикладу) включає
- F−1<a, … , F−1<X, … , F−1<G, … , b<Y, … , c<G, … , Z<G.
У цьому прикладі ми могли б записати ребра W, X, Y і Z як ab, ad, bc і cd відповідно, і ми будемо часто використовувати такий варіант запису. Але, як ми незабаром побачимо, така система запису не завжди прийнятна.
Ми називаємо отриману фігуру квадратом, а не чотирикутником (або чотирибічником), оскільки в нашому абстрактному світі немає кутів і ребра не мають довжин. Всі чотири ребра ідентичні і «геометрія» в кожній вершині однакова.
Відношення порядку транзитивні, тобто з F < G і G < H випливає, що F < H. Таким чином, для опису ієрархії граней немає необхідності задавати всі випадки F < H, досить вказати для кожного елемента наступний елемент, тобто коли F < H і немає такого G, для якого F < G < H.
Діаграма Гассе
Малі посети, і многогранники зокрема, часто добре візуалізуються за допомогою діаграми Гассе, як показано на рисунку. Зазвичай грані однакового рангу розміщуються на одному горизонтальному рівні. Кожна лінія між гранями відповідає парі F, G, такій що F < G, де F міститься на діаграмі нижче, ніж G.
Многогранник часто малюють неформально як граф. Граф має вершини і ребра, але не має граней. Мало того, для більшості многогранників неможливо отримати всі інші грані з графу, і, в загальному випадку, різні многогранники можуть мати один граф.
Діаграма Гассе, з іншого боку, повністю описує будь посет — всі структури многогранників покриваються діаграмами Гассе. Ізоморфні многогранники дають ізоморфні діаграми Гассе і навпаки.
Ранг
Ранг грані F визначають як ціле (m − 2), де m — максимальна кількість граней в будь-якому ланцюжку (F', F", … , F), що задовольняє F' < F" < … < F.
Ранг посета P — це максимальний ранг n будь-якої грані, тобто ранг максимальної грані (як зазначено вище, будь-який многогранник має максимальну грань). У цій статті ми завжди використовуємо n для позначення рангу посета або многогранника.
Звідси випливає, що найменша грань, і ніяка інша, має ранг -1, а найбільша грань має ранг n. Ми позначаємо їх як F−1 і Fn відповідно.
Ранг грані або многогранника зазвичай відповідає розмірності аналога в традиційній теорії, але не завжди. Наприклад, грань рангу 1 відповідає ребру, яке має розмірність 1. Але просторовий многокутник у традиційній геометрії 3-вимірний, оскільки він не плоский. В абстрактному еквіваленті такий многокутник залишається абстрактним многокутником рангу 2.
Для деяких рангів існують назви типів граней.
Ранг | -1 | 0 | 1 | 2 | 3 | … | n — 2 | n — 1 | n |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
Тип межі | Найменша | Вершина | Ребро | † | Комірка | Гіперребро | Гіпергрань | Найбільша |
† Хоча традиційно під «гранню» розуміють грань рангу 2, ми завжди будемо писати «2-грань», щоб уникнути двозначності і залишаємо термін «грань» для позначення грані будь-якого рангу.
Відрізок
Відрізок — це посет, що має мінімальну грань, рівно дві 0-грані і найбільшу грань, наприклад {∅, a, b, ab}. Звідси випливає, що вершини a і b мають ранг 0, а найбільша грань ab, а тому й сам посет, мають ранг 1.
Прапори
Прапор — це максимальний ланцюжок граней, тобто (повністю) впорядкована множина Ψ граней, у якій кожна грань є підгранню наступної (якщо така є), і така, що Ψ не є підмножиною будь-якого більшого ланцюжка.
Наприклад, { ∅ , a, ab, abc} є прапором у трикутнику abc.
Ми будемо додатково вимагати, щоб для даного многогранника всі прапори містили однакове число граней. Посети, в загальному випадку, не задовольняють цим вимогам. Посет {∅ , a, b, bc, abc} має 2 прапори нерівного розміру, а тому не є многогранником.
Ясно, що якщо є дві різні грані F, G у прапорі, то або F < G або F > G.
Секції
Будь-яка підмножина P' посета P є посетом (з тим самим відношенням <, обмеженим на P').
Зокрема, якщо дано дві грані F, H посета P, де F ≤ H, множина {G | F ≤ G ≤ H} називають секцією посета P і позначають H/F. (У термінології теорії порядку секція має назву замкнутого інтервала посета і позначається [F, H], але поняття ідентичні).
Таким чином, P є секцією себе.
Наприклад, у призмі abcxyz (див. малюнок) секція xyz/ø (виділено зеленим кольором) є трикутником
- { ∅ , x, y, z, xy, xz, yz, xyz}.
k-секція — це секція рангу k.
Многогранник, який є підмножиною іншого многогранника, не обов'язково є секцією. Квадрат abcd є підмножиною тетраедра abcd, але не є його секцією.
Поняття секції не має того самого значення в традиційній геометрії.
Вершинні фігури
Вершинна фігура в заданій вершині V — це (n−1)-секція Fn/V, де Fn є найбільшою гранню.
Наприклад, у трикутнику abc вершинною фігурою в b, abc/b, є {b, ab, bc, abc}, тобто відрізок. Вершинними фігурами куба є трикутники.
Зв'язність
Посет P є зв'язним, якщо ранг P ≤ 1, або для будь-яких двох власних граней F і G існує послідовність власних граней: H1, H2, … , Hk
така, що F = H1, G = Hk і кожна грань Hi, i < k інцидентна попередній грані.
Умова вище забезпечує, що пара окремих трикутників abc і xyz не є (єдиним) многогранником.
Посет P є строго зв'язним, якщо будь-яка секція P (включно з самим P) зв'язна.
З цією додатковою вимогою виключаються дві піраміди, що мають спільну вершину. Однак дві квадратні піраміди, наприклад, можуть бути «склеєні» квадратними гранями, що дає октаедр. У цьому випадку «спільна грань» не є гранню октаедра.
Формальне визначення
Абстрактний многогранник — це частково впорядкована множина, елементи якої ми називаємо гранями, що задовольняє таким чотирьом аксіомам:
- Він має найменшу грань і найбільшу грань.
- Всі прапори містять одне і те саме число граней.
- Він строго пов'язаний.
- Будь-яка 1-секція є відрізком.
n-многогранник є многогранником рангу n.
Примітки
У разі порожнього многогранника найменша і найбільша грані є одним і тим самим єдиним елементом.
Аксіома 2 еквівалентна твердженню, що посет є .
Якщо виконуються інші аксіоми, аксіома 3 еквівалентна строгій зв'язності прапорів, що неформально означає:
- Для будь-якої секції многогранника (включно з самим многогранником) будь-який прапор можна змінити в будь-який інший змінюючи лише одну грань за крок.
Аксіома 4 відома як «властивість діаманту», оскільки на діаграмі Гассе відрізок подається чотирикутником (діамантом).
З аксіом можна показати, що будь-яка секція є многогранником і що Rank(G/F) = Rank(G) − Rank(F) − 1.
Найпростіші многогранники
Ранг < 2
Є лише по одному многограннику з рангами -1, 0 і 1, і це, відповідно, порожній многогранник, точка і відрізок.
Для n ≤ 1 всі n-секції многогранника є (унікальними) n-многогранниками. Однак грані рангу 0 і 1 многогранника називають вершинами і ребрами відповідно.
Ранг 2
Для будь-якого p, 3 ≤ p < є абстрактний еквівалент традиційного многокутника з p вершинами і p ребрами, p-кутник. Для p = 3, 4, 5, … ми отримуємо трикутник, квадрат, п'ятикутник, ….
Для p = 2 ми отримаємо двокутник, а для p = — апейрогон.
Дигон
Дигон — це многогранник з двома ребрами, що й відповідає назві. На відміну від інших многокутників, обидва ребра мають дві спільні вершини. З цієї причини він вважається виродженим.
Досі ми використовували для визначення граней «вершинну нотацію», наприклад. {∅, a, b, c, ab, ac, bc, abc} для трикутника abc. Цей метод має певну перевагу перед заданням відношення <.
У випадку з дигоном і багатьма іншими абстрактними многогранниками вершинну нотацію використовувати не можна. Ми мусимо дати граням індивідуальні назви і вказати пари підграней F < G (задати порядок).
Так, дигон слід визначити як множину {∅, a, b, E', E", G} з відношенням порядку <
- {ø<a, ø<b, a<E', a<E, b<E', b<E, E'<G, E"<G}
де E' і E" — два ребра, а G — найбільша грань.
Підсумовуючи, многогранник можна повністю описати лише вершинною нотацією, якщо кожна грань має унікальний набір вершин. Многогранник, який має таку властивість, називають [en].
Приклади вищого порядку
Як зазначалося вище, поняття абстрактного многогранника дуже загальне і включає:
- [en], тобто нескінченні многогранники або замощення
- Розкладання інших многовидів, таких як тор або дійсна проєктивна площина
- Багато інших об'єктів, таких як одинадцятикомірник і [en], які не поміщаються звичним чином у «нормальні» геометричні простори.
В загальному випадку, множина j-граней (-1 ≤ j ≤ n) традиційного n-многогранника утворює абстрактний n-многогранник.
Осоедри
Дигон узагальнюється осоедрами, які можна реалізувати як сферичні многогранники - замощення сфери.
Проєктивні многогранники
Чотирма прикладами нетрадиційних абстрактних многогранників є [en] (показаний на малюнку), [en], напівдодекаедр і напівікосаедр. Ці многогранники є проєктивними двійниками правильних многогранників і можуть бути реалізовані як [en] — вони замощують дійсну проєктивну площину.
Напівкуб є ще одним прикладом, коли вершинна нотація незастосовна — всі 2-грані і 3-грані мають один і той самий набір вершин.
Двоїстість
Будь-який многогранник має двоїстий, тобто многогранник, у якому частковий порядок обернений — діаграма Гассе двоїстого многогранника є такою ж, як і в оригінального, але перевернута («догори ногами»). Кожна початкова k-грань n-многогранника переходить у (n − k − 1)-грань двоїстого. Так, наприклад, n-грань переходить в (-1)-грань. Двоїстий многогранник двоїстому тотожний (ізоморфний) початковому.
Многогранник є самодвоїстим, якщо він збігається зі своїм двоїстим многогранником, тобто ізоморфний двоїстому. Таким чином, діаграма Гассе самодвоїстого многогранника має бути симетричною відносно горизонтальної осі. Квадратна піраміда в прикладі вище є самодвоїстим многогранником.
Вершинна фігура у вершині V є двоїстою відповідній грані двоїстого многогранника.
Абстрактні правильні многогранники
Формально, абстрактний многогранник визначається як «правильний», якщо його група автоморфізмів діє транзитивно на множину його прапорів. Зокрема, будь-які дві k-грані F і G n-многогранника є «однаковими», тобто є автоморфізм, який переводить F у G. Коли абстрактний многогранник є правильним, його група автоморфізмів ізоморфна факторгрупі групи Коксетера.
Всі многогранники рангу ≤ 2 правильні. Найвідоміші правильні многогранники — п'ять платонових тіл. Напівкуб (показано на малюнку) є правильним.
Неформально це означає, що для кожного рангу k немає способу відрізнити яку-небудь k-грань від будь-якої іншої — грані мають бути однаковими і мати однакових сусідів, і так далі. Наприклад, куб є правильним, оскільки всі його грані є квадратами, кожна вершина квадрата належить трьом квадратам і кожен квадрат оточений однаково іншими гранями, ребрами і вершинами, і так далі.
Це умова без жодних доповнень є достатня для того, щоб абстрактний многогранник мав ізоморфні правильні (n−1)-грані та ізоморфні правильні вершинні фігури.
Ця умова слабша, ніж правильність для традиційних многогранників, оскільки вона стосується (комбінаторної) групи автоморфізмів, а не (геометричної) групи симетрії. Наприклад, будь-який абстрактний многокутник є правильним, оскільки кути, довжини ребер, кривина ребер, перекіс тощо не існують для абстрактних многогранників.
Існують деякі інші ослаблювальні поняття, деякі не цілком стандартизовані, такі як напівправильний, , однорідний, многогранники і архімедові тіла, застосовні до многогранників, у яких деякі, але не всі грані еквівалентні для кожного рангу.
Приклад неправильного многогранника
Якщо взяти до уваги, скільки місця приділено правильним многогранникам, може здатися, що всі многогранники правильні Насправді, правильні многогранники є дуже частковими випадками.
Найпростішим неправильним многогранником є квадратна піраміда, хоча вона має багато симетрій.
На малюнку наведено приклад многогранника без нетривіальної симетрії — жодна пара вершин, ребер, або 2-граней не є «тими самими», як визначено вище. Можливо, це найпростіший з таких многогранників.
Реалізації
Будь-який традиційний многогранник є прикладом реалізації абстрактного многогранника, що лежить у його основі. Це ж стосується замощень площини або інших кусково лінійних многовидів у розмірностях два і вище. До останніх належать, наприклад, проєктивні многогранники. Їх можна отримати з многогранників за допомогою центральної симетрії ототожненням протилежних вершин, ребер, граней і т. д. У тривимірному просторі це дає [en] і напівдодекаедр і їх двоїсті, [en] і напівікосаедр.
Більш загально, реалізація правильного абстрактного многогранника — це набір точок у просторі (відповідних вершин многогранника), разом зі структурою граней, породженою на них (абстрактним) многогранником, і ця структура, щонайменше, має ті ж симетрії, що і вихідний абстрактний многогранник. Тобто, всі комбінаторні автоморфізми абстрактних многогранників реалізуються геометричними симетріями. Наприклад, набір точок {(0,0), (0,1), (1,0), (1,1)} є реалізацією абстрактного 4-кутника (квадрата). Однак це не єдина реалізація — можна вибрати замість цього вершини правильного тетраедра. Для будь-якої симетрії квадрата існує відповідна симетрія правильного тетраедра (однак, правильний тетраедр має більше симетрій, ніж абстрактний 4-кутник).
Фактично, будь-який абстрактний многогранник з v вершинами має принаймні одну реалізацію як вершини (v − 1)-вимірного симплекса. Часто цікаво знайти реалізацію в найменшій розмірності.
Якщо абстрактний n-многогранник можна реалізувати в n-вимірному просторі так, що геометричне розташування не порушує яких-небудь правил для традиційних многогранників (таких як криволінійні грані або гребені нульового розміру), про таку реалізацію кажуть як про правильну. В загальному випадку тільки обмежену множину абстрактних многогранників рангу n можна реалізувати правильно для будь-якого n-простору.
Задача об'єднання і універсальні многогранники
Базова теорія комбінаторних структур, які тепер відомі як «абстрактні многогранники» (спочатку звані «incidence polytopes» — інциденціальні многогранники), описана в докторській дисертації Егона Шульте, хоча вона ґрунтується на раніших роботах Бранко Ґрюнбаума, Гарольда Коксетера і . Відтоді дослідження в теорії абстрактних многогранників фокусувалися, переважно, на правильних многогранниках, тобто многогранниках, групи автоморфізмів яких діють транзитивно на множині прапорів многогранника.
Важливим питанням у теорії абстрактних многогранників є задача змішування. Задача складається із серії питань, таких як:
- Для заданих абстрактних многогранників K і L, чи існує який-небудь многогранник P, гіпергранями якого є многогранник K, а вершинними фігурами — многогранник L?
- Якщо так, чи є вони всі скінченними?
- Які скінченні многогранники такого типу існують?
Наприклад, якщо K квадрат, а L — трикутник, відповіді на ці питання такі: Так, існують многогранники P з квадратними гранями, з'єднаними по три в одній вершині (тобто, многогранники типу {4,3}).
- Так, всі вони скінченні,
- Існує куб із шістьма квадратними гранями, дванадцятьма ребрами і вісьмома вершинами, і [en] із трьома гранями, шістьма ребрами і чотирма вершинами.
Відомо, що якщо відповідь на перше питання позитивна (Так) для деяких правильних K і L, існує єдиний многогранник, гіпергранями якого є K, а вершинними фігурами якого є L. Цей многогранник називається універсальним многогранником з цими гіпергранями і вершинними фігурами, який покриває всі многогранники цього типу. Тобто, припустимо, що P є універсальним многогранником з гіпергранями K і вершинними фігурами L. Тоді будь-який інший многогранник Q з цими гранями і вершинними фігурами можна записати Q=P/N, де
- N — підгрупа групи автоморфізмів P
- P/N є набором орбіт елементів P при діях N з частковим порядком, породженим групою P.
Q=P/N називається часткою від P, і кажуть, що P покриває Q.
Якщо враховувати цей факт, пошук многогранників з вибраними гіпергранями і вершинними фігурами зазвичай відбувається за наступним сценарієм:
- Намагаємося знайти універсальний многогранник
- Намагаємося класифікувати частки.
Ці дві задачі, в загальному випадку, дуже складні.
Повертаючись до прикладу вище, якщо K є квадратом, а L — трикутником, універсальним многогранником {K,L} буде куб (який записується як {4,3}). Напівкуб є відношенням {4,3}/N, де N — група симетрій (автоморфізмів) з двома елементами — тотожною симетрією і симетрією, що відображає кожен кут (ребро або грань) у протилежний елемент.
Якщо L є також квадратом, універсальним многогранником {K,L} (тобто, {4,4}) є замощення евклідового простору квадратами. Це замощення має нескінченне число часток із квадратними гранями, по чотири на вершину, деякі з яких правильні, а деякі — ні. За винятком самого універсального многогранника, всі частки відповідають різним способам замощення квадратами поверхні тора або нескінченно довгого циліндра.
Одинадцятикомірник і п'ятдесятисемикомірник
Одинадцятикомірник, незалежно відкритий Коксетером і Ґрюнбаумом, є абстрактним 4-вимірним многогранником. Його гранями є напівікосаедри. Оскільки гіперграні є, топологічно, проєктивними площинами, а не сферами, одинадцятикомірник не є замощенням якогось многовиду в звичному сенсі. Замість цього одинадцятикомірник є локально проєктивним многогранником. Одинадцятикомірник не тільки чудовий математично, він важливий як історично перший відкритий нетрадиційний абстрактний многогранник. Многогранник самодвоїстий і універсальний — це єдиний многогранник з напівікосаедричними гіпергранями і напівдодекаедричними вертексними фігурами.
[en] також самодвоїстий, він має напівдодекаедричні гіперграні. Многогранник знайшов Гарольд Коксетер невдовзі після відкриття одинадцятикомірника. Подібно до одинадцятикомірника він універсальний, єдиний многогранник із напівдодекаедричними гіпергранями і напівікосаедричними вершинними фігурами. З іншого боку, існує багато інших многогранників з напівдодекаедричними гіпергранями і символом Шлефлі {5,3,5}. Універсальний многогранник з напівдодекаедричними гіпергранями й ікосаедричними (НЕ напівікосаедричними) вершинними фігурами скінченний, але дуже великий, він має 10 006 920 гіперграней і вдвічі менше вершин.
Локальна топологія
Завдання злиття, історично, стосувалася локальної топології. Тобто, замість обмеження K і L конкретними многогранниками, дозволяються будь-які многогранники із заданою топологією, тобто будь-яке замощення многогранниками заданого многовида. Якщо K і L є сферичними (тобто, замощеннями топологічної сфери), то P називається локально сферичним і відповідає замощенню деякого многовида. Наприклад, якщо K і L є обидва квадратами (а тому, топологічно, колами), P буде замощенням площини, тора або пляшки Клейна квадратами. Замощення n-вимірного многовида, фактично, є многогранником рангу n + 1. І це узгоджується з інтуїтивним уявленням, що платонові тіла тривимірні, навіть якщо їх можна розглядати як замощення поверхні двовимірної поверхні кулі.
У загальному випадку, абстрактний многогранник називається локально X, якщо його гіперграні і вершинні фігури, топологічно, або сфери, або X, але не сфери одночасно. Одинадцятикомірник і є прикладами локально проєктивних многогранників рангу 4 (тобто, чотиривимірних), оскільки їхні гіперграні і вершинні фігури є замощеннями дійсних проєктивних площин. Тут, однак, існує слабкість термінології. Визначення не дає простих шляхів опису многогранників, гіпергранями якого є тори, а вершинними фігурами — проєктивні площини, наприклад. Ще гірше, коли різні гіперграні мають різну топологію чи не мають визначеної топології взагалі. Однак значний крок зроблено щодо повної класифікації n локально тороїдальних правильних многогранників.
Відображення обміну
Нехай Ψ — прапор абстрактного n-многогранника і нехай -1 < i < n. З визначення абстрактного многогранника можна довести, що є єдиний прапор, відмінний від Ψ тільки одним елементом рангу i і однаковий в іншому. Якщо ми позначимо такий прапор через Ψ(i), то це задає набір відображень прапорів многогранника, скажімо φi. Ці відображення називаються відображеннями обміну, оскільки вони міняють місцями пари прапорів: (Ψφi)φi = Ψ. Деякі інші властивості відображень обміну:
- φi2 тотожне відображення
- φi утворюють групу.
- якщо |i — j| > 1, 'φ'iφj = 'φ'jφi
- Якщо α — автоморфізм многогранника, то αφi = φiα
- Якщо многогранник правильний, то група, що генерується φi, ізоморфна групі автоморфізмів, в іншому випадку вона строго більша.
Відображення обміну можуть бути використані для доведення, що будь-який абстрактний многогранник є похідним від деякого правильного многогранника.
Матриці інциденцій
Многогранник можна подати у вигляді таблиці інциденцій. Нижче наведено матрицю інциденцій для трикутника:
ø | a | b | c | ab | bc | ca | abc | |
---|---|---|---|---|---|---|---|---|
ø | • | • | • | • | • | • | • | • |
a | • | • | • | • | • | |||
b | • | • | • | • | • | |||
c | • | • | • | • | • | |||
ab | • | • | • | • | • | |||
bc | • | • | • | • | • | |||
ca | • | • | • | • | • | |||
abc | • | • | • | • | • | • | • | • |
Точка в таблиці показує, що одна грань є підгранню іншої грані (або навпаки, так що таблиця симетрична відносно діагоналі). Таким чином, таблиця містить надлишкову інформацію, досить було б показувати точку, коли номер грані рядка ≤ номера грані стовпця (верхню трикутну матрицю).
Оскільки саме тіло і порожня множина інцидентні всім іншим елементам, перший рядок і перший стовпець, а також останній рядок і останній стовпець тривіальні і їх можна опустити.
Подальшу інформацію можна отримати підрахунком інціденцій. Таке чисельне подання дозволяє групування за симетрією як у діаграмі Гассе квадратної піраміди — якщо вершини B, C, D і E еквівалентні за симетрією в абстрактному многограннику, то ребра f, g, h і j групуються разом, і те саме для ребер k, l, m і n. Врешті-решт групуються і трикутники 'P', 'Q', 'R' і 'S'. Відповідна матриця інціденцій абстрактного многогранника може виглядати так:
A | B, C, D, E | f, g, h, j | k, l, m, n | P, Q, R, S | T | |
---|---|---|---|---|---|---|
A | 1 | * | 4 | 0 | 4 | 0 |
B, C, D, E | * | 4 | 1 | 2 | 2 | 1 |
f, g, h, j | 1 | 1 | 4 | * | 2 | 0 |
k, l, m, n | 0 | 2 | * | 4 | 1 | 1 |
P, Q, R, S | 1 | 2 | 2 | 1 | 4 | * |
T | 0 | 4 | 0 | 4 | * | 1 |
У цій матриці інціденцій діагональні елементи дають загальне число елементів кожного типу.
Ясно, що елементи різних типів одного рангу ніколи не можуть бути інцидентними, так що значення завжди дорівнює 0, але щоб допомогти розпізнати це відношення в таблиці використовується зірочка (*) замість нуля.
Піддіагональні елементи таблиці для кожного рядка представляють число інціденцій відповідних піделементів, тоді як наддіагональні елементи представляють число інціденцій елемента вершинам, ребрам та іншим фігурам.
Вже цей приклад квадратної піраміди показує, що така матриця інциденцій не симетрична. Однак залишаються прості зв'язки елементів таблиці, оскільки для таких матриць інциденцій виконується:
Історія
Ранні приклади абстрактних многогранників виявили Коксетер і — три нескінченні структури {4, 6}, {6, 4} і {6, 6}, які вони назвали [en].
1960 року Бранко Ґрюнбаум запропонував геометричній спільноті обговорити узагальнення поняття правильних многогранників, які він назвав polystromata (poly + stromata). Він розробив теорію, показавши приклади нових об'єктів, включно з одинадцятикомірником.
Одинадцятикомірник є самодвоїстим чотиривимірним многогранником, грані якого не ікосаедри, а напівікосаедри, тобто, фігури, які виходять, якщо протилежні сторони ікосаедра вважати однією (тією ж) гранню (Grünbaum, 1977). Через кілька років після відкриття Ґрюнбаумом одинадцятикомірника Коксетер виявив схожий многогранник, [en] (Coxeter 1982, 1984), а потім, незалежно, перевідкрив одинадцятикомірник.
Егон Шульте (Egon Schulte) визначив «правильні комплекси інциденцій» і «правильні інциденційні многогранники» в свій дисертації в 1980-х, у якій було вперше наведено сучасне визначення. Згодом він і [en] розробили базову теорію в серії статей, пізніше зібраних у книгу. Численні дослідники зробили відтоді свій внесок, а піонери досліджень (зокрема Ґрюнбаум) прийняли визначення Шульте як «правильне».
Див. також
- 11-комірник і [en] — два абстрактних правильних 4-вимірних многогранники
- Правильний многогранник
Примітки
- poset = partially ordered set = частково впорядкована множина
- McMullen, Schulte, 2002, с. 31.
- В англійській мові є два терміни, які можна перекласти як напівкуб — hemicube і demicube. У статті йдеться про hemicube.
- Гребінь — це грань розмірності n-2. Для тривимірних многогранників гребінь збігається з ребром.
- McMullen, Schulte, 2002.
- Hartley, Hulpke, 2010, с. 107.
- polystromata = poly + stromata, stromata = множ. від stroma = основа, кістяк
Література
- Peter McMullen, Egon Schulte. Abstract Regular Polytopes. — 1st. — Cambridge University Press, 2002. — .
- Jaron's World: Shapes in Other Dimensions [ 5 липня 2017 у Wayback Machine.], , Apr 2007
- Dr. Richard Klitzing, Incidence Matrices [ 8 серпня 2011 у Wayback Machine.]
- E. Schulte. Handbook of discrete and computational geometry / [en], O'Rourke, J. — 2nd. — Chapman & Hall, 2004.
- MIichael I. Hartley, Alexander Hulpke. Polytopes derived from sporadic simple groups // Contributions to Discrete Mathematics. — 2010. — Т. 5, вип. 2 (16 червня). — С. 106-118. — ISSN 715-0868.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici abstraktnij mnogogrannik neformalno kazhuchi ce struktura yaka vrahovuye tilki kombinatorni vlastivosti tradicijnih mnogogrannikiv i ignoruye bagato inshih yihnih vlastivostej takih yak kuti dovzhini reber tosho Pri comu ne potribna nayavnist bud yakogo prostoru sho mistit mnogogrannik takogo yak evklidiv prostir Abstraktne formulyuvannya realizuye kombinatorni vlastivosti yak chastkovo vporyadkovanu mnozhinu dali poset Yak abstraktni mnogogranniki ci chotiristoronni figuri vvazhayutsya odnakovimi Abstraktne viznachennya dozvolyaye deyaki bilsh zagalni kombinatorni strukturi nizh tradicijna koncepciya mnogogrannika i dopuskaye bagato novih ob yektiv sho ne mayut analoga v tradicijnij teoriyi Tradicijni mnogogranniki v porivnyanni z abstraktnimiV geometriyi Evklida shist chotirikutnikiv navedenih na malyunku vishe rizni Vse zh voni mayut shos spilne sho vidriznyaye yih vid trikutnika abo kuba napriklad Elegantna hocha geografichno netochna en nadaye vsyu vidpovidnu informaciyu yak proyihati z punktu A v punkt B She odin priklad elektrichna principova shema Za neyu kinceve roztashuvannya provodiv i elementiv chasto z pershogo poglyadu viznachiti nemozhlivo U kozhnomu takomu prikladi zv yazki mizh elementami ti zh sami i ne pov yazani z fizichnim roztashuvannyam U comu vipadku kazhut sho ob yekti kombinatorno ekvivalentni Cya ekvivalentnist i ukladena v ponyattya abstraktnogo mnogogrannika Takim chinom kombinatorno nashi shist chotirikutnikiv ti zh sami Kazhuchi strogishe voni izomorfni abo zberigayut strukturu Vlastivosti zokrema vimirni tradicijnih mnogogrannikiv taki yak kuti dovzhina reber nesimetriya i opuklist nesuttyevi dlya abstraktnih mnogogrannikiv Inshi tradicijni ponyattya mozhut rozglyadatisya ale ne zavzhdi takim samim chinom Mozhe trapitisya sho deyake sudzhennya istinne dlya tradicijnih mnogogrannikiv mozhe buti hibnim dlya abstraktnih i navpaki Napriklad tradicijni mnogogranniki pravilni yaksho vsi yihni grani i vershinni figuri pravilni ale ce ne stosuyetsya abstraktnih mnogogrannikiv Vstupni ponyattyaDlya viznachennya abstraktnih mnogogrannikiv slid uvesti kilka ponyat U cij statti mnogogrannik oznachaye abstraktnij mnogogrannik yaksho ne zaznacheno yavno inshe Termin tradicijnij vikoristovuyetsya dlya posilan na te sho zazvichaj rozumiyetsya pid mnogogrannikami za vinyatkom vlasne abstraktnih mnogogrannikiv Inodi vikoristovuyutsya termini klasichnij abo geometrichnij Mnogogranniki yak chastkovo vporyadkovani mnozhini Zv yazki na shemi zaliznici abo elektrichnij shemi mozhna podati prosto tochkami i liniyami tobtografom Mnogogranniki odnak mayut iyerarhiyu za rozmirnistyu Napriklad vershini rebra i grani kuba mayut rozmirnosti 0 1 i 2 vidpovidno Sam kub ye 3 vimirnim U cij abstraktnij teoriyi ponyattya rangu zaminyuye ponyattya rozmirnosti Ce ponyattya formalno viznacheno nizhche Ponyattya gran vikoristovuyetsya dlya bud yakih elementiv bud yakogo rangu napriklad vershin rang 0 abo reber rang 1 a ne tilki granej rangu 2 Element rangu k nazivayetsya k grannyu Mozhemo todi viznachiti mnogogrannik yak mnozhinu granej P z vidnoshennyam poryadku lt yake zadovolnyaye dodatkovim aksiomam Formalno P z vidnoshennyam poryadku lt bude strogo chastkovo vporyadkovanoyu mnozhinoyu poset Yaksho F lt G mi kazhemo sho F ye pidgrannyu G abo G maye pidgran F Mi kazhemo sho F i G incidentni yaksho abo F G abo F lt G abo G lt F Ce znachennya vidriznyayetsya vid tradicijnogo vikoristannya v geometriyi ta inshih galuzyah matematiki Napriklad u kvadrati abcd rebra ab i bc NE incidentni Najmenshi i najbilshi grani Tak samo yak ponyattya nulya i neskinchennosti ye neobhidnimi v matematici taki zh ponyattya korisni dlya abstraktnih mnogogrannikiv vvazhayetsya sho bud yakij mnogogrannik maye najmenshu gran yaka ye pidgrannyu vsih inshih i najbilshu gran dlya yakoyi vsi inshi grani ye pidgranyami Faktichno mnogogrannik mozhe mati lishe odnu gran V comu vipadku najmensha i najbilsha grani zbigayutsya Najmenshu i najbilshu grani nazivayut nevlasnimi Vsi inshi grani nazivayut vlasnimi Najmenshu gran nazivayut porozhnoyu grannyu oskilki vona ne maye vershin abo bud yakih inshih granej yak pidgranej Oskilki najmensha gran mistitsya nizhche za rivnem vid vershin granej nulovogo rangu yiyi rang dorivnyuye 1 Mi poznachayemo cyu gran yak F 1 Yaksho ce zdayetsya na pershij poglyad divnim ce pochuttya shvidko znikaye koli rozumiyesh yaku simetriyu ce ponyattya vnosit u teoriyu Istorichno matematiki protivilis takim ponyattyam yak vid yemni chisla drobovi irracionalni i kompleksni chisla i navit nul Prostij priklad Yak priklad teper stvorimo abstraktnij kvadrat z granyami yak u tablici Tip grani Rang k Chislo k graniNajmensha 1 1 F 1Vershini 0 4 a b c dRebra 1 4 W X Y ZNajbilsha 2 1 G Vidnoshennya lt viznachayetsya yak mnozhina par yaka dlya cogo prikladu vklyuchaye F 1 lt a F 1 lt X F 1 lt G b lt Y c lt G Z lt G U comu prikladi mi mogli b zapisati rebra W X Y i Z yak ab ad bc i cd vidpovidno i mi budemo chasto vikoristovuvati takij variant zapisu Ale yak mi nezabarom pobachimo taka sistema zapisu ne zavzhdi prijnyatna Mi nazivayemo otrimanu figuru kvadratom a ne chotirikutnikom abo chotiribichnikom oskilki v nashomu abstraktnomu sviti nemaye kutiv i rebra ne mayut dovzhin Vsi chotiri rebra identichni i geometriya v kozhnij vershini odnakova Vidnoshennya poryadku tranzitivni tobto z F lt G i G lt H viplivaye sho F lt H Takim chinom dlya opisu iyerarhiyi granej nemaye neobhidnosti zadavati vsi vipadki F lt H dosit vkazati dlya kozhnogo elementa nastupnij element tobto koli F lt H i nemaye takogo G dlya yakogo F lt G lt H Diagrama Gasse Graf zliva i diagrama Gasse kvadrata sho pokazuye rangi pravoruch Mali poseti i mnogogranniki zokrema chasto dobre vizualizuyutsya za dopomogoyu diagrami Gasse yak pokazano na risunku Zazvichaj grani odnakovogo rangu rozmishuyutsya na odnomu gorizontalnomu rivni Kozhna liniya mizh granyami vidpovidaye pari F G takij sho F lt G de F mistitsya na diagrami nizhche nizh G Mnogogrannik chasto malyuyut neformalno yak graf Graf maye vershini i rebra ale ne maye granej Malo togo dlya bilshosti mnogogrannikiv nemozhlivo otrimati vsi inshi grani z grafu i v zagalnomu vipadku rizni mnogogranniki mozhut mati odin graf Diagrama Gasse z inshogo boku povnistyu opisuye bud poset vsi strukturi mnogogrannikiv pokrivayutsya diagramami Gasse Izomorfni mnogogranniki dayut izomorfni diagrami Gasse i navpaki Rang Rang grani F viznachayut yak cile m 2 de m maksimalna kilkist granej v bud yakomu lancyuzhku F F F sho zadovolnyaye F lt F lt lt F Rang poseta P ce maksimalnij rang n bud yakoyi grani tobto rang maksimalnoyi grani yak zaznacheno vishe bud yakij mnogogrannik maye maksimalnu gran U cij statti mi zavzhdi vikoristovuyemo n dlya poznachennya rangu poseta abo mnogogrannika Zvidsi viplivaye sho najmensha gran i niyaka insha maye rang 1 a najbilsha gran maye rang n Mi poznachayemo yih yak F 1 i Fn vidpovidno Rang grani abo mnogogrannika zazvichaj vidpovidaye rozmirnosti analoga v tradicijnij teoriyi ale ne zavzhdi Napriklad gran rangu 1 vidpovidaye rebru yake maye rozmirnist 1 Ale prostorovij mnogokutnik u tradicijnij geometriyi 3 vimirnij oskilki vin ne ploskij V abstraktnomu ekvivalenti takij mnogokutnik zalishayetsya abstraktnim mnogokutnikom rangu 2 Dlya deyakih rangiv isnuyut nazvi tipiv granej Rang 1 0 1 2 3 n 2 n 1 nTip mezhi Najmensha Vershina Rebro Komirka Giperrebro Gipergran Najbilsha Hocha tradicijno pid grannyu rozumiyut gran rangu 2 mi zavzhdi budemo pisati 2 gran shob uniknuti dvoznachnosti i zalishayemo termin gran dlya poznachennya grani bud yakogo rangu Vidrizok Graf livoruch i diagrama Gasse vidrizka Vidrizok ce poset sho maye minimalnu gran rivno dvi 0 grani i najbilshu gran napriklad a b ab Zvidsi viplivaye sho vershini a i b mayut rang 0 a najbilsha gran ab a tomu j sam poset mayut rang 1 Prapori Prapor ce maksimalnij lancyuzhok granej tobto povnistyu vporyadkovana mnozhina PS granej u yakij kozhna gran ye pidgrannyu nastupnoyi yaksho taka ye i taka sho PS ne ye pidmnozhinoyu bud yakogo bilshogo lancyuzhka Napriklad a ab abc ye praporom u trikutniku abc Mi budemo dodatkovo vimagati shob dlya danogo mnogogrannika vsi prapori mistili odnakove chislo granej Poseti v zagalnomu vipadku ne zadovolnyayut cim vimogam Poset a b bc abc maye 2 prapori nerivnogo rozmiru a tomu ne ye mnogogrannikom Yasno sho yaksho ye dvi rizni grani F G u prapori to abo F lt G abo F gt G Sekciyi Graf livoruch i diagrama Gasse trikutnoyi prizmi sho pokazuye 1 sekciyu chervona i 2 sekciyu zelena Bud yaka pidmnozhina P poseta P ye posetom z tim samim vidnoshennyam lt obmezhenim na P Zokrema yaksho dano dvi grani F H poseta P de F H mnozhina G F G H nazivayut sekciyeyu poseta P i poznachayut H F U terminologiyi teoriyi poryadku sekciya maye nazvu zamknutogo intervala poseta i poznachayetsya F H ale ponyattya identichni Takim chinom P ye sekciyeyu sebe Napriklad u prizmi abcxyz div malyunok sekciya xyz o vidileno zelenim kolorom ye trikutnikom x y z xy xz yz xyz k sekciya ce sekciya rangu k Mnogogrannik yakij ye pidmnozhinoyu inshogo mnogogrannika ne obov yazkovo ye sekciyeyu Kvadrat abcd ye pidmnozhinoyu tetraedra abcd ale ne ye jogo sekciyeyu Ponyattya sekciyi ne maye togo samogo znachennya v tradicijnij geometriyi Vershinni figuri Dokladnishe Vershinna figura Vershinna figura v zadanij vershini V ce n 1 sekciya Fn V de Fn ye najbilshoyu grannyu Napriklad u trikutniku abc vershinnoyu figuroyu v b abc b ye b ab bc abc tobto vidrizok Vershinnimi figurami kuba ye trikutniki Zv yaznist Poset P ye zv yaznim yaksho rang P 1 abo dlya bud yakih dvoh vlasnih granej F i G isnuye poslidovnist vlasnih granej H1 H2 Hk taka sho F H1 G Hk i kozhna gran Hi i lt k incidentna poperednij grani Umova vishe zabezpechuye sho para okremih trikutnikiv abc i xyz ne ye yedinim mnogogrannikom Poset P ye strogo zv yaznim yaksho bud yaka sekciya P vklyuchno z samim P zv yazna Z ciyeyu dodatkovoyu vimogoyu viklyuchayutsya dvi piramidi sho mayut spilnu vershinu Odnak dvi kvadratni piramidi napriklad mozhut buti skleyeni kvadratnimi granyami sho daye oktaedr U comu vipadku spilna gran ne ye grannyu oktaedra Formalne viznachennyaAbstraktnij mnogogrannik ce chastkovo vporyadkovana mnozhina elementi yakoyi mi nazivayemo granyami sho zadovolnyaye takim chotirom aksiomam Vin maye najmenshu gran i najbilshu gran Vsi prapori mistyat odne i te same chislo granej Vin strogo pov yazanij Bud yaka 1 sekciya ye vidrizkom n mnogogrannik ye mnogogrannikom rangu n Primitki U razi porozhnogo mnogogrannika najmensha i najbilsha grani ye odnim i tim samim yedinim elementom Aksioma 2 ekvivalentna tverdzhennyu sho poset ye Yaksho vikonuyutsya inshi aksiomi aksioma 3 ekvivalentna strogij zv yaznosti praporiv sho neformalno oznachaye Dlya bud yakoyi sekciyi mnogogrannika vklyuchno z samim mnogogrannikom bud yakij prapor mozhna zminiti v bud yakij inshij zminyuyuchi lishe odnu gran za krok Aksioma 4 vidoma yak vlastivist diamantu oskilki na diagrami Gasse vidrizok podayetsya chotirikutnikom diamantom Z aksiom mozhna pokazati sho bud yaka sekciya ye mnogogrannikom i sho Rank G F Rank G Rank F 1 Najprostishi mnogogrannikiRang lt 2 Ye lishe po odnomu mnogogranniku z rangami 1 0 i 1 i ce vidpovidno porozhnij mnogogrannik tochka i vidrizok Dlya n 1 vsi n sekciyi mnogogrannika ye unikalnimi n mnogogrannikami Odnak grani rangu 0 i 1 mnogogrannika nazivayut vershinami i rebrami vidpovidno Rang 2 Dlya bud yakogo p 3 p lt displaystyle infty ye abstraktnij ekvivalent tradicijnogo mnogokutnika z p vershinami i p rebrami p kutnik Dlya p 3 4 5 mi otrimuyemo trikutnik kvadrat p yatikutnik Dlya p 2 mi otrimayemo dvokutnik a dlya p displaystyle infty apejrogon Digon Graf livoruch i diagrama Gasse digona Digon ce mnogogrannik z dvoma rebrami sho j vidpovidaye nazvi Na vidminu vid inshih mnogokutnikiv obidva rebra mayut dvi spilni vershini Z ciyeyi prichini vin vvazhayetsya virodzhenim Dosi mi vikoristovuvali dlya viznachennya granej vershinnu notaciyu napriklad a b c ab ac bc abc dlya trikutnika abc Cej metod maye pevnu perevagu pered zadannyam vidnoshennya lt U vipadku z digonom i bagatma inshimi abstraktnimi mnogogrannikami vershinnu notaciyu vikoristovuvati ne mozhna Mi musimo dati granyam individualni nazvi i vkazati pari pidgranej F lt G zadati poryadok Tak digon slid viznachiti yak mnozhinu a b E E G z vidnoshennyam poryadku lt o lt a o lt b a lt E a lt E b lt E b lt E E lt G E lt G dd dd de E i E dva rebra a G najbilsha gran Pidsumovuyuchi mnogogrannik mozhna povnistyu opisati lishe vershinnoyu notaciyeyu yaksho kozhna gran maye unikalnij nabir vershin Mnogogrannik yakij maye taku vlastivist nazivayut en Prikladi vishogo poryadkuYak zaznachalosya vishe ponyattya abstraktnogo mnogogrannika duzhe zagalne i vklyuchaye en tobto neskinchenni mnogogranniki abo zamoshennya Rozkladannya inshih mnogovidiv takih yak tor abo dijsna proyektivna ploshina Bagato inshih ob yektiv takih yak odinadcyatikomirnik i en yaki ne pomishayutsya zvichnim chinom u normalni geometrichni prostori V zagalnomu vipadku mnozhina j granej 1 j n tradicijnogo n mnogogrannika utvoryuye abstraktnij n mnogogrannik Osoedri Dokladnishe Osoedr Shestikutnij osoedr realizovanij yak sferichnij mnogogrannik Digon uzagalnyuyetsya osoedrami yaki mozhna realizuvati yak sferichni mnogogranniki zamoshennya sferi Proyektivni mnogogranniki en vihodit z kuba ototozhnennyam protilezhnih vershin reber i granej Vin maye 4 vershini 6 reber i 3 grani Chotirma prikladami netradicijnih abstraktnih mnogogrannikiv ye en pokazanij na malyunku en napivdodekaedr i napivikosaedr Ci mnogogranniki ye proyektivnimi dvijnikami pravilnih mnogogrannikiv i mozhut buti realizovani yak en voni zamoshuyut dijsnu proyektivnu ploshinu Napivkub ye she odnim prikladom koli vershinna notaciya nezastosovna vsi 2 grani i 3 grani mayut odin i toj samij nabir vershin DvoyististBud yakij mnogogrannik maye dvoyistij tobto mnogogrannik u yakomu chastkovij poryadok obernenij diagrama Gasse dvoyistogo mnogogrannika ye takoyu zh yak i v originalnogo ale perevernuta dogori nogami Kozhna pochatkova k gran n mnogogrannika perehodit u n k 1 gran dvoyistogo Tak napriklad n gran perehodit v 1 gran Dvoyistij mnogogrannik dvoyistomu totozhnij izomorfnij pochatkovomu Mnogogrannik ye samodvoyistim yaksho vin zbigayetsya zi svoyim dvoyistim mnogogrannikom tobto izomorfnij dvoyistomu Takim chinom diagrama Gasse samodvoyistogo mnogogrannika maye buti simetrichnoyu vidnosno gorizontalnoyi osi Kvadratna piramida v prikladi vishe ye samodvoyistim mnogogrannikom Vershinna figura u vershini V ye dvoyistoyu vidpovidnij grani dvoyistogo mnogogrannika Abstraktni pravilni mnogogrannikiFormalno abstraktnij mnogogrannik viznachayetsya yak pravilnij yaksho jogo grupa avtomorfizmiv diye tranzitivno na mnozhinu jogo praporiv Zokrema bud yaki dvi k grani F i G n mnogogrannika ye odnakovimi tobto ye avtomorfizm yakij perevodit F u G Koli abstraktnij mnogogrannik ye pravilnim jogo grupa avtomorfizmiv izomorfna faktorgrupi grupi Koksetera Vsi mnogogranniki rangu 2 pravilni Najvidomishi pravilni mnogogranniki p yat platonovih til Napivkub pokazano na malyunku ye pravilnim Neformalno ce oznachaye sho dlya kozhnogo rangu k nemaye sposobu vidrizniti yaku nebud k gran vid bud yakoyi inshoyi grani mayut buti odnakovimi i mati odnakovih susidiv i tak dali Napriklad kub ye pravilnim oskilki vsi jogo grani ye kvadratami kozhna vershina kvadrata nalezhit trom kvadratam i kozhen kvadrat otochenij odnakovo inshimi granyami rebrami i vershinami i tak dali Ce umova bez zhodnih dopovnen ye dostatnya dlya togo shob abstraktnij mnogogrannik mav izomorfni pravilni n 1 grani ta izomorfni pravilni vershinni figuri Cya umova slabsha nizh pravilnist dlya tradicijnih mnogogrannikiv oskilki vona stosuyetsya kombinatornoyi grupi avtomorfizmiv a ne geometrichnoyi grupi simetriyi Napriklad bud yakij abstraktnij mnogokutnik ye pravilnim oskilki kuti dovzhini reber krivina reber perekis tosho ne isnuyut dlya abstraktnih mnogogrannikiv Isnuyut deyaki inshi oslablyuvalni ponyattya deyaki ne cilkom standartizovani taki yak napivpravilnij odnoridnij mnogogranniki i arhimedovi tila zastosovni do mnogogrannikiv u yakih deyaki ale ne vsi grani ekvivalentni dlya kozhnogo rangu Priklad nepravilnogo mnogogrannika Nepravilnij mnogogrannik yakij vzagali ne maye avtomorfizmiv Yaksho vzyati do uvagi skilki miscya pridileno pravilnim mnogogrannikam mozhe zdatisya sho vsi mnogogranniki pravilni Naspravdi pravilni mnogogranniki ye duzhe chastkovimi vipadkami Najprostishim nepravilnim mnogogrannikom ye kvadratna piramida hocha vona maye bagato simetrij Na malyunku navedeno priklad mnogogrannika bez netrivialnoyi simetriyi zhodna para vershin reber abo 2 granej ne ye timi samimi yak viznacheno vishe Mozhlivo ce najprostishij z takih mnogogrannikiv RealizaciyiBud yakij tradicijnij mnogogrannik ye prikladom realizaciyi abstraktnogo mnogogrannika sho lezhit u jogo osnovi Ce zh stosuyetsya zamoshen ploshini abo inshih kuskovo linijnih mnogovidiv u rozmirnostyah dva i vishe Do ostannih nalezhat napriklad proyektivni mnogogranniki Yih mozhna otrimati z mnogogrannikiv za dopomogoyu centralnoyi simetriyi ototozhnennyam protilezhnih vershin reber granej i t d U trivimirnomu prostori ce daye en i napivdodekaedr i yih dvoyisti en i napivikosaedr Bilsh zagalno realizaciya pravilnogo abstraktnogo mnogogrannika ce nabir tochok u prostori vidpovidnih vershin mnogogrannika razom zi strukturoyu granej porodzhenoyu na nih abstraktnim mnogogrannikom i cya struktura shonajmenshe maye ti zh simetriyi sho i vihidnij abstraktnij mnogogrannik Tobto vsi kombinatorni avtomorfizmi abstraktnih mnogogrannikiv realizuyutsya geometrichnimi simetriyami Napriklad nabir tochok 0 0 0 1 1 0 1 1 ye realizaciyeyu abstraktnogo 4 kutnika kvadrata Odnak ce ne yedina realizaciya mozhna vibrati zamist cogo vershini pravilnogo tetraedra Dlya bud yakoyi simetriyi kvadrata isnuye vidpovidna simetriya pravilnogo tetraedra odnak pravilnij tetraedr maye bilshe simetrij nizh abstraktnij 4 kutnik Faktichno bud yakij abstraktnij mnogogrannik z v vershinami maye prinajmni odnu realizaciyu yak vershini v 1 vimirnogo simpleksa Chasto cikavo znajti realizaciyu v najmenshij rozmirnosti Yaksho abstraktnij n mnogogrannik mozhna realizuvati v n vimirnomu prostori tak sho geometrichne roztashuvannya ne porushuye yakih nebud pravil dlya tradicijnih mnogogrannikiv takih yak krivolinijni grani abo grebeni nulovogo rozmiru pro taku realizaciyu kazhut yak pro pravilnu V zagalnomu vipadku tilki obmezhenu mnozhinu abstraktnih mnogogrannikiv rangu n mozhna realizuvati pravilno dlya bud yakogo n prostoru Zadacha ob yednannya i universalni mnogogrannikiBazova teoriya kombinatornih struktur yaki teper vidomi yak abstraktni mnogogranniki spochatku zvani incidence polytopes incidencialni mnogogranniki opisana v doktorskij disertaciyi Egona Shulte hocha vona gruntuyetsya na ranishih robotah Branko Gryunbauma Garolda Koksetera i Vidtodi doslidzhennya v teoriyi abstraktnih mnogogrannikiv fokusuvalisya perevazhno na pravilnih mnogogrannikah tobto mnogogrannikah grupi avtomorfizmiv yakih diyut tranzitivno na mnozhini praporiv mnogogrannika Vazhlivim pitannyam u teoriyi abstraktnih mnogogrannikiv ye zadacha zmishuvannya Zadacha skladayetsya iz seriyi pitan takih yak Dlya zadanih abstraktnih mnogogrannikiv K i L chi isnuye yakij nebud mnogogrannik P gipergranyami yakogo ye mnogogrannik K a vershinnimi figurami mnogogrannik L Yaksho tak chi ye voni vsi skinchennimi Yaki skinchenni mnogogranniki takogo tipu isnuyut Napriklad yaksho K kvadrat a L trikutnik vidpovidi na ci pitannya taki Tak isnuyut mnogogranniki P z kvadratnimi granyami z yednanimi po tri v odnij vershini tobto mnogogranniki tipu 4 3 Tak vsi voni skinchenni Isnuye kub iz shistma kvadratnimi granyami dvanadcyatma rebrami i vismoma vershinami i en iz troma granyami shistma rebrami i chotirma vershinami Vidomo sho yaksho vidpovid na pershe pitannya pozitivna Tak dlya deyakih pravilnih K i L isnuye yedinij mnogogrannik gipergranyami yakogo ye K a vershinnimi figurami yakogo ye L Cej mnogogrannik nazivayetsya universalnim mnogogrannikom z cimi gipergranyami i vershinnimi figurami yakij pokrivaye vsi mnogogranniki cogo tipu Tobto pripustimo sho P ye universalnim mnogogrannikom z gipergranyami K i vershinnimi figurami L Todi bud yakij inshij mnogogrannik Q z cimi granyami i vershinnimi figurami mozhna zapisati Q P N de N pidgrupa grupi avtomorfizmiv P P N ye naborom orbit elementiv P pri diyah N z chastkovim poryadkom porodzhenim grupoyu P Q P N nazivayetsya chastkoyu vid P i kazhut sho P pokrivaye Q Yaksho vrahovuvati cej fakt poshuk mnogogrannikiv z vibranimi gipergranyami i vershinnimi figurami zazvichaj vidbuvayetsya za nastupnim scenariyem Namagayemosya znajti universalnij mnogogrannik Namagayemosya klasifikuvati chastki Ci dvi zadachi v zagalnomu vipadku duzhe skladni Povertayuchis do prikladu vishe yaksho K ye kvadratom a L trikutnikom universalnim mnogogrannikom K L bude kub yakij zapisuyetsya yak 4 3 Napivkub ye vidnoshennyam 4 3 N de N grupa simetrij avtomorfizmiv z dvoma elementami totozhnoyu simetriyeyu i simetriyeyu sho vidobrazhaye kozhen kut rebro abo gran u protilezhnij element Yaksho L ye takozh kvadratom universalnim mnogogrannikom K L tobto 4 4 ye zamoshennya evklidovogo prostoru kvadratami Ce zamoshennya maye neskinchenne chislo chastok iz kvadratnimi granyami po chotiri na vershinu deyaki z yakih pravilni a deyaki ni Za vinyatkom samogo universalnogo mnogogrannika vsi chastki vidpovidayut riznim sposobam zamoshennya kvadratami poverhni tora abo neskinchenno dovgogo cilindra Odinadcyatikomirnik i p yatdesyatisemikomirnik Dokladnishe 11 komirnik Odinadcyatikomirnik nezalezhno vidkritij Kokseterom i Gryunbaumom ye abstraktnim 4 vimirnim mnogogrannikom Jogo granyami ye napivikosaedri Oskilki gipergrani ye topologichno proyektivnimi ploshinami a ne sferami odinadcyatikomirnik ne ye zamoshennyam yakogos mnogovidu v zvichnomu sensi Zamist cogo odinadcyatikomirnik ye lokalno proyektivnim mnogogrannikom Odinadcyatikomirnik ne tilki chudovij matematichno vin vazhlivij yak istorichno pershij vidkritij netradicijnij abstraktnij mnogogrannik Mnogogrannik samodvoyistij i universalnij ce yedinij mnogogrannik z napivikosaedrichnimi gipergranyami i napivdodekaedrichnimi verteksnimi figurami en takozh samodvoyistij vin maye napivdodekaedrichni gipergrani Mnogogrannik znajshov Garold Kokseter nevdovzi pislya vidkrittya odinadcyatikomirnika Podibno do odinadcyatikomirnika vin universalnij yedinij mnogogrannik iz napivdodekaedrichnimi gipergranyami i napivikosaedrichnimi vershinnimi figurami Z inshogo boku isnuye bagato inshih mnogogrannikiv z napivdodekaedrichnimi gipergranyami i simvolom Shlefli 5 3 5 Universalnij mnogogrannik z napivdodekaedrichnimi gipergranyami j ikosaedrichnimi NE napivikosaedrichnimi vershinnimi figurami skinchennij ale duzhe velikij vin maye 10 006 920 gipergranej i vdvichi menshe vershin Lokalna topologiya Zavdannya zlittya istorichno stosuvalasya lokalnoyi topologiyi Tobto zamist obmezhennya K i L konkretnimi mnogogrannikami dozvolyayutsya bud yaki mnogogranniki iz zadanoyu topologiyeyu tobto bud yake zamoshennya mnogogrannikami zadanogo mnogovida Yaksho K i L ye sferichnimi tobto zamoshennyami topologichnoyi sferi to P nazivayetsya lokalno sferichnim i vidpovidaye zamoshennyu deyakogo mnogovida Napriklad yaksho K i L ye obidva kvadratami a tomu topologichno kolami P bude zamoshennyam ploshini tora abo plyashki Klejna kvadratami Zamoshennya n vimirnogo mnogovida faktichno ye mnogogrannikom rangu n 1 I ce uzgodzhuyetsya z intuyitivnim uyavlennyam sho platonovi tila trivimirni navit yaksho yih mozhna rozglyadati yak zamoshennya poverhni dvovimirnoyi poverhni kuli U zagalnomu vipadku abstraktnij mnogogrannik nazivayetsya lokalno X yaksho jogo gipergrani i vershinni figuri topologichno abo sferi abo X ale ne sferi odnochasno Odinadcyatikomirnik i ye prikladami lokalno proyektivnih mnogogrannikiv rangu 4 tobto chotirivimirnih oskilki yihni gipergrani i vershinni figuri ye zamoshennyami dijsnih proyektivnih ploshin Tut odnak isnuye slabkist terminologiyi Viznachennya ne daye prostih shlyahiv opisu mnogogrannikiv gipergranyami yakogo ye tori a vershinnimi figurami proyektivni ploshini napriklad She girshe koli rizni gipergrani mayut riznu topologiyu chi ne mayut viznachenoyi topologiyi vzagali Odnak znachnij krok zrobleno shodo povnoyi klasifikaciyi n lokalno toroyidalnih pravilnih mnogogrannikiv Vidobrazhennya obminuNehaj PS prapor abstraktnogo n mnogogrannika i nehaj 1 lt i lt n Z viznachennya abstraktnogo mnogogrannika mozhna dovesti sho ye yedinij prapor vidminnij vid PS tilki odnim elementom rangu i i odnakovij v inshomu Yaksho mi poznachimo takij prapor cherez PS i to ce zadaye nabir vidobrazhen praporiv mnogogrannika skazhimo fi Ci vidobrazhennya nazivayutsya vidobrazhennyami obminu oskilki voni minyayut miscyami pari praporiv PSfi fi PS Deyaki inshi vlastivosti vidobrazhen obminu fi2 totozhne vidobrazhennya fi utvoryuyut grupu yaksho i j gt 1 f ifj f jfi Yaksho a avtomorfizm mnogogrannika to afi fia Yaksho mnogogrannik pravilnij to grupa sho generuyetsya fi izomorfna grupi avtomorfizmiv v inshomu vipadku vona strogo bilsha Vidobrazhennya obminu mozhut buti vikoristani dlya dovedennya sho bud yakij abstraktnij mnogogrannik ye pohidnim vid deyakogo pravilnogo mnogogrannika Matrici incidencijDiv takozh Matricya incidentnosti Mnogogrannik mozhna podati u viglyadi tablici incidencij Nizhche navedeno matricyu incidencij dlya trikutnika o a b c ab bc ca abco a b c ab bc ca abc Tochka v tablici pokazuye sho odna gran ye pidgrannyu inshoyi grani abo navpaki tak sho tablicya simetrichna vidnosno diagonali Takim chinom tablicya mistit nadlishkovu informaciyu dosit bulo b pokazuvati tochku koli nomer grani ryadka nomera grani stovpcya verhnyu trikutnu matricyu Oskilki same tilo i porozhnya mnozhina incidentni vsim inshim elementam pershij ryadok i pershij stovpec a takozh ostannij ryadok i ostannij stovpec trivialni i yih mozhna opustiti Podalshu informaciyu mozhna otrimati pidrahunkom incidencij Take chiselne podannya dozvolyaye grupuvannya za simetriyeyu yak u diagrami Gasse kvadratnoyi piramidi yaksho vershini B C D i E ekvivalentni za simetriyeyu v abstraktnomu mnogogranniku to rebra f g h i j grupuyutsya razom i te same dlya reber k l m i n Vreshti resht grupuyutsya i trikutniki P Q R i S Vidpovidna matricya incidencij abstraktnogo mnogogrannika mozhe viglyadati tak A B C D E f g h j k l m n P Q R S TA 1 4 0 4 0B C D E 4 1 2 2 1f g h j 1 1 4 2 0k l m n 0 2 4 1 1P Q R S 1 2 2 1 4 T 0 4 0 4 1 U cij matrici incidencij diagonalni elementi dayut zagalne chislo elementiv kozhnogo tipu Yasno sho elementi riznih tipiv odnogo rangu nikoli ne mozhut buti incidentnimi tak sho znachennya zavzhdi dorivnyuye 0 ale shob dopomogti rozpiznati ce vidnoshennya v tablici vikoristovuyetsya zirochka zamist nulya Piddiagonalni elementi tablici dlya kozhnogo ryadka predstavlyayut chislo incidencij vidpovidnih pidelementiv todi yak naddiagonalni elementi predstavlyayut chislo incidencij elementa vershinam rebram ta inshim figuram Vzhe cej priklad kvadratnoyi piramidi pokazuye sho taka matricya incidencij ne simetrichna Odnak zalishayutsya prosti zv yazki elementiv tablici oskilki dlya takih matric incidencij I Iij displaystyle I I ij vikonuyetsya Iii Iij Iji Ijj i lt j displaystyle I ii cdot I ij I ji cdot I jj i lt j IstoriyaRanni prikladi abstraktnih mnogogrannikiv viyavili Kokseter i tri neskinchenni strukturi 4 6 6 4 i 6 6 yaki voni nazvali en 1960 roku Branko Gryunbaum zaproponuvav geometrichnij spilnoti obgovoriti uzagalnennya ponyattya pravilnih mnogogrannikiv yaki vin nazvav polystromata poly stromata Vin rozrobiv teoriyu pokazavshi prikladi novih ob yektiv vklyuchno z odinadcyatikomirnikom Odinadcyatikomirnik ye samodvoyistim chotirivimirnim mnogogrannikom grani yakogo ne ikosaedri a napivikosaedri tobto figuri yaki vihodyat yaksho protilezhni storoni ikosaedra vvazhati odniyeyu tiyeyu zh grannyu Grunbaum 1977 Cherez kilka rokiv pislya vidkrittya Gryunbaumom odinadcyatikomirnika Kokseter viyaviv shozhij mnogogrannik en Coxeter 1982 1984 a potim nezalezhno perevidkriv odinadcyatikomirnik Egon Shulte Egon Schulte viznachiv pravilni kompleksi incidencij i pravilni incidencijni mnogogranniki v svij disertaciyi v 1980 h u yakij bulo vpershe navedeno suchasne viznachennya Zgodom vin i en rozrobili bazovu teoriyu v seriyi statej piznishe zibranih u knigu Chislenni doslidniki zrobili vidtodi svij vnesok a pioneri doslidzhen zokrema Gryunbaum prijnyali viznachennya Shulte yak pravilne Div takozh11 komirnik i en dva abstraktnih pravilnih 4 vimirnih mnogogranniki Pravilnij mnogogrannikPrimitkiposet partially ordered set chastkovo vporyadkovana mnozhina McMullen Schulte 2002 s 31 V anglijskij movi ye dva termini yaki mozhna pereklasti yak napivkub hemicube i demicube U statti jdetsya pro hemicube Grebin ce gran rozmirnosti n 2 Dlya trivimirnih mnogogrannikiv grebin zbigayetsya z rebrom McMullen Schulte 2002 Hartley Hulpke 2010 s 107 polystromata poly stromata stromata mnozh vid stroma osnova kistyakLiteraturaPeter McMullen Egon Schulte Abstract Regular Polytopes 1st Cambridge University Press 2002 ISBN 0 521 81496 0 Jaron s World Shapes in Other Dimensions 5 lipnya 2017 u Wayback Machine Apr 2007 Dr Richard Klitzing Incidence Matrices 8 serpnya 2011 u Wayback Machine E Schulte Handbook of discrete and computational geometry en O Rourke J 2nd Chapman amp Hall 2004 MIichael I Hartley Alexander Hulpke Polytopes derived from sporadic simple groups Contributions to Discrete Mathematics 2010 T 5 vip 2 16 chervnya S 106 118 ISSN 715 0868