Вільний модуль

Вільний модуль — модуль M над кільцем R (як правило, вважається асоціативним з одиничним елементом), якщо він або є нульовим, або має базис. У випадку коли R є полем довільний векторний простір є вільним модулем. Для загальних кілець натомість існують модулі, що не є вільними.

Означення

Вільним модулем називається модуль, що має базис тобто множину ${\displaystyle E\subseteq M}$, для якої виконуються умови:

1. ${\displaystyle E}$ є породжуючою множиною ${\displaystyle M}$; тобто кожен елемент ${\displaystyle x\in M}$ є скінченною сумою ${\displaystyle x=\sum _{i=1}^{n}x_{i}e_{i}}$ де ${\displaystyle e_{i}\in E,}$ а ${\displaystyle x_{i}\in R}$;
2. ${\displaystyle E}$ є лінійно незалежною, тобто ${\displaystyle r_{1}e_{1}+r_{2}e_{2}+\cdots +r_{n}e_{n}=0_{M}}$ для різних елементів ${\displaystyle e_{1},e_{2},\ldots ,e_{n}}$ що належать ${\displaystyle E}$ тоді і лише тоді, коли ${\displaystyle r_{1}=r_{2}=\cdots =r_{n}=0_{R}}$ (де ${\displaystyle 0_{M}}$ є нульовим елементом в ${\displaystyle M,}$ а ${\displaystyle 0_{R}}$ є нульовим елементом в ${\displaystyle R}$).

Властивості

• Вільний модуль може мати два скінченних базиси, що складаються з різної кількості елементів. Так як в цьому випадку модуль M буде ізоморфним як R^m так і Rⁿ, де m ≠ n, то цей випадок можливий тоді і тільки тоді, коли над кільцем R існують матриці A розмірності m×n і B розмірності n×m, такі, що AB = I_m і BA = I_n, де I_m і I_n — одиничні квадратні матриці. Зрозуміло, що в разі, коли кільце R допускає гомоморфізм в тіло (це буде так, наприклад, у випадку комутативних кілець і кілець Нетер), дана ситуація неможлива через властивості рангу матриці. У цьому випадку число елементів базису називається рангом модуля M. Для векторного простору ранг простору є його розмірністю.
• Якщо модуль має нескінченний базис, то всі такі базиси мають однакову потужність.
• Скінченнопороджений модуль є вільним тоді і тільки тоді коли він є плоским.
• Якщо (M_i)_i є сім'єю вільних модулів над R, то їх пряма сума ⊕_i M_i є вільним модулем над R.
• Для вільних модулів M і N над кільцем R їх тензорний добуток M ⊗ N , множина лінійних відображень Hom_R(M, N) та двоїстий модуль Hom_R(M, R) є вільними модулями.

Приклади

• Нульовий модуль (тобто модуль єдиним елементом якого є нуль) прийнято вважати вільним модулем з базисом рівним .
• Саме кільце R, що розглядається як лівий модуль над собою, очевидно має базис, що складається з єдиного одиничного елемента кільця, а кожен модуль з скінченним базисом з n елементів є ізоморфним прямій сумі R ⁿ кілець R, що розглядаються як модулі.
• Будь-яка абелева група є модулем над кільцем цілих чисел ${\displaystyle \mathbb {Z} .}$ Вільні абелеві групи є прикладом вільних модулів.
• Для ${\displaystyle 1<n\in \mathbb {N} }$, ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модуль ${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$ не є вільним. ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-модуль ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ є модулем без кручень але не є вільним.
• Кільце многочленів ${\displaystyle \textstyle R[X]}$ над кільцем ${\displaystyle R}$ є вільним модулем збазисом ${\displaystyle (X^{i}|i\in \mathbb {N} )}$.
• Для довільної множини E, можна побудувати вільний R-модуль, базисом якого є множина E. Він називається модулем формальних лінійних комбінацій елементів E, або вільним модулем над E і позначається як R^(E).

Для скінченної підмножини {X₁, ..., X_n} елементів з E, формальною лінійною комбінацією елементів X₁, ..., X_n називається вираз

a₁X₁ + ··· + a_nX_n,

де всі a_i належать кільцю R.

Якщо деякий a_i дорівнює нулю, формальна лінійна комбінація вважається рівною комбінації, що отримується вилученням цього доданку.

Множина формальних лінійних комбінацій має природну структуру модуля, для якого множина E є базисом.

Універсальна властивість

Відображення включення ${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$ задовольняє таку універсальну властивість: для довільного відображення ${\displaystyle \varphi :E\to M}$ з множини E в R-модуль M, існує єдиний гомоморфізм модулів ${\displaystyle \psi :R^{(E)}\to M}$, для якого ${\displaystyle \varphi =\psi \circ \iota }$. Ця властивість характеризує R^(E) з точністю до ізоморфізму. Відображення ${\displaystyle \iota :E\to R^{(E)}}$ можна продовжити до функтора з категорії множин в категорію R-модулів.

Узагальнення

Деякі теореми про вільні модулі залишаються вірними і для більш широких класів кілець. Проєктивні модулі — за визначенням є прямими доданками деякого вільного модуля, тому для доведення твердження про проєктивні модулі можна розглянути його вкладення у вільний модуль і скористатися базисом. Ще більш широкими узагальненням є плоскі модулі, які можна уявити як індуктивна границя скінченнопороджених вільних модулів, і модулі без кручень.

Див. також

• Вільна абелева група
• Плоский модуль
• Проєктивний модуль
• Скрут (алгебра)

Література

• Ван дер Варден Б. Л. Алгебра. — Москва : Наука, 1975. — 623 с. — .(рос.)
• Ленг С. Алгебра. — Москва : Мир, 1968. — 564 с. — .(рос.)