У комутативній алгебрі кільцем нормування називається область цілісності що задовольняє деяким додатковим вимогам Кільця

У комутативній алгебрі кільцем нормування називається область цілісності, що задовольняє деяким додатковим вимогам. Кільця нормування є пов'язаними з поняттям нормування на полі. Мають широке застосування в алгебраїчній теорії чисел і алгебраїчній геометрії.

Визначення

Нехай R є областю цілісності з полем часток K. Тоді R називається кільцем нормування, якщо воно задовольняє будь-яку із еквівалентних умов:

Для довільного ненульового елемента $x\in K$ , хоча б один з елементів x і x^-1 належить R.
Множина ідеалів R є цілком впорядкованою відносно включення підмножин.
Множина головних ідеалів R є цілком впорядкованою відносно включення підмножин.
Існує цілком впорядкована абелева група Γ (що називається групою нормування) і сюр'єктивний гомоморфізм груп (що називається нормуванням поля) ν:K^× → Γ для якого R = { x в K^× : ν(x) ≥ 0 } ∪ {0}.

Кільця нормування можна визначити ще одним способом. Локальне кільце $(S,{\mathfrak {m}}_{S})$ домінує над $(R,{\mathfrak {m}}_{R})$ якщо $S\supset R$ і ${\mathfrak {m}}_{S}\cap R={\mathfrak {m}}_{R}$ . Відношення домінування є відношенням часткового порядку на множині підкілець поля K. Максимальні елементи цієї множини і тільки вони є кільцями нормування поля K.

Будь-яке кільце нормування R задає нормування на своєму полі часток K. При використанні першого означення нормування на полі часток можна задати так: нехай $G=K^{*}/R^{*}$ . Позначимо природне вкладення K^× в G як $v(a)=a/1,\;a\in K^{*}$ . Для елементів G визначимо відношення порядку: $aR^{*}\leqslant bR^{*}\Longleftrightarrow a^{-1}b\in R.$ Тоді R стає лінійно впорядкованою групою. Додавши до неї нескінченний елемент, що більший від усіх інших елементів і довизначивши $v(0)=\infty ,$ отримаємо, що ν і є необхідним нормуванням.

Властивості

Кільце нормування R є локальним кільцем.
Якщо R — кільце нормування, a $A\supset R$ — кільце з тим же полем часток, що і R, то A також є кільцем нормування і A є локалізацією кільця R за деяким простим ідеалом.
Кільце нормування R є цілозамкнутим. Більш того, для довільного цілісного кільця A його ціле замикання дорівнює перетину всіх кілець нормування в його полі часток, що містять R.
Кільце нормування є нетерівським тоді і тільки тоді, коли нормування є дискретним, тобто кільце є кільцем дискретного нормування.
Якщо P є простим ідеалом кільця нормування R то і R_P (локалізація за ідеалом P) і фактор-кільце R/P є кільцями нормування.
Нехай R є підкільцем поля K і $h:R\to L$ є гомоморфізмом кільця R в алгебраїчно замкнуте поле L. Тоді існує максимальне продовження гомоморфізму $h:A\to L$ де підкільце $A\supset R$ , A є підкільцем поля K і продовження гомоморфізму на ще більші підкільця є неможливим. Для кожного такого максимального продовження кільце A є кільцем нормування.
Ціле замикання області цілісності у своєму полі часток є рівне перетину всіх кілець нормування, що містять цю область цілісності.

Приклади

Поле K є кільцем нормування.
Нехай K — поле, а K[x] і K(x) — відповідно кільце многочленів і поле раціональних функцій над K. Тоді кільце

R=\left\{{\frac {f(x)}{g(x)}}\;|\;f(x),g(x)\in K[x],\;\deg(f)\leqslant \deg(g)\right\},

є кільцем нормування для поля K(x).

Нехай K — поле, а K[[X]] — кільце формальних степеневих рядів, тобто виразів виду $F(X)=\sum \limits _{n=0}^{\infty }a_{n}X^{n},\;a_{i}\in K.$ Тоді K[[X]] є кільцем нормування поля формальних рядів Лорана, тобто виразів виду $G(X)=\sum \limits _{n=N}^{\infty }a_{n}X^{n},\;N\in \mathbb {Z} \;a_{i}\in K.$

Для поля $\mathbb {Q}$ раціональних чисел і довільного простого числа p, кільце нормування R можна визначити в такий спосіб:

R=\left\{p^{n}{\frac {q}{r}}\;|\;n\geqslant 0,\;(p,q)=1,\;(p,r)=1\right\}.

Побудова кілець нормування для даної групи нормування

Для даної цілком впорядкованої абелевої групи Γ і поля k, позначимо K = k((Γ)) кільце формальних степеневих рядів із степенями із групи Γ. Іншими словами елементами K є функції із Γ у k такі, що елементи Γ де значення функції не рівне нулю утворюють цілком впорядковану множину. Додавання функцій є поточковим, а множення є за конволюцією, тобто відбувається аналогічно до множення степеневих рядів:

\sum _{g\in G}f(g)x^{g}

із правилом

x^{g}\cdot x^{h}=x^{g+h}.

Нормування ν(f) для елемента f у K за означення є рівним найменшому елементу g групи Γ для якого f(g) не рівне нулю. Такий елемент існує зважаючи на умови впорядкованості. Множина f для яких ν(f)≥0 (разом із 0 поля K), утворюють підкільце D поля K яке є кільцем нормування щодо нормування ν і з групою нормування Γ.

Ідеали кілець нормування

Множина ідеалів кільця нормування є лінійно впорядкованою щодо включення, будь-який скінченнопорождений ідеал є головним, тобто кільце нормування є кільцем Безу.

Більш повно опис будови ідеалів кільця нормування можна дати в термінах групи значень нормування. Підмножина M лінійно впорядкованої множини називається мажорною (або мажором), якщо з співвідношень $x\in M$ і $y>x$ випливає, що $y\in M.$

Нехай R — кільце нормування v поля K з групою значень Γ, а Γ⁺ — піднапівгрупа додатних елементів у Γ і M — мажорна множина в Γ⁺. Відображення $M\to \alpha (M)=\{x\in K|v(x)\in M\cup \{\infty \}\}$ є бієктивним (взаємно однозначним) відображенням множини мажорних підмножин з Γ⁺ на множину ідеалів кільця R. При цьому головним ідеалам відповідають мажори, що мають мінімальні елементи.

Простим ідеалам теж відповідають мажори спеціального виду, а саме: мажори виду $M_{H}=\Gamma ^{+}\setminus H^{+}$ , де H⁺ — додатна частина деякої опуклої підгрупи H групи Γ, тобто підгрупи для якої, якщо $h\in H,$ то також для всіх $g\in \Gamma$ таких, що $\min\{-h,h\}\leqslant g\leqslant \max\{-h,h\}$ також $g\in H.$ Таким чином, встановлюється взаємно однозначна відповідність між простими ідеалами кільця R і опуклими підгрупами групи значень G.

Нехай p — простий ідеал, що відповідає опуклій підгрупі H, тоді композиція відображень $K\to G\to G/H$ буде нормуванням поля K з кільцем нормування $R_{p}$ і максимальним ідеалом $pR_{p}.$ Крім того, на поле $R_{p}/pR_{p}$ індукується нормування зі значеннями в групі H і кільцем нормування $R/p$ . Тим самим нормування розщеплюється на більш прості.

Нехай R — кільце нормування, тоді простий спектр R без нуля ( $\mathrm {Spec} (R)/(0)$ ) є лінійно впорядкованою множиною і її тип називається висотою, або рангом, відповідного нормування Якщо $\mathrm {Spec} (R)$ є скінченною множиною, то висота нормування є числом елементів в $\mathrm {Spec} (R)/(0)$ , і це число збігається з числом опуклих підгруп групи G, що не рівні самій групі G.

Нормування скінченного рангу зводяться до нормування рангу 1. Останні характеризуються тим, що їх група значень — архімедова група, тобто ізоморфна деякій підгрупі адитивної групи дійсних чисел. В цьому випадку відображення $x\to \exp(-v(x))$ є ультраметричним абсолютним значенням на полі K.

Див. також

Посилання

Hazewinkel, Michiel, ред. (2001), Valuation, Математична енциклопедія, , ISBN
Robert B. Ash A Course In Commutative Algebra Chapter 3 Valuation Rings [ 7 грудня 2016 у Wayback Machine.]

Джерела

Алгебраическая теория чисел. ред. Касселс Д., Фрёлих А. М.: Мир 1969
Cohn, P. M. (1991), Algebraic Numbers and Algebraic Functions, Chapman Hall/CRC Mathematics Series, т. 4, CRC Press, ISBN
Goldschmidt, David M. (2003), Algebraic Functions and Projective Curves, Graduate Texts in Mathematics, Springer, ISBN
Gopalakrishnan, N. S. (1984). Commutative Algebra. Oxonian Press. с. 290.