У теорії категорій, поняття проєктивного об'єкта узагальнює проєктивні модулі. Проєктивні об'єкти у абелевих категоріях широко використовуються у гомологічній алгебрі. Двоїстим до проєктивних об'єктів є ін'єктивні об'єкти.
Означення
Об'єкт у категорії
називається проєктивним якщо для довільного епіморфізма
і морфізма
, існує морфізм
для якого
, тобто існує комутативна діаграма:
У локально малій категорії
є проєктивним якщо і тільки якщо функтор Hom
зберігає епіморфізми.
Абелеві категорії
Нехай — локально мала абелева категорія. У цьому випадку об'єкт
називається проєктивним об'єктом якщо
є точним функтором, де є категорією абелевих груп.
Іншими еквівалентними означеннями у цьому випадку є
- Функтор Hom
переводить коядра об'єктів у коядра.
- Функтор Hom
переводить ковирівнювачі у ковирівнювачі.
- Функтор Hom
переводить кодекартові квадрати у кодекартові квадрати.
- Кожна послідовність виду
- є точною у
тоді і тільки тоді коли вона розщеплюється, тобто
є ізоморфним прямій сумі
.
Властивості
- Кодобуток двох проєктивних об'єктів є проєктивним об'єктом.
- Ретракт проєктивного об'єкта є проєктивним.
Достатньо проєктивних об'єктів
Нехай — абелева категорія. Кажуть, що
має достатньо проєктивних об'єктів якщо для кожного об'єкта
у
існує проєктивний об'єкт
у
і точна послідовність
Іншими словами є епіморфізмом.
Приклади
- Твердження про те, що всі множини є проєктивними об'єктами є еквівалентним аксіомі вибору.
- Проєктивний об'єктами у категорії абелевих груп є вільні абелеві групи.
- Нехай
— кільце з 1. Розглянемо (абелеву) категорію лівих
-модулів
. Проєктивними об'єктами у
є проєктивні ліві R-модулі. Зокрема
є проєктивним об'єктом у
- Категорія лівих (правих)
-модулів має достатньо проєктивних об'єктів. Це випливає з того, що для кожного лівого (правого)
-модуля
, можна взяти вільний (а відтак проєктивний)
-модуль
породжений елементами
і канонічна проєкція
буде необхідним сюр'єктивним відображенням.
Примітки
- Mac Lane, Saunders (1978). Categories for Working Mathematician (вид. Second). New York, NY: Springer New York. с. 114. ISBN . OCLC 851741862.
- Awodey, Steve (2010). Category theory (вид. 2nd). Oxford: Oxford University Press. с. 72. ISBN . OCLC 740446073.
- Awodey, Steve (2010). Category theory (вид. 2nd). Oxford: Oxford University Press. с. 33. ISBN . OCLC 740446073.
Див. також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U teoriyi kategorij ponyattya proyektivnogo ob yekta uzagalnyuye proyektivni moduli Proyektivni ob yekti u abelevih kategoriyah shiroko vikoristovuyutsya u gomologichnij algebri Dvoyistim do proyektivnih ob yektiv ye in yektivni ob yekti OznachennyaOb yekt P displaystyle P u kategoriyi C displaystyle mathcal C nazivayetsya proyektivnim yaksho dlya dovilnogo epimorfizma e E X displaystyle e E twoheadrightarrow X i morfizma f P X displaystyle f P to X isnuye morfizm f P E displaystyle overline f P to E dlya yakogo e f f displaystyle e circ overline f f tobto isnuye komutativna diagrama U lokalno malij kategoriyi C displaystyle mathcal C P displaystyle P ye proyektivnim yaksho i tilki yaksho funktor Hom Hom P C Set displaystyle operatorname Hom P colon mathcal C to mathbf Set zberigaye epimorfizmi Abelevi kategoriyi Nehaj C displaystyle mathcal C lokalno mala abeleva kategoriya U comu vipadku ob yekt P C displaystyle P in mathcal C nazivayetsya proyektivnim ob yektom yaksho Hom P C Ab displaystyle operatorname Hom P colon mathcal C to mathbf Ab ye tochnim funktorom de Ab displaystyle mathbf Ab ye kategoriyeyu abelevih grup Inshimi ekvivalentnimi oznachennyami u comu vipadku ye Funktor Hom Hom P C Set displaystyle operatorname Hom P colon mathcal C to mathbf Set perevodit koyadra ob yektiv u koyadra Funktor Hom Hom P displaystyle operatorname Hom P perevodit kovirivnyuvachi u kovirivnyuvachi Funktor Hom Hom P displaystyle operatorname Hom P perevodit kodekartovi kvadrati u kodekartovi kvadrati Kozhna poslidovnist vidu0 U V P 0 displaystyle 0 to U to V to P to 0 dd ye tochnoyu u C displaystyle mathcal C todi i tilki todi koli vona rozsheplyuyetsya tobto V displaystyle V ye izomorfnim pryamij sumi U P displaystyle U oplus P VlastivostiKodobutok dvoh proyektivnih ob yektiv ye proyektivnim ob yektom Retrakt proyektivnogo ob yekta ye proyektivnim Dostatno proyektivnih ob yektivNehaj A displaystyle mathcal A abeleva kategoriya Kazhut sho A displaystyle mathcal A maye dostatno proyektivnih ob yektiv yaksho dlya kozhnogo ob yekta A displaystyle A u A displaystyle mathcal A isnuye proyektivnij ob yekt P displaystyle P u A displaystyle mathcal A i tochna poslidovnist P 0 displaystyle P longrightarrow longrightarrow 0 Inshimi slovami p P A displaystyle p colon P to A ye epimorfizmom PrikladiTverdzhennya pro te sho vsi mnozhini ye proyektivnimi ob yektami ye ekvivalentnim aksiomi viboru Proyektivnij ob yektami u kategoriyi abelevih grup ye vilni abelevi grupi Nehaj R displaystyle R kilce z 1 Rozglyanemo abelevu kategoriyu livih R displaystyle R moduliv MR displaystyle mathcal M R Proyektivnimi ob yektami u MR displaystyle mathcal M R ye proyektivni livi R moduli Zokrema R displaystyle R ye proyektivnim ob yektom u MR displaystyle mathcal M R Kategoriya livih pravih R displaystyle R moduliv maye dostatno proyektivnih ob yektiv Ce viplivaye z togo sho dlya kozhnogo livogo pravogo R displaystyle R modulya M displaystyle M mozhna vzyati vilnij a vidtak proyektivnij R displaystyle R modul F displaystyle F porodzhenij elementami M displaystyle M i kanonichna proyekciya p F M displaystyle pi colon F to M bude neobhidnim syur yektivnim vidobrazhennyam PrimitkiMac Lane Saunders 1978 Categories for Working Mathematician vid Second New York NY Springer New York s 114 ISBN 1441931236 OCLC 851741862 Awodey Steve 2010 Category theory vid 2nd Oxford Oxford University Press s 72 ISBN 9780199237180 OCLC 740446073 Awodey Steve 2010 Category theory vid 2nd Oxford Oxford University Press s 33 ISBN 9780199237180 OCLC 740446073 Div takozhIn yektivnij ob yekt Proyektivnij modul