Інтеграл Лебега-Стілтьєса

У математичному аналізі інтеграл Лебега — Стілтьєса узагальнює поняття інтеграла Рімана — Стілтьєса і інтеграла Лебега на дійсній прямій. Він є звичайним інтегралом Лебега щодо так званої міри Лебега — Стілтьєса, асоційованої із якоюсь функцією обмеженої варіації на дійсній прямій. Міра Лебега — Стілтьєса є (регулярною) мірою Бореля і кожна регулярна міра Бореля, що є обмеженою для обмежених множин на дійсній прямій є мірою Лебега — Стілтьєса для деякої неспадної функції.

Іноді також використовуються терміни інтеграл Лебега — Радона або просто інтеграл Радона. Названий на честь (Анрі Лебега), Томаса Стілтьєса і Йогана Радона. Інтеграл Лебега — Стілтьєса широко застосовується у теорії ймовірностей, зокрема теорії стохастичних процесів і в деяких розділах математичного аналізу, наприклад теорії потенціалу.

Означення

Міра Лебега — Стілтьєса

Нехай g є монотонно неспадною і неперервною справа функцією на інтервалі [a, b]. Множина інтервалів (s, t], де a ≤ s < t ≤ b разом із одноточковою множиною {a} і порожньою множиною утворює (напівкільце множин). Нехай за означенням w((s, t]) = g(t) − g(s) і w({a}) = 0. Подібно можна розглядати випадок коли g є неперервною зліва, w([s,t)) = g(t) − g(s) і w({b}) = 0.

Функція w є (σ-адитивною) мірою на цьому напівкільці. Справді функція є невід'ємною і адитивною. Нехай ${\displaystyle (s_{n},\ t_{n}],\quad n\geqslant 1}$ є послідовністю інтервалів перетин кожної пари яких є порожньою множиною і ${\displaystyle \bigsqcup _{n=1}^{\infty }(s_{n},t_{n}]=(s,t].}$ Із означення напівкільця для кожного ${\displaystyle N\geqslant 1}$ для різниці множин виконується рівність ${\displaystyle (s,t]\setminus \bigsqcup _{n=1}^{N}(s_{n},t_{n}]=\bigsqcup _{n=1}^{m}S_{n},}$ де всі ${\displaystyle S_{n}}$ теж є напіввідкритими інтервалами із [a, b]. Із адитивності w тоді: ${\displaystyle w((s,t])=\sum _{n=1}^{N}w((s_{n},t_{n}])+\sum _{n=1}^{m}w(S_{n})\geqslant \sum _{n=1}^{N}w((s_{n},t_{n}]).}$ Після граничного переходу також ${\displaystyle w((s,t])\geqslant \sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},t_{n}]).}$

Навпаки із неперервності справа функції g випливає, що для довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існує таке ${\displaystyle s'\in (s,\ t),}$ що ${\displaystyle g(s')-g(s)<\varepsilon }$ і тому ${\displaystyle w((s,\ t])-w((s',\ t])=g(s')-g(s)<\varepsilon .}$

Якщо ${\displaystyle t_{n}=b}$ для деякого ${\displaystyle n\geqslant 1}$ то позначимо ${\displaystyle t'_{n}=b}$ для кожного ${\displaystyle n\geqslant 1}$, для інших інтервалів із неперервності справа функції g як і вище випливає для кожного ${\displaystyle n\geqslant 1}$ існування такого ${\displaystyle t'_{n}\in (t_{n},\ b)}$, що ${\displaystyle g(t')-g(t)<{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}}$ і тому також ${\displaystyle w((s_{n},\ t'_{n}])-w((s_{n},\ t_{n}])=g(t')-g(t)<{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}.}$

Множина ${\displaystyle [s',\ t]}$ є компактною підмножиною ${\displaystyle (s,\ t]}$, відповідно вона покривається множинами виду ${\displaystyle (s_{n},\ t'_{n})}$ (і додатково можливо деякою множиною ${\displaystyle (s_{i},\ b]}$ якщо ${\displaystyle t'_{i}=b}$; ця множина теж є відкритою у топології на [a, b]), а тому і скінченною кількістю таких множин. Звідси зокрема для деякого ${\displaystyle N\geqslant 1}$:

${\displaystyle w((s',\ t])\leqslant \sum _{n=1}^{N}w((s_{n},\ t'_{n}])\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},\ t'_{n}]).}$

Із попередніх нерівностей також ${\displaystyle w((s,\ t])<w((s',\ t])+\varepsilon }$ і ${\displaystyle w((s_{n},\ t'_{n}])<w((s_{n},\ t_{n}])+{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}}$ тому

${\displaystyle w((s,\ t])<w((s',\ t])+\varepsilon <\sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},\ t_{n}])+{\frac {\varepsilon }{2^{n}}}+\varepsilon <\sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},\ t_{n}])+2\varepsilon .}$

Оскільки ${\displaystyle \varepsilon >0}$ є довільним, то ${\displaystyle w((s,\ t])\leqslant \sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},\ t_{n}])}$ і враховуючи доведену вище протилежну нерівність остаточно ${\displaystyle w((s,\ t])=\sum _{n=1}^{\infty }w((s_{n},\ t_{n}]).}$

Оскільки w є (σ-адитивною) мірою на цьому напівкільці то згідно (теореми Каратеодорі про продовження), існує єдина міра μ_g на борелівських підмножинах інтервалу [a, b], яка узгоджується із w на кожному інтервалі I. Міра μ_g одержується із зовнішньої міри заданої як

${\displaystyle \mu _{g}(E)=\inf \left\{\sum _{i}\mu _{g}(I_{i})\ :\ E\subset \bigcup _{i}I_{i}\right\}}$

де інфімум береться по всіх покриттях множини E зліченною кількістю напіввідкритих інтервалів. Обмеження цієї зовнішньої міри на σ-алгебру вимірних множин, яка включає борелівську σ-алгебру є (локально скінченною) і σ-скінченною мірою. Ця міра називається мірою Лебега — Стілтьєса для функції g.

Інтеграл Лебега — Стілтьєса

Нехай спершу  ${\displaystyle f:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }$  є вимірною за Борелем і обмеженою, а  ${\displaystyle g:\left[a,b\right]\rightarrow \mathbb {R} }$  є монотонною і неперервною справа. Якщо g є неспадною то Інтеграл Лебега — Стілтьєса

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

за означенням є інтегралом Лебега функції  f  щодо визначеної вище міри Лебега — Стілтьєса μ_g.

Якщо g є незростаючою, тоді за означенням

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x):=-\int _{a}^{b}f(x)\,d(-g)(x),}$

де останній інтеграл визначений як вище.

Якщо функція g має обмежену варіацію і  f  є обмеженою, тоді можна записати

${\displaystyle dg(x)=dg_{1}(x)-dg_{2}(x)}$

де g₁(x) = V ^x
_ag є повною варіацією функції g на інтервалі [a, x], а g₂(x) = g₁(x) − g(x). Функції g₁ і g₂ є монотонно неспадними. У цьому випадку інтеграл Лебега — Стілтьєса щодо g за означенням є рівним:

${\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{1}(x)-\int _{a}^{b}f(x)\,dg_{2}(x),}$

де останні два інтеграли визначені, як і вище.

Інтеграл Деніела

Альтернативно (Hewitt та Stromberg, 1965) інтеграл Лебега — Стілтьєса можна розглядати як (інтеграл Даніела), що розширює звичайний інтеграл Рімана — Стілтьєса. Нехай g є неспадною неперервною справа функцією на [a, b], і I( f ) позначає інтеграл Рімана — Стілтьєса:

${\displaystyle I(f)=\int _{a}^{b}f(x)\,dg(x)}$

для всіх неперервних функцій  f . функціонал I задає (міру Радона) на [a, b]. Цей функціонал можна продовжити на клас всіх невід'ємних функцій за правилом:

${\displaystyle {\begin{aligned}{\overline {I}}(h)&=\sup \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],0\leq f\leq h\right\}\\{\overline {\overline {I}}}(h)&=\inf \left\{I(f)\ :\ f\in C[a,b],h\leq f\right\}.\end{aligned}}}$

Для вимірних за Борелем функцій:

${\displaystyle {\overline {I}}(h)={\overline {\overline {I}}}(h),}$

і будь який із цих функціоналів тоді визначає інтеграл Лебега — Стілтьєса функції h. Зовнішня міра μ_g тоді визначається як

${\displaystyle \mu _{g}(A)={\overline {\overline {I}}}(\chi _{A})}$

де χ_A є характеристичною функцією множини A.

Випадок функцій обмеженої варіації можна, як вище звести до попереднього за допомогою розкладу на додатну і від'ємну варіації.

Приклад

Нехай  γ : [a, b] → R² є спрямлюваною кривою на площині і  ρ : R² → [0, ∞) є вимірною за Борелем. Тоді можна розглянути довжину γ щодо евклідової метрики зваженої на ρ:

${\displaystyle \int _{a}^{b}\rho (\gamma (t))\,d\ell (t),}$

де ${\displaystyle \ell (t)}$ є довжиною кривої γ обмеженої на [a, t]. Іноді це поняття називається ρ-довжиною кривої γ. Дане поняття має багато застосовань: наприклад на глинистих поверхнях швидкість із якою рухається особа залежить від глибини глинистої поверхні. Якщо  ρ(z) позначає обернене до швидкості у точці z, тоді ρ-довжина γ є часом необхідним щоб пройти γ. Також ρ-довжина використовується для поняття екстремальної довжини, що застосовується у теорії конформних відображень.

Інтегрування частинами

Функція  f  називається "регулярною" у точці a якщо у цій точці існують границі справа і зліва f (a+) і f (a−) і також:

${\displaystyle f(a)={\frac {f(a-)+f(a+)}{2}}.}$

Для двох функцій U і V, що мають обмежену варіацію, якщо у кожній точці або хоча б одна з функцій U і V є неперервною або U і V обидві є регулярними, тоді справедливою є формула інтегрування частинами для інтеграла Лебега — Стілтьєса:

${\displaystyle \int _{a}^{b}U\,dV+\int _{a}^{b}V\,dU=U(b+)V(b+)-U(a-)V(a-),\qquad -\infty <<b<\infty .}$

Тут міра Лебега — Стілтьєса є асоційованою із неперервними справа версіями функцій U і V; тобто із функціями ${\textstyle {\tilde {U}}(x)=\lim _{t\to x^{+}}U(t)}$ і аналогічно для ${\displaystyle {\tilde {V}}(x).}$ Обмежений інтервал (a, b) можна замінити необмеженими інтервалами (-∞, b), (a, ∞) або (-∞, ∞) якщо U і V мають обмежену варіацію на відповідному інтервалі. Також можна розглядати комплекснозначні функції.

Згідно альтернативного результату, що має важливе значення у теорії стохастичного інтегріування для двох функцій U і V із обмеженою варіацією, які є неперервними справа і мають ліві границі (тобто є càdlàg-функціями):

${\displaystyle U(t)V(t)=U(0)V(0)+\int _{(0,t]}U(s-)\,dV(s)+\int _{(0,t]}V(s-)\,dU(s)+\sum _{u\in (0,t]}\Delta U_{u}\Delta V_{u},}$

де ΔU_t = U(t) − U(t−).

Пов'язані поняття

Інтеграл Лебега

Якщо g(x) = x для всіх дійсних x, тоді μ_g є мірою Лебега і інтеграл Лебега — Стілтьєса  f  щодо g є еквівалентним інтегралу Лебега  f .

Іінтеграл Рімана — Стілтьєса і теорія ймовірностей

Якщо  f  є неперервною дійснозначною функцією дійсної змінної і v є неспадною дійсною функцією, інтеграл Лебега — Стілтьєса є еквівалентним інтегралу Стілтьєса.

Інтеграл Стілтьєса найчастіше використовується у теорії ймовірностей де v є функцією розподілу ймовірностей випадкової змінної X. Тоді зокрема:

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }f(x)\,dv(x)=\mathrm {E} [f(X)].}$

Багатовимірний інтеграл Лебега — Стілтьєса

Найчастіше на практиці розглядають одновимірний випадок але можна також дати означення і для вимірних випадків.

Нехай функція g (x, y) від двох змінних задовольняє властивості:

• Якщо ${\displaystyle x_{1}\leqslant y_{1}}$ і ${\displaystyle x_{2}\leqslant y_{2}}$ тоді ${\displaystyle g(y_{1},y_{2})-g(x_{1},y_{2})-g(y_{1},x_{2})+g(x_{1},x_{2})\geqslant 0.}$
• g (x, y) є неперервною справа по кожній окремій змінній.

Тоді для напіввідкритих прямокутників можна визначити:

${\displaystyle \mu _{g}((x_{1},x_{2}]\times (y_{1},y_{2}])=g(y_{1},y_{2})-g(x_{1},y_{2})-g(y_{1},x_{2})+g(x_{1},x_{2}).}$

Напіввідкриті прямокутники ${\displaystyle (x_{1},x_{2}]\times (y_{1},y_{2}]}$ разом із порожньою множиною утворюють напівкільце множин і ${\displaystyle \mu _{g}}$ є σ—адитивною мірою на ньому. Відповідно аналогічно до одновимірного випадку згідно теореми Каратеодорі цю міру можна продовжити на σ—алгебру, що містить σ—алгебру Бореля. Інтеграл Лебега по цій мірі і називається двовимірним інтегралом Лебега — Стілтьєса.

Як частковий випадок, якщо g, f є неспадними неперервними справа функціями однієї дійсної змінної, то можна взяти

${\displaystyle \mu ((x_{1},x_{2}]\times (y_{1},y_{2}])=(g(y_{2})-g(y_{1}))\cdot (f(x_{2})-f(x_{1})).}$

Цей випадок також дає зрозуміти першу умову на функції для двовимірного випадку.

Для вищих розмірностей розглядаються напіввідкриті паралелепіпеди

${\displaystyle (x'_{1},x''_{1}]\times (x'_{2},x''_{2}]\times \ldots \times (x'_{n},x''_{n}].}$

Вони із порожньою множиною теж утворюю напівкільце.

Функція ${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})}$, що визначає міру Лебега — Стілтьєса має бути неперервною справа по всіх аргументах. Додатково вона повинна задовольняти умову подібну до двовимірного випадку, яку теж найпростіше отримати із часткового випадку неспадних і неперервних справа функцій ${\displaystyle g(x_{1}),\ldots ,g(x_{n})}$ і визначення міри як

${\displaystyle \mu _{g}((x'_{1},x''_{1}]\times \ldots \times (x'_{n},x''_{n}])=(g_{1}(x''_{1})-g_{1}(x'_{1}))\cdot \ldots \cdot (g_{n}(x''_{n})-g_{n}(x'_{n})).}$

Явно умови для функції ${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ можна записати так:

• Якщо ${\displaystyle x'_{i}\leqslant x''_{i}}$ для всіх ${\displaystyle i\in \{1,\ldots ,n\}}$ то ${\displaystyle \sum _{j=1}^{2^{n}}(-1)^{\lambda (j)}g(X_{j})\geqslant 0.}$ У цій формулі ${\displaystyle X_{j}}$ позначає вершини паралелепіпеда ${\displaystyle [x'_{1},x''_{1}]\times [x'_{2},x''_{2}]\times \ldots \times [x'_{n},x''_{n}]}$ (загальна кількість яких є рівною ${\displaystyle 2^{n}}$). У загальному кожна така вершина має вигляд ${\displaystyle X_{j}=(y_{1},y_{2},\ldots ,y_{n})}$ де кожна ${\displaystyle y_{i}}$ є рівною ${\displaystyle x'_{i}}$ або ${\displaystyle x''_{i}}$. ${\displaystyle \lambda (j)}$ у формулі позначає кількість тих ${\displaystyle y_{i}}$ у такому записі точки ${\displaystyle X_{j}}$ для яких ${\displaystyle y_{i}=x'_{i},}$ тобто кількість тих координат які на відповідній вершині мають найменше значення на паралелепіпеді.
• ${\displaystyle g(x_{1},\ldots ,x_{n})}$ є неперервною справа по кожній окремій змінній.

Використовуючи позначення як і вище можна ввести міру:

${\displaystyle \mu _{g}((x'_{1},x''_{1}]\times \ldots \times (x'_{n},x''_{n}])=\sum _{j=1}^{2^{n}}(-1)^{\lambda (j)}g(X_{j}).}$

${\displaystyle \mu _{g}}$ є σ—адитивною мірою і, знову ж, згідно теореми Каратеодорі цю міру можна продовжити на σ—алгебру, що містить σ—алгебру Бореля. Інтеграл Лебега по цій мірі називається n-вимірним інтегралом Лебега — Стілтьєса.

Примітки

1. Hewitt, Edwin (May 1960). Integration by Parts for Stieltjes Integrals. The American Mathematical Monthly. 67 (5): 419—423. doi:10.2307/2309287. JSTOR 2309287.

Див. також

• (Інтеграл Даніелла)
• Інтеграл Лебега
• Інтеграл Стілтьєса

Література

• Дороговцев, А. Я. (1989), Элементы общей теории меры и интеграла, К.: Вища школа, с. 152, ISBN 
• Brunt, B. van; Carter, M. (2000). The Lebesgue-Stieltjes Integral: A Practical Introduction. Undergraduate Texts in Mathematics. Т. 91. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-1174-7. ISBN .
• Halmos, Paul R. (1974), Measure Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN 
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
• Saks, Stanislaw (1937) [[https://web.archive.org/web/20120204043115/http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=7&wyd=10 Архівовано 4 лютого 2012 у Wayback Machine.] Theory of the Integral.]
• Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. .
• S. J. Taylor (1973). Introduction to measure and integration. Cambridge University Press. ISBN .