В математиці, càdlàg (фр. continu à droite, limite à gauche, або англійською RCLL або англ. “right continuous with left limits”) функція або Неперервна справа функція з лівосторонніми границями (НСФзЛГ) — це функція визначена на дійсній осі (або її підмножині), всюди неперервна справа і має лівосторонні границі в кожній точці. Càdlàg функції є дуже важливими у вивченні стохастичних процесів з стрибками, на відміну від Вінерівського процесу який має неперервні траєкторії. Клас неперервних справа функцій з лівосторонніми границями (càdlàg функції) утворюють простір Скорохода.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODRMemd5TDBScGMyTnlaWFJsWDNCeWIySmhZbWxzYVhSNVgyUnBjM1J5YVdKMWRHbHZibDlwYkd4MWMzUnlZWFJwYjI0dWNHNW5Mekl5TUhCNExVUnBjMk55WlhSbFgzQnliMkpoWW1sc2FYUjVYMlJwYzNSeWFXSjFkR2x2Ymw5cGJHeDFjM1J5WVhScGIyNHVjRzVuLnBuZw==.png)
Означення
Нехай (M, d) — метричний простір, і E ⊆ R. Функція ƒ: E → M називається неперервною справа функцією з лівосторонніми границями (або càdlàg функцією) якщо, для всіх t ∈ E,
- лівостороння границя ƒ(t−) := lims↑t ƒ(s) існує; і
- правостороння границя ƒ(t+) := lims↓t ƒ(s) існує і дорівнює ƒ(t).
Тобто, ƒ — неперервна справа з лівосторонніми границями.
Приклади
- Всі неперервні функції є càdlàg функціями.
- Функції розподілу ймовірностей є càdlàg функціями за означенням.
- Права похідна
будь-якої опуклої функції f, що визначена на відкритому інтервалі, є зростаючою càdlàg функцією[].
Простір Скорохода
Множина усіх càdlàg функцій ƒ: E → M часто позначається як D(E; M) (або просто D) і називається Простір Скорохода на честь українського математика Анатолія Скорохода. Простору Скорохода може бути поставлена у відповідність топологія, яка дозволяє нам інтуітивно "трохи збурювати простір і час" (тоді як традиційна топологія з рівномірною збіжністю дозволяє лише "трохи збурювати простір"). Для спрощення візьмемо E = [0, T] та M = Rn — дивись у Billingsley більш загальну конструкцію.
З початку треба визначити аналог модуля неперервності, ϖ′ƒ(δ). Для будь-якого F ⊆ E визначимо
і для δ > 0 визначимо càdlàg modulus як
де береться по всім розподілам Π = {0 = t0 < t1 < … < tk = T}, k ∈ N з mini (ti − ti−1) > δ. Таке визначення дає сенс для non-càdlàg ƒ (тоді як звичайний модуль неперевності дає сенс для розривних функцій) і можна показати, що ƒ є càdlàg тоді і тільки тоді ϖ′ƒ(δ) → 0 коли δ → 0.
Позначимо Λ множину усіх строго зростаючих, неперервних бієкцій з E в себе (це є "збурення часу"). Нехай
позначає однорідну норму функцій на E. Визначимо метрику Скорохода σ на D так
де I: E → E є індикаторною функцією. В термінах інтуітивного "збурення" ||λ − I|| вимірює розмір "збурення в часі", а ||ƒ − g○λ|| вимірює розмір "збурення в просторі".
Можна показати, що метрика Скорохода є дійсно метрикою. Топологія Σ, що генерується σ називається топологією Скорохода на D.
Властивості простору Скорохода
Узагальнення однорідної торології
Простір C неперевних функцій на E є підпростором D. Топологія Скорохода, яка зв'язується з простором C, збігається з однорідною топологією на ньому.
Повнота
Можна показати, що хоча D не є повним простором по точки зору метрики Скорохода σ, існує топологічно еквівалентна метрика σ0 з якою D є повним.
Сепарабельність
Якщо σ або σ0, то D є сепарабельним простором. Тоді простір Скорохода є (польським простором).
Щільність простору Скорохода
Застосовуючи (теорему Арцела-Асколі), можна показати, що послідовність (μn)n=1,2,… ймовірнісних мір на просторі Скорохода D є тоді і лише тоді, коли виконуються наступні дві умови:
та
Алгебраїчна та топологічна структура
При топології Скорохода та поточковому складанні функцій D не є топологічною групою. Це видно з наступного прикладу:
Нехай одиничний интервал, а
послідовність характеристичних функцій. Не дивлячись на те, що
в топології Скорохода, послідовність
не збігається до 0.
Див. також
- Неперервна функція
- (Границя функції)
Джерела
- Підкуйко, Сергій (2004). Математичний аналіз — Т.1. Множини. Дійсні числа. Границя послідовності. Границя функції. Неперервність функції. Диференціальне числення функцій однієї змінної. Львів: Галицька видавнича спілка. с. 530. ISBN .
{{}}
: Перевірте значення|isbn=
: недійсний символ () - Convergence of probability measures - Billingsley 1999, p. 125
- Billingsley, Patrick (1995). Probability and Measure. New York, NY: John Wiley & Sons, Inc. ISBN .
![]() | Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет