Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
 Ікосододекаедр |  Вершинна фігура, подана як 3.5.3.5 або (3.5)2 |
В геометрії конфігурація вершини — це скорочене позначення для подання вершинної фігури, многогранника або мозаїки у вигляді послідовності граней навколо вершини. Для однорідного многогранника існує тільки один тип вершин, а тому конфігурація вершини повністю визначає многогранник. (Хіральні многогранники існують у вигляді дзеркальних пар з однаковою конфігурацією вершин.)
Конфігурація вершини визначається як послідовність чисел, що представляють число сторін граней, які оточують вершину. Позначення «a.b.c» позначає вершину з трьома гранями біля неї і ці грані мають a, b і c сторін (ребер).
Наприклад, «3.5.3.5» позначає вершину, що належить чотирьом граням, почергово трикутникам і п'ятикутникам. Ця конфігурація вершини визначає вершинно-транзитивний ікосододекаедр. Позначення циклічне, так що початкова точка значення не має. Таким чином, 3.5.3.5 — це те ж саме, що і 5.3.5.3. Порядок важливий, так що 3.3.5.5 — це не те ж саме, що 3.5.3.5. (У першому випадку за двома поруч розташованими трикутниками слідують два п'ятикутники.) Повторювані елементи можуть бути скорочені зазначенням верхнього індексу, так що наш приклад можна записати у вигляді (3.5)2.
Поряд з терміном конфігурація вершини в різних джерелах використовують також терміни vertex description (опис вершини), vertex type (тип вершини), vertex symbol (символ вершини), vertex arrangement (компонування вершини), vertex pattern (шаблон вершини), face-vector (вектор межі). Для конфігурації вершини використовується, крім того, термін символ Канді і Роллетта, оскільки вони використовували конфігурацію вершини для опису архімедових тіл у книзі 1952 року Mathematical Models (Математичні моделі).
Вершинні фігури
Конфігурація вершини може бути подана як вершинна фігура з многокутників, що показує грані навколо вершини. Ця вершинна фігура має 3-вимірну структуру, оскільки грані не знаходяться в одній площині, але для вершинно однорідних многогранників всі сусідні вершини знаходяться в одній площині, так що можна використовувати для візуального подання конфігурації вершини ортогональну проєкцію.
Варіанти і використання
 {3,3} = 33 Дефект 180° |  {3,4} = 34 Дефект 120° |  {3,5} = 35 Дефект 60° |  {3,6}=36Дефект 0° |
 {4,3} Дефект 90° |  {4,4}=44Дефект 0° |  {5,3} = 53 Дефект 36° |  {6,3}= 63Дефект 0° |
| У вершині має бути щонайменше 3 грані і вершина має кутовий дефект. Кутовий дефект 0° дає можливість покрити площину правильною мозаїкою. За теоремою Декарта число вершин дорівнює 720°/дефект (4π радіан/дефект). | |||
Використовується різний вигляд запису, іноді через кому (,) іноді через крапку (.). Може також використовуватися верхній індекс. Наприклад, 3.5.3.5 іноді записується у вигляді (3.5)2.
Позначення може розглядатися як розгорнута форма символу Шлефлі для правильних многогранників. Позначення Шлефлі {p, q} означає q p-кутників навколо кожної вершини. Так що {p, q} можна записати p.p.p... (q разів) або pq. Наприклад, у ікосаедра {3,5} = 3.3.3.3.3 або 35.
Цей запис застосовний як до многокутних мозаїк, так і до многогранників. Плоска конфігурація вершини означає однорідну мозаїку так само, як неплоска конфігурація вершини означає однорідний многогранник.
Позначення не однозначне для хіральних видів. Наприклад, кирпатий куб має форми, ідентичні при дзеркальному відображенні. Обидві форми мають конфігурацію вершини 3.3.3.3.4.
Зірчасті многокутники
Позначення застосовується також до неопуклих правильних граней, зірчастих многокутників. Наприклад, пентаграма має символ {5/2}, що означає, що многокутник має 5 сторін, які обходять центр два рази.
Наприклад, існує 4 правильні зірчасті многогранники з правильними многокутниками або зірчастими вершинними фігурами. Малий зірчастий додекаедр має символ Шлефлі {5/2,5}, який розгортається в явну конфігурацію вершини 5/2.5/2.5/2.5/2.5/2, що можна подати у вигляді (5/2)5. Великий зірчастий додекаедр з символом {5/2,3} має трикутну вершинну фігуру і конфігурацію (5/2.5/2.5/2) або (5/2)3. Великий додекаедр з символом {5,5/2} має пентаграмну вершинну фігуру з конфігурацією вершини (5.5.5.5.5)/2 або (55)/2. Великий ікосаедр з символом {3,5/2} також має пентаграмну вершинну фігуру з конфігурацією вершини (3.3.3.3.3)/2 або (35)/2.
 |  |  |  |  |
| {5/2,5} = (5/2)5 | {5/2,3}= (5/2)3 | [en] | [en] | (34.5/2)/2 |
|---|---|---|---|---|
 |  |  |  |  |
| {5,5/2} = (55)/2 | {3,5/2} = (35)/2 | [en] | [en] | [en] |
Всі однорідні конфігурації вершин правильних опуклих многокутників
Напівправильні многогранники мають конфігурацію вершин з додатним кутовим дефектом.
Примітка: Вершинна фігура може представляти правильну або напівправильну мозаїку на площині, якщо її дефект дорівнює нулю. Вершинна фігура може представляти мозаїку на гіперболічній площині, якщо її дефект від'ємний.
Для однорідних многогранників кутовий дефект можна використовувати для обчислення числа вершин. Теорема Декарта стверджує, що сума всіх кутових дефектів на топологічній сфері повинна дорівнювати 4π радіан або 720°.
Оскільки в однорідного многогранника всі вершини ідентичні, це відношення дозволяє нам розрахувати число вершин, яке дорівнює частці 4π/дефект або 720°/дефект.
Приклад: зрізаний куб 3.8.8 має кутовий дефект 30°. Таким чином, многогранник має 720/30 = 24 вершин.
Зокрема, звідси випливає, що {a,b} має 4 / (2 - b(1 - 2/a)) вершин.
Будь-яка числова конфігурація вершини потенційно однозначно визначає напівправильний многогранник. Однак не всі конфігурації можливі.
Топологічні вимоги обмежують існування многогранника. Зокрема, p.q.r означає, що p-кутник оточений поперемінно q-кутниками і r-кутниками, так що або p парне, або q дорівнює r. Так само q парно, або p дорівнює r, r парно, або p дорівнює q. Таким чином, потенційно можливими трійками будуть 3.3.3, 3.4.4, 3.6.6, 3.8.8, 3.10.10, 3.12.12, 4.4.n (для будь-якого n>2), 4.6.6, 4.6.8, 4.6.10, 4.6.12, 4.8.8, 5.5.5, 5.6.6, 6.6.6. Фактично всі ці конфігурації з трьома гранями, що зустрічаються в одній вершині, існують.
Так само, коли чотири грані зустрічаються в одній вершині, p.q.r.s, якщо одне з чисел непарне, інші повинні бути рівними.
Число в дужках — це число вершин, обчислене за кутовим дефектом.
Трійки
- правильні тіла 3.3.3 (4), 4.4.4 (8), 5.5.5 (20)
- призми 3.4.4 (6), 4.4.4 (8; перелічена також вище), 4.4.n (2n)
- архімедові тіла 3.6.6 (12), 3.8.8 (24), 3.10.10 (60), 4.6.6 (24), 4.6.8 (48), 4.6.10 (120), 5.6.6 (60).
- правильна мозаїка 6.6.6
- напівправильні мозаїки [en], [en], [ru]
Четвірки
- правильне тіло 3.3.3.3 (6)
- антипризмы 3.3.3.3 (6; перелічена також вище), 3.3.3.n (2n)
- архімедові тіла 3.4.3.4 (12), 3.5.3.5 (30), 3.4.4.4 (24), 3.4.5.4 (60)
- правильна мозаїка 4.4.4.4
- напівправильні мозаїки [ru], [en]
П'ятірки
- правильне тіло 3.3.3.3.3 (12)
- архімедові тіла 3.3.3.3.4 (24), 3.3.3.3.5 (60) (обидва хіральні)
- напівправильні мозаїки 3.3.3.3.6[en] (хіральні), [en], [ru] (зауважте, що два різні порядки тих самих чисел дають різні мозаїки)
Шістки
- правильна мозаїка 3.3.3.3.3.3
Конфігурація грані
Двоїсті однорідним многогранникам, каталанові тіла, включно з біпірамідами і трапецоедрами, є вертикально правильними (транзитивними за гранями, а тому можуть бути ідентифіковані подібною нотацією, яку іноді називають конфігурацією грані. Канді і Роллетт (Cundy, Rollett) ставлять перед цими подвійними позначеннями символ V. А в книзі Tilings and Patterns для ізоедральних мозаїк використовуються квадратні дужки.
Це позначення представляє послідовне число граней біля кожної вершини навколо грані. Наприклад, V3.4.3.4 або V(3.4)2 представляють ромбододекаедр, який транзитивний за гранями — будь-яка межа є ромбом, а вершини ромба, що чергуються, оточують 3 або 4 грані.
Примітки
- The Uniform Polyhedra [ 10 липня 2019 у Wayback Machine.] Roman E. Maeder (1995)
- Steurer, Deloudi, 2009, с. 18-20, 51-53.
- Laughlin, 2014, с. 16-20.
- Archimedean Polyhedra [ 5 липня 2017 у Wayback Machine.] Steven Dutch
- Uniform Polyhedra [ 24 вересня 2015 у Wayback Machine.] Jim McNeill
- Uniform Polyhedra and their Duals [ 5 грудня 2015 у Wayback Machine.] Robert Webb
- Kovič, 2011, с. 491-507.
- 3. General Theorems: Regular and Semi-Regular Tilings [ 23 жовтня 2019 у Wayback Machine.] Kevin Mitchell, 1995
- Resources for Teaching Discrete Mathematics: Classroom Projects, History, modules, and articles, edited by Brian Hopkins
- Vertex Symbol [ 29 листопада 2017 у Wayback Machine.] Robert Whittaker
- Hann, 2012.
- Deza, Shtogrin, 2000, с. 807-814.
- Weisstein, Eric W. Конфігурація вершини(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- Popko, 2012, с. 164.
- Laughlin, 2014, с. 16.
- Weisstein, 1999.
- Grünbaum, Shephard, 1987.
- Cundy, Rollett, 1952.
Література
- Walter Steurer, Sofia Deloudi. Crystallography of Quasicrystals: Concepts, Methods and Structures. — Springer, 2009. — Т. 126. — (Springer series in materials science). — .
- Michel Deza, Mikhail Shtogrin. Uniform Partitions of 3-space, their Relatives and Embedding // Europ. J. Combinatorics. — 2000. — Вип. 21.
- Physical Metallurgy / David E. Laughlin, Kazuhiro Hono. — 5. — Elsevier, 2014. — Т. 1. — .
- Edvard S. Popko. Divided Spheres: Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere. — CRC Press, 2012. — .
- Jurij Kovič. Symmetry-type graphs of Platonic and Archimedean solids // MATHEMATICAL COMMUNICATIONS. — 2011. — Вип. 16. — С. 491-507.
- Eric W. Weisstein. The CRC concise encyclopedia of mathematics. — CRC Press, 1999. — .
- Michael Hann. Structure and Form in Design: Critical Ideas for Creative Practice. — Bloomsbury Academic, 2012. — .
- H. Cundy, A. Rollett. Mathematical Models. — 3rd. — Stradbroke, England : Tarquin Pub, 1952. 3.7 The Archimedean Polyhedra, pp. 101—115. P.118-119 Table I, Nets of Archimedean Duals, V.a.b.c… as vertically-regular symbols.
- Peter Cromwell. Polyhedra. — Cambridge University Press, 1977. The Archimedean solids, p 156—167
- Robert Williams. The Geometrical Foundation of Natural Structure. — Dover Publications, Inc., 1979. — . Uses Cundy-Rollett symbol
- Branko Grünbaum; [en]. Tilings and Patterns. — W. H. Freeman and Company, 1987. — . p58-64, Tilings of regular polygons a.b.c…. (мозаїка з правильних і зірчастих многокутників) p. 95-97, 176, 283, 614—620, Monohedral tiling symbol [v1.v2. … .vr]. p632-642 hollow tilings
- John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass. The Symmetries of Things. — 2008. — . (p289 Vertex figures, використовує кому як роздільник для архімедових тіл і мозаїк)
Посилання
- Consistent Vertex Descriptions [ 16 лютого 2020 у Wayback Machine.] Stella (software), Robert Webb
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ikosododekaedr Vershinna figura podana yak 3 5 3 5 abo 3 5 2 V geometriyi konfiguraciya vershini ce skorochene poznachennya dlya podannya vershinnoyi figuri mnogogrannika abo mozayiki u viglyadi poslidovnosti granej navkolo vershini Dlya odnoridnogo mnogogrannika isnuye tilki odin tip vershin a tomu konfiguraciya vershini povnistyu viznachaye mnogogrannik Hiralni mnogogranniki isnuyut u viglyadi dzerkalnih par z odnakovoyu konfiguraciyeyu vershin Konfiguraciya vershini viznachayetsya yak poslidovnist chisel sho predstavlyayut chislo storin granej yaki otochuyut vershinu Poznachennya a b c poznachaye vershinu z troma granyami bilya neyi i ci grani mayut a b i c storin reber Napriklad 3 5 3 5 poznachaye vershinu sho nalezhit chotirom granyam pochergovo trikutnikam i p yatikutnikam Cya konfiguraciya vershini viznachaye vershinno tranzitivnij ikosododekaedr Poznachennya ciklichne tak sho pochatkova tochka znachennya ne maye Takim chinom 3 5 3 5 ce te zh same sho i 5 3 5 3 Poryadok vazhlivij tak sho 3 3 5 5 ce ne te zh same sho 3 5 3 5 U pershomu vipadku za dvoma poruch roztashovanimi trikutnikami sliduyut dva p yatikutniki Povtoryuvani elementi mozhut buti skorocheni zaznachennyam verhnogo indeksu tak sho nash priklad mozhna zapisati u viglyadi 3 5 2 Poryad z terminom konfiguraciya vershini v riznih dzherelah vikoristovuyut takozh termini vertex description opis vershini vertex type tip vershini vertex symbol simvol vershini vertex arrangement komponuvannya vershini vertex pattern shablon vershini face vector vektor mezhi Dlya konfiguraciyi vershini vikoristovuyetsya krim togo termin simvol Kandi i Rolletta oskilki voni vikoristovuvali konfiguraciyu vershini dlya opisu arhimedovih til u knizi 1952 roku Mathematical Models Matematichni modeli Vershinni figuriDokladnishe Vershinna figura Konfiguraciya vershini mozhe buti podana yak vershinna figura z mnogokutnikiv sho pokazuye grani navkolo vershini Cya vershinna figura maye 3 vimirnu strukturu oskilki grani ne znahodyatsya v odnij ploshini ale dlya vershinno odnoridnih mnogogrannikiv vsi susidni vershini znahodyatsya v odnij ploshini tak sho mozhna vikoristovuvati dlya vizualnogo podannya konfiguraciyi vershini ortogonalnu proyekciyu Varianti i vikoristannyaRegulyarni sitki vershinnih figur p q pq 3 3 33 Defekt 180 3 4 34 Defekt 120 3 5 35 Defekt 60 3 6 36Defekt 0 4 3 Defekt 90 4 4 44Defekt 0 5 3 53 Defekt 36 6 3 63Defekt 0 U vershini maye buti shonajmenshe 3 grani i vershina maye kutovij defekt Kutovij defekt 0 daye mozhlivist pokriti ploshinu pravilnoyu mozayikoyu Za teoremoyu Dekarta chislo vershin dorivnyuye 720 defekt 4pradian defekt Vikoristovuyetsya riznij viglyad zapisu inodi cherez komu inodi cherez krapku Mozhe takozh vikoristovuvatisya verhnij indeks Napriklad 3 5 3 5 inodi zapisuyetsya u viglyadi 3 5 2 Poznachennya mozhe rozglyadatisya yak rozgornuta forma simvolu Shlefli dlya pravilnih mnogogrannikiv Poznachennya Shlefli p q oznachaye q p kutnikiv navkolo kozhnoyi vershini Tak sho p q mozhna zapisati p p p q raziv abo pq Napriklad u ikosaedra 3 5 3 3 3 3 3 abo 35 Cej zapis zastosovnij yak do mnogokutnih mozayik tak i do mnogogrannikiv Ploska konfiguraciya vershini oznachaye odnoridnu mozayiku tak samo yak neploska konfiguraciya vershini oznachaye odnoridnij mnogogrannik Poznachennya ne odnoznachne dlya hiralnih vidiv Napriklad kirpatij kub maye formi identichni pri dzerkalnomu vidobrazhenni Obidvi formi mayut konfiguraciyu vershini 3 3 3 3 4 Zirchasti mnogokutnikiPoznachennya zastosovuyetsya takozh do neopuklih pravilnih granej zirchastih mnogokutnikiv Napriklad pentagrama maye simvol 5 2 sho oznachaye sho mnogokutnik maye 5 storin yaki obhodyat centr dva razi Napriklad isnuye 4 pravilni zirchasti mnogogranniki z pravilnimi mnogokutnikami abo zirchastimi vershinnimi figurami Malij zirchastij dodekaedr maye simvol Shlefli 5 2 5 yakij rozgortayetsya v yavnu konfiguraciyu vershini 5 2 5 2 5 2 5 2 5 2 sho mozhna podati u viglyadi 5 2 5 Velikij zirchastij dodekaedr z simvolom 5 2 3 maye trikutnu vershinnu figuru i konfiguraciyu 5 2 5 2 5 2 abo 5 2 3 Velikij dodekaedr z simvolom 5 5 2 maye pentagramnu vershinnu figuru z konfiguraciyeyu vershini 5 5 5 5 5 2 abo 55 2 Velikij ikosaedr z simvolom 3 5 2 takozh maye pentagramnu vershinnu figuru z konfiguraciyeyu vershini 3 3 3 3 3 2 abo 35 2 5 2 5 5 2 5 5 2 3 5 2 3 en en 34 5 2 2 5 5 2 55 2 3 5 2 35 2 en en en Vsi odnoridni konfiguraciyi vershin pravilnih opuklih mnogokutnikivNapivpravilni mnogogranniki mayut konfiguraciyu vershin z dodatnim kutovim defektom Primitka Vershinna figura mozhe predstavlyati pravilnu abo napivpravilnu mozayiku na ploshini yaksho yiyi defekt dorivnyuye nulyu Vershinna figura mozhe predstavlyati mozayiku na giperbolichnij ploshini yaksho yiyi defekt vid yemnij Dlya odnoridnih mnogogrannikiv kutovij defekt mozhna vikoristovuvati dlya obchislennya chisla vershin Teorema Dekarta stverdzhuye sho suma vsih kutovih defektiv na topologichnij sferi povinna dorivnyuvati 4p radian abo 720 Oskilki v odnoridnogo mnogogrannika vsi vershini identichni ce vidnoshennya dozvolyaye nam rozrahuvati chislo vershin yake dorivnyuye chastci 4p defekt abo 720 defekt Priklad zrizanij kub 3 8 8 maye kutovij defekt 30 Takim chinom mnogogrannik maye 720 30 24 vershin Zokrema zvidsi viplivaye sho a b maye 4 2 b 1 2 a vershin Bud yaka chislova konfiguraciya vershini potencijno odnoznachno viznachaye napivpravilnij mnogogrannik Odnak ne vsi konfiguraciyi mozhlivi Topologichni vimogi obmezhuyut isnuvannya mnogogrannika Zokrema p q r oznachaye sho p kutnik otochenij popereminno q kutnikami i r kutnikami tak sho abo p parne abo q dorivnyuye r Tak samo q parno abo p dorivnyuye r r parno abo p dorivnyuye q Takim chinom potencijno mozhlivimi trijkami budut 3 3 3 3 4 4 3 6 6 3 8 8 3 10 10 3 12 12 4 4 n dlya bud yakogo n gt 2 4 6 6 4 6 8 4 6 10 4 6 12 4 8 8 5 5 5 5 6 6 6 6 6 Faktichno vsi ci konfiguraciyi z troma granyami sho zustrichayutsya v odnij vershini isnuyut Tak samo koli chotiri grani zustrichayutsya v odnij vershini p q r s yaksho odne z chisel neparne inshi povinni buti rivnimi Chislo v duzhkah ce chislo vershin obchislene za kutovim defektom Trijki pravilni tila 3 3 3 4 4 4 4 8 5 5 5 20 prizmi 3 4 4 6 4 4 4 8 perelichena takozh vishe 4 4 n 2n arhimedovi tila 3 6 6 12 3 8 8 24 3 10 10 60 4 6 6 24 4 6 8 48 4 6 10 120 5 6 6 60 pravilna mozayika 6 6 6 napivpravilni mozayiki en en ru Chetvirki pravilne tilo 3 3 3 3 6 antiprizmy 3 3 3 3 6 perelichena takozh vishe 3 3 3 n 2n arhimedovi tila 3 4 3 4 12 3 5 3 5 30 3 4 4 4 24 3 4 5 4 60 pravilna mozayika 4 4 4 4 napivpravilni mozayiki ru en P yatirki pravilne tilo 3 3 3 3 3 12 arhimedovi tila 3 3 3 3 4 24 3 3 3 3 5 60 obidva hiralni napivpravilni mozayiki 3 3 3 3 6 en hiralni en ru zauvazhte sho dva rizni poryadki tih samih chisel dayut rizni mozayiki Shistki pravilna mozayika 3 3 3 3 3 3Konfiguraciya graniRombododekaedr Dvoyisti odnoridnim mnogogrannikam katalanovi tila vklyuchno z bipiramidami i trapecoedrami ye vertikalno pravilnimi tranzitivnimi za granyami a tomu mozhut buti identifikovani podibnoyu notaciyeyu yaku inodi nazivayut konfiguraciyeyu grani Kandi i Rollett Cundy Rollett stavlyat pered cimi podvijnimi poznachennyami simvol V A v knizi Tilings and Patterns dlya izoedralnih mozayik vikoristovuyutsya kvadratni duzhki Ce poznachennya predstavlyaye poslidovne chislo granej bilya kozhnoyi vershini navkolo grani Napriklad V3 4 3 4 abo V 3 4 2 predstavlyayut rombododekaedr yakij tranzitivnij za granyami bud yaka mezha ye rombom a vershini romba sho cherguyutsya otochuyut 3 abo 4 grani PrimitkiThe Uniform Polyhedra 10 lipnya 2019 u Wayback Machine Roman E Maeder 1995 Steurer Deloudi 2009 s 18 20 51 53 Laughlin 2014 s 16 20 Archimedean Polyhedra 5 lipnya 2017 u Wayback Machine Steven Dutch Uniform Polyhedra 24 veresnya 2015 u Wayback Machine Jim McNeill Uniform Polyhedra and their Duals 5 grudnya 2015 u Wayback Machine Robert Webb Kovic 2011 s 491 507 3 General Theorems Regular and Semi Regular Tilings 23 zhovtnya 2019 u Wayback Machine Kevin Mitchell 1995 Resources for Teaching Discrete Mathematics Classroom Projects History modules and articles edited by Brian Hopkins Vertex Symbol 29 listopada 2017 u Wayback Machine Robert Whittaker Hann 2012 Deza Shtogrin 2000 s 807 814 Weisstein Eric W Konfiguraciya vershini angl na sajti Wolfram MathWorld Popko 2012 s 164 Laughlin 2014 s 16 Weisstein 1999 Grunbaum Shephard 1987 Cundy Rollett 1952 LiteraturaWalter Steurer Sofia Deloudi Crystallography of Quasicrystals Concepts Methods and Structures Springer 2009 T 126 Springer series in materials science ISBN 978 3 642 01898 5 Michel Deza Mikhail Shtogrin Uniform Partitions of 3 space their Relatives and Embedding Europ J Combinatorics 2000 Vip 21 Physical Metallurgy David E Laughlin Kazuhiro Hono 5 Elsevier 2014 T 1 ISBN 978 0 444 59598 0 Edvard S Popko Divided Spheres Geodesics and the Orderly Subdivision of the Sphere CRC Press 2012 ISBN 978 1 4665 0430 1 Jurij Kovic Symmetry type graphs of Platonic and Archimedean solids MATHEMATICAL COMMUNICATIONS 2011 Vip 16 S 491 507 Eric W Weisstein The CRC concise encyclopedia of mathematics CRC Press 1999 ISBN 0 8493 9640 9 Michael Hann Structure and Form in Design Critical Ideas for Creative Practice Bloomsbury Academic 2012 ISBN 9781847887429 H Cundy A Rollett Mathematical Models 3rd Stradbroke England Tarquin Pub 1952 3 7 The Archimedean Polyhedra pp 101 115 P 118 119 Table I Nets of Archimedean Duals V a b c as vertically regular symbols Peter Cromwell Polyhedra Cambridge University Press 1977 The Archimedean solids p 156 167 Robert Williams The Geometrical Foundation of Natural Structure Dover Publications Inc 1979 ISBN 0 486 23729 X Uses Cundy Rollett symbol Branko Grunbaum en Tilings and Patterns W H Freeman and Company 1987 ISBN 0 7167 1193 1 p58 64 Tilings of regular polygons a b c mozayika z pravilnih i zirchastih mnogokutnikiv p 95 97 176 283 614 620 Monohedral tiling symbol v1 v2 vr p632 642 hollow tilings John H Conway Heidi Burgiel Chaim Goodman Strass The Symmetries of Things 2008 ISBN 978 1 56881 220 5 p289 Vertex figures vikoristovuye komu yak rozdilnik dlya arhimedovih til i mozayik PosilannyaConsistent Vertex Descriptions 16 lyutogo 2020 u Wayback Machine Stella software Robert Webb