Пляшка Кляйна

Пляшка Кляйна — замкнена одностороння поверхня, що не має країв. Вперше описана у 1882 році німецьким математиком Ф. Кляйном.

Ілюстрація пляшки Кляйна у тривимірному просторі.

Пляшка Кляйна може бути розрізана на дві стрічки Мебіуса

Походження назви

Назва, мабуть, походить від неправильного перекладу німецького слова «поверхня Кляйна» (нім. die Kleinsche Fläche), де вираз die Fläche (поверхня) в німецькій мові близький за написанням до слова die Flasche (пляшка). Однак, нова назва стала популярною у світі і непогано відповідає формі поверхні, також стала звичною і в Німеччині.

Топологія «пляшки»

Уявлення про пляшку Кляйна можна отримати, якщо звичайну пляшку, у дні якої зроблено отвір, доповнити з'єднувальною трубкою, одним кінцем надітою на цей виступ, а другим — на шийку пляшки (див. малюнок.). Пляшка Кляйна в тривимірному просторі завжди має лінію самоперетину.

Її можна утворити також з двох стрічок Мебіуса, склеївши їх по граничних лініях.

Пляшка Кляйна визначається просто як прямокутник, у якому об'єднано (склеєно) парами відповідні точки протилежних сторін, причому одна пара була обернена на 180°. На ілюстрації краї позначені кольорами, а напрям орієнтації стрілками.

Пляшка Кляйна не може бути реалізованою в тривимірному просторі, оскільки це призводить до появи самоперетинів поверхні. Без перетинів пляшка може бути реалізованою в чотиривимірному просторі.

Властивості поверхонь типу «пляшка Кляйна» вивчаються в топології.

Параметризація

Реалізація пляшки Кляйна у вигляді «вісімки».

Пляшка Кляйна у вигляді вісімки має досить просту параметризацію:

${\displaystyle x=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\cos u}$

${\displaystyle y=\left(r+\cos {\frac {u}{2}}\sin v-\sin {\frac {u}{2}}\sin 2v\right)\sin u}$

${\displaystyle z=\sin {\frac {u}{2}}\sin v+\cos {\frac {u}{2}}\sin 2v}$

У цьому вигляді самоперетин має форму геометричного кола в площині XY. Константа ${\displaystyle r}$ дорівнює радіусу кола. Параметр ${\displaystyle u}$ задає кут на площині XY і ${\displaystyle v}$ означає положення біля 8-подібного перерізу. З урахуванням наведеної вище параметризації перетин є фігурою Ліссажу зі співвідношенням амплітуд 2:1

Див. також

• Топологія
• Поверхня
• Стрічка Мебіуса
• Алгебраїчна топологія

Примітки

1. Bonahon, Francis (5 серпня 2009). Low-dimensional geometry: from Euclidean surfaces to hyperbolic knots. AMS Bookstore. ISBN .

Посилання

• Оптичні ілюзії. Пляшка Кляйна. [ 1 червня 2009 у Wayback Machine.]
• Анімаційний фільм про пляшку Клейна, створений у 2010 р. при Вільному Університеті м. Берлін (Freie Universität Berlin). [ 28 березня 2016 у Wayback Machine.]