Польський простір

Польський простір — топологічний простір, гомеоморфний повному метричному простору із зліченною щільною підмножиною.

Приклади

• Дійсна пряма і будь-яка її відкрита або замкнута підмножина
• Довільний евклідів простір ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$
• Сепарабельні банахові простори
• Довільний компактний метризовний простір є польським простором. Зокрема це стосується компактного гаусдорфового простору зі зліченною базою
• Множина Кантора
• Куб Гільберта ${\displaystyle I^{\mathbb {N} },}$ де ${\displaystyle I}$ позначає одиничний інтервал
• Простір ${\displaystyle \mathbb {N} ^{\mathbb {N} }}$ (простір послідовностей натуральних чисел із топологією добутку)
• Простір ірраціональних чисел із індукованою топологією дійсної прямої є польським простором, оскільки ірраціональні числа є G_δ-підмножиною дійсних чисел. Натомість з теореми Бера про категорії випливає, що простір раціональних чисел не є польським простором
• Простір Урисона

Властивості

• Замкнуті відкриті підмножини польського простору є польськими просторами.

Оскільки польський простір є сепарабельним і на ньому можна ввести метрику, то і будь-який його підпростір із індукованою топологією є сепарабельним. Дійсно сепарабельний метричний простір задовольняє другу аксіому зліченності (множина куль у цій метриці із центрами у зліченній щільній підмножині і раціональними радіусами утворює зліченну базу топології). Тоді перетини елементів зліченної бази із підпростором утворює зліченну базу підпростору. Обравши точку в кожному елементі зліченної бази отримуємо зліченну щільну підмножину.

Залишається довести, що на відкритих і замкнутих підмножинах польського простору можна ввести повну метрику. Якщо розглянути деяку повну метрику на польському просторі, то її обмеження на замкнуту підмножину буде повною метрикою. Тому ця множина є польським простором.

Для відкритої підмножини U топологічного простору X позначимо ${\displaystyle U^{c}}$ доповнення цієї множини і для точки ${\displaystyle x\in U}$ також позначимо ${\displaystyle d(x,U^{c})=\inf\{d(x,z)\ :\ z\in U^{c}\}.}$ Можна ввести метрику на U:

${\displaystyle d_{0}(x,y)=d(x,y)+\left|{\frac {1}{d(x,U^{c})}}-{\frac {1}{d(y,U^{c})}}\right|}$

Ця метрика породжує топологію на U індуковану від X. Дійсно згідно нерівності трикутника ${\displaystyle |d(x,U^{c})-d(y,U^{c})|\leqslant d(x,y)}$ і тому функція ${\displaystyle x\to d(x,U^{c})}$ є неперервною. Тому послідовність ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ збігається до x у метриці d тоді і тільки тоді, коли вона збігається до x у метриці ${\displaystyle d_{0}.}$ Тому метрика ${\displaystyle d_{0}}$ породжує індуковану топологію на U.

Для доведення повноти метрики, нехай ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ є фундаментальною послідовністю для ${\displaystyle d_{0}.}$ Тоді вона також є фундаментальною для d і тому збігається до точки ${\displaystyle x\in X.}$ Точка x належить U в іншому випадку було б ${\displaystyle \lim _{n}d(x_{n},U^{c})=0}$ і звідси ${\displaystyle \limsup _{n,m}d_{0}(x_{n},x_{m})=\infty ,}$ що суперечить фундаментальності ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ для ${\displaystyle d_{0}.}$ Як наслідок ${\displaystyle \{x_{n}\}}$ збігається до x у метриці ${\displaystyle d_{0},}$ що завершує доведення повноти цієї метрики.

• Диз'юнктне об'єднання скінченної чи зліченної кількості польських просторів є польським простором.

Нехай ${\displaystyle X_{n}}$ позначають відповідні польські простори, ${\displaystyle D_{n}}$ — їх щільні зліченні підмножини, а ${\displaystyle d_{n}}$ — деякі повні метрики на просторах. Можна припустити, що для всіх цих метрик ${\displaystyle d_{n}(x,y)\leqslant 1}$ (в іншому випадку можна розглянути повні метрики ${\displaystyle \min(d_{n}(x,y),1),}$ що породжують ті ж топології). Диз'юнктне об'єднання ${\displaystyle D_{n}}$ є зліченною множиною, що є цільною у диз'юнктному об'єднанні польських просторів. Метрика ${\displaystyle d}$ задана як ${\displaystyle d(x,y)=d_{n}(x,y),}$ якщо ${\displaystyle x,y}$ належать одному ${\displaystyle X_{n}}$ і ${\displaystyle d(x,y)=1}$ в іншому випадку, є повною метрикою на диз'юнктному об'єднанні ${\displaystyle X_{n}}$, що завершує доведення

• Будь-яка G-дельта-підмножина польського простору є польським простором.

  Нехай ${\displaystyle Y=\cap _{n}U_{n},}$ де ${\displaystyle U_{n}}$ є відкритими підмножинами польського простору ${\displaystyle X.}$ Тоді всі ${\displaystyle U_{n}}$ і їх добуток ${\displaystyle \prod _{n}U_{n}}$ є польськими просторами. Перетин діагоналі ${\displaystyle \Delta \subset \prod _{n}X}$ із підпростором ${\displaystyle \prod _{n}U_{n}}$ є замкнутою підмножиною у ${\displaystyle \prod _{n}U_{n}}$, а тому польським простором. До того ж ${\displaystyle \Delta \cap \prod _{n}U_{n}}$ є гомеоморфним ${\displaystyle Y}$ через відображення, що зіставляє елементу ${\displaystyle y\in Y}$ послідовність у ${\displaystyle \prod _{n}U_{n}}$ всі члени якої є рівними ${\displaystyle y.}$

• Навпаки, якщо підмножина польського простору є польським простором, то вона є G-дельта-множиною.
• Топологічний простір є польським простором тоді і тільки тоді коли він є гомеоморфним G-дельта-підмножині кубу Гільберта ${\displaystyle I^{\mathbb {N} }}$
• Прямий добуток зліченної кількості польських просторів є польським простором.

Нехай ${\displaystyle X_{n}}$ позначають відповідні польські простори, а ${\displaystyle d_{n}}$ — деякі повні метрики на просторах для яких ${\displaystyle d_{n}(x,y)\leqslant 1.}$ Якщо ${\displaystyle x,y\in \prod _{n}X_{n}}$ — точки добутку просторів із координатами ${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$ і ${\displaystyle y_{1},y_{2},\ldots }$ відповідно, то ${\displaystyle d(x,y)=\sum _{n}{\frac {1}{2^{n}}}d_{n}(x,y)}$ є метрикою, що породжує топологію добутку і добуток просторів є повним метричним простором із цією метрикою.

Для доведення сепарабельності спершу слід зазначити, що як і вище всі ${\displaystyle X_{n}}$ задовольняють другу аксіому зліченності і тому можна обрати зліченну бази топології ${\displaystyle {\mathcal {U}}_{n}}$ для всіх ${\displaystyle X_{n}.}$ Тоді множини виду ${\displaystyle U_{1}\times \ldots \times U_{N}\times X_{N+1}\times X_{N+2}\times \ldots ,}$ де N є натуральним числом і всі ${\displaystyle U_{n}\in {\mathcal {U}}_{n},}$ утворюють базу добутку. Тобто добуток топологій задовольняє другу аксіому зліченності і тому є сепарабельним простором.

• Довільна скінченна борелівська міра на польському просторі є регулярною.
• Між будь-якими двома незліченними польськими просторами існує борелівська бієкція, тобто бієкція, яка переводить борелівські множини в борелівські. Зокрема, кожен незліченний польський простір має потужність континууму.
• Теорема Кантора — Бендіксона: будь-яка замкнута підмножина в польському просторі є диз'юнктним об'єднанням досконалої підмножини, зліченної і відкритої підмножин.

Література

• D. J. H. Garling (2018), Analysis on Polish Spaces and an Introduction to Optimal Transportation, London Mathematical Society Student Texts, т. 89, Cambridge University Press, ISBN