Регулярна міра

У математиці регулярною мірою у топологічному просторі називається міра, для якої кожна вимірна множина може бути апроксимованою зверху відкритими вимірними множинами і знизу компактними вимірними множинами.

Означення

Нехай (X, T) — топологічний простір, а Σ — σ-алгебра на X. Нехай μ буде мірою на (X, Σ). Вимірну підмножину A із X називають зовнішньо регулярною, якщо

${\displaystyle \mu (A)=\inf _{F\in {\mathcal {O}}(A)}\mu (F),}$ де ${\displaystyle {\mathcal {O}}(A)}$ позначає клас всіх відкритих множин F для яких ${\displaystyle F\supset A.}$

Вимірну підмножину A із X називають внутрішньо регулярною, якщо

${\displaystyle \mu (A)=\sup _{G\in {\mathcal {K}}(A)}\mu (G)}$, де ${\displaystyle {\mathcal {K}}(A)}$ позначає клас всіх компактних підмножин ${\displaystyle G\subset A}$

• Міра називається зовнішньою регулярною, якщо кожна вимірна множина є зовнішньо регулярною.
• Міра називається внутрішньо регулярною, якщо кожна вимірна множина є внутрішньо регулярною. Деякі автори використовують інше визначення: міра називається внутрішньою регулярною, якщо кожна відкрита вимірна множина є внутрішньо регулярною.
• Міра називається регулярною, якщо вона є зовнішньо регулярною і внутрішньо регулярною.

Приклади

Регулярні міри

• Міра Лебега на дійсній прямій є регулярною мірою.

Справді із властивості монотонності випливає, що для довільної компактної множини ${\displaystyle G\subset A}$ і довільної відкритої множини ${\displaystyle F\supset A}$ для міри Лебега ${\displaystyle \lambda (G)\leqslant \lambda (A)\leqslant \lambda (F)}$ і тому ${\displaystyle \sup _{G\in {\mathcal {K}}(A)}\lambda (G)\leqslant \lambda (A)\leqslant \inf _{F\in {\mathcal {O}}(A)}\lambda (F).}$

Навпаки, якщо ${\displaystyle \lambda (A)=\infty }$ то множина є очевидно зовнішньо регулярною. Нехай тепер ${\displaystyle \lambda (A)<\infty }$ і ${\displaystyle \varepsilon >0}$ є довільним додатним числом. За побудовою міри Лебега існує послідовність ${\displaystyle F_{i}}$ відкритих інтервалів для яких ${\displaystyle A\subset \bigcup _{i=1}^{\infty }F_{i}}$ і ${\displaystyle \sum _{i=1}^{\infty }\lambda (F_{i})<\lambda (A)+\varepsilon .}$ Якщо позначити ${\displaystyle F=\bigcup _{i=1}^{\infty }F_{i}}$ то ${\displaystyle \lambda (F)\leqslant \sum _{i=1}^{\infty }\lambda (F_{i})<\lambda (A)+\varepsilon .}$ Зважаючи на довільність ${\displaystyle \varepsilon >0}$ то ${\displaystyle \inf _{F\in {\mathcal {O}}(A)}\lambda (F)\leqslant \lambda (A).}$ Разом із доведеною вище протилежною нерівністю це доводить зовнішню регулярність міри Лебега.

Для внутрішньої регулярності нехай спершу множина A є обмеженою. Нехай C є замкнутою і обмеженою множиною, що містить A. Оскільки ${\displaystyle C\setminus A}$ є вимірною множиною із вже доведеної зовнішньої регулярності випливає для довільного ${\displaystyle \varepsilon >0}$ існування відкритої множини ${\displaystyle U\supset C\setminus A}$ для якої ${\displaystyle \lambda (U)<\lambda (C\setminus A)+\varepsilon =\lambda (C)-\lambda (A)+\varepsilon .}$ Множина ${\displaystyle G=C\setminus U}$ є обмеженою і замкнутою (а тому компактною) підмножиною A і ${\displaystyle \lambda (G)\geqslant \lambda (C)-\lambda (U).}$ Разом із попередньою нерівністю це дає ${\displaystyle \lambda (A)-\varepsilon <\lambda (G).}$ Зважаючи на довільність ${\displaystyle \varepsilon >0}$ то ${\displaystyle \sup _{G\in {\mathcal {K}}(A)}\lambda (G)\geqslant \lambda (A).}$ Разом із доведеною вище протилежною нерівністю це доводить внутрішню регулярність міри Лебега для обмежених вимірних множин A.

У випадку якщо A є необмеженою, то можна ввести множини ${\displaystyle A_{n}=[-n,\ n]\cap A.}$ Тоді ${\displaystyle A_{n}}$ є зростаючою послідовністю множин і ${\displaystyle A=\bigcup _{n=1}^{\infty }A_{n}.}$ Згідно властивості неперервності міри знизу звідси випливає, що ${\displaystyle \lambda (A)=\lim _{n\to \infty }\lambda (A_{n}).}$ Відповідно для будь-якого дійсного числа ${\displaystyle a<\lambda (A)}$ існує натуральне число n, для якого ${\displaystyle a<\lambda (A_{n})\leqslant A.}$ Але оскільки ${\displaystyle A_{n}}$ є обмеженою, то з вже доведеного існує компактна підмножина ${\displaystyle G\subset A_{n}}$ для якої ${\displaystyle a<\lambda (G)\leqslant \lambda (A_{n})\leqslant A.}$ Тому для довільного ${\displaystyle a<\lambda (A)}$ існує компактна підмножина ${\displaystyle G\subset A}$ для якої ${\displaystyle a<\lambda (G)\leqslant \lambda (A).}$ Зважаючи на довільність ${\displaystyle a<\lambda (A)}$ то ${\displaystyle \sup _{G\in {\mathcal {K}}(A)}\lambda (G)\geqslant \lambda (A).}$ Разом із доведеною вище протилежною нерівністю це доводить внутрішню регулярність міри Лебега для обмежених вимірних множин A і завершує доведення внутрішньої регулярності міри Лебега.

• Аналогічно до попереднього можна довести регулярність міри Лебега для будь-якого евклідового простору.
• Будь-яка берівська ймовірнісна міра на будь-якому локально компактному σ-компактному гаусдорфовому просторі є регулярною мірою.
• Будь-яка ймовірнісна борелівська міра на локально компактному гаусдорфовому просторі із зліченною базою топології, або компактному метричному просторі, або просторі Радона є регулярною.

Внутрішні регулярні міри, які не є зовнішніми регулярними

• Прикладом міри на дійсній прямій з її звичайною топологією, яка не є зовнішньою регулярною, є міра μ, де ${\displaystyle \mu (\emptyset )=0}$, ${\displaystyle \mu \left(\{1\}\right)=0\,\,}$ і ${\displaystyle \mu (A)=\infty \,\,}$ для будь-якої іншої множини ${\displaystyle A}$.
• Борелівська міра на площині, значення якої на будь-якій борелівській множині є рівна сумі (1-вимірних) мір його горизонтальних перерізів, є внутрішньо регулярною але не зовнішньою регулярною, оскільки кожна непорожня відкрита множина має нескінченну міру. Різновидом цього прикладу є диз'юнктне об'єднання незліченної кількості копій дійсної прямої із з мірою Лебега.
• Приклад борелівської міри μ на локально компактному гаусдорфовому просторі, яка є внутрішньо регулярною, σ-скінченною і локально скінченною але не зовнішньо регулярною (Bourbaki, (2004, Вправа 5 розділу 1)). Базовою множиною топологічного простору X є підмножина площини, елементами якої є точки на осі ординат (0,y) і точки виду (1/n,m/n²) для натуральних чисел m,n. На цій множині можна ввести топологію у якій окремі точки (1/n,m/n²) є відкритими множинами, а базу околів точки (0,y) утворюють множини точок у X виду (u,v) з |v − y| ≤ |u| ≤ 1/n для натурального числа n. Цей простір X є локально компактним. Нехай міра μ на осі y є рівною 0, а у точці (1/n,m/n²) ) міра є рівною 1/n³. Ця міра є внутрішньо регулярною та локально скінченною але не є зовнішньо регулярною, оскільки будь-яка відкрита множина, що містить вісь y, має міру рівну нескінченності.

Зовнішні регулярні міри, які не є внутрішніми регулярними

• Нехай μ є внутрішньою регулярною мірою із попереднього прикладу, а M є мірою, заданою як M(S) = inf_{U ⊇S} μ(U), де inf береться по всіх відкритих множинах, що містять борелівську множину S. Тоді M є зовнішньо регулярною локально скінченною борелівською мірою на локально компактному гаусдорфовому просторі, яка не є внутрішньо регулярною, хоча всі відкриті множини є внутрішньо регулярними, тому вона є внутрішньо регулярною у слабшому сенсі. Міри M і μ є рівними на всіх відкритих множинах, усіх компактах і всіх множинах, на яких M має скінченну міру. Вісь y має нескінченну M-міру, хоча всі її компактні підмножини мають міру 0.

Міри, які не є ні внутрішніми ні зовнішніми регулярними

• Простір X усіх ординалів, що є не більшими першому незліченному ординалу Ω, з топологією, породженою передбазою відкритих інтервалів, тобто множинами виду ${\displaystyle \{x\in X\ |\ x<\alpha \}}$ і ${\displaystyle \{x\in X\ |\ x>\alpha \}}$ для усіх ${\displaystyle \alpha \in X}$ є компактним гаусдорфовим простором. На ньому можна задати міру, значення якої на борелівських множинах, що містять необмежену замкнуту підмножину злічених ординалів є рівним 1, а для інших борелівських множин є рівним 0. Ця міра є ймовірнісною борелівською мірою, яка не є ані внутрішньо регулярною ані зовнішньо регулярною.

Література

• Billingsley, Patrick (1999). Convergence of Probability Measures. New York: John Wiley & Sons, Inc. ISBN .
• Cohn, Donald L. (1997) [1980], Measure theory (вид. reprint), Boston–Basel–Stuttgart: Birkhäuser Verlag, с. IX+373, ISBN 
• Dudley, R. M. (2002). Real Analysis and Probability. Cambridge studies in advanced mathematics. Т. 74 (вид. 2). Cambridge University Press. ISBN .
• Parthasarathy, K. R. (2005). Probability measures on metric spaces. AMS Chelsea Publishing, Providence, RI. с. xii+276. ISBN . MR2169627