Рівномірний простір

У загальній топології поняття рівномірної структури і рівномірного простору дозволяють узагальнити такі поняття аналізу і, зокрема метричних просторів, як рівномірна збіжність, рівномірна неперервність, повнота на більш широкий клас топологічних просторів. Поняття вперше було введене у 1937 році французьким математиком Андре Вейлем.

Означення

За допомогою оточень

Рівномірним простором називається множина з заданою на ній рівномірною структурою. Рівномірною структурою на множині ${\displaystyle X}$ називається непуста сім'я ${\displaystyle \Phi }$ підмножин ${\displaystyle U\subseteq X\times X}$, які задовольняють такі аксіоми:

1. Якщо ${\displaystyle U\in \Phi }$, тоді ${\displaystyle \Delta \subseteq U}$, де ${\displaystyle \Delta =\{(x,x):x\in X\}}$, тобто будь-яка множина містить діагональ.
2. Якщо ${\displaystyle U\in \Phi }$ і ${\displaystyle U\subseteq V}$ для ${\displaystyle V\subseteq X\times X}$, то також ${\displaystyle V\in \Phi }$.
3. Якщо ${\displaystyle U\in \Phi }$ і ${\displaystyle V\in \Phi }$, то ${\displaystyle U\cap V\in \Phi }$. Разом із попередньою властивістю це означає, що ${\displaystyle \Phi }$ є фільтром на ${\displaystyle X\times X}$.
4. Якщо ${\displaystyle U\in \Phi }$, то існує ${\displaystyle V\in \Phi }$, таке що ${\displaystyle V\circ V\subseteq U}$, де ${\displaystyle V\circ U=\{(x,z):\exists y\in X:(x,y)\in U\wedge (y,z)\in V\}}$.)
5. Якщо ${\displaystyle U\in \Phi }$, то ${\displaystyle U^{-1}\in \Phi }$, де ${\displaystyle U^{-1}=\{(y,x):(x,y)\in U\}}$.

Елементи сім'ї ${\displaystyle \Phi }$ називаються оточеннями (іноді використовується французький термін антураж).

Фундаментальною системою оточень або базою оточень називається сім'я множин ${\displaystyle B\subset \Phi }$ така, що кожне оточення містить деяку множину з ${\displaystyle B}$

За допомогою системи покриттів

Рівномірна структура на множині ${\displaystyle X}$ може бути визначена також шляхом задання на ${\displaystyle X}$ системи покриттів, що задовольняє наступним аксіомам.

Рівномірним простором ${\displaystyle (X,\Theta )}$ називається множина ${\displaystyle X}$ із сім'єю покриттів ${\displaystyle \Theta }$, що називаються рівномірними покриттями і утворюють фільтр щодо так званого зірчастого упорядкування. За означенням для покриттів ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$:

${\displaystyle P<^{\star }Q\Leftrightarrow \forall A\in P\ \ \exists U\in Q:\,\forall B\in P:A\cap B\neq \emptyset \Rightarrow B\subseteq U}$.

Аксіоматично сім'я покриттів ${\displaystyle \Theta }$ має задовольняти умови:

1. ${\displaystyle \{X\}}$ є рівномірним покриттям (тобто ${\displaystyle \{X\}\in \Theta }$).
2. Якщо ${\displaystyle P<^{\star }Q}$ і ${\displaystyle P}$ є рівномірним покриттям , то ${\displaystyle Q}$ теє є рівномірним покриттям.
3. Якщо ${\displaystyle P}$ і ${\displaystyle Q}$ є рівномірними покриттями, то існує таке рівномірне покриття ${\displaystyle R}$, що ${\displaystyle R<^{\star }P}$ і ${\displaystyle R<^{\star }Q}$.

Якщо рівномірна структура на ${\displaystyle X}$ задана системою оточень ${\displaystyle \Phi }$, то система ${\displaystyle \Theta }$ рівномірних покриттів ${\displaystyle X}$ може бути побудована так. Для будь-якого ${\displaystyle V\in \Phi }$ сім'я ${\displaystyle \alpha (V)=\{V(x):x\in X)\}}$ (де ${\displaystyle V(x)=\{y:(x,y)\in V\}}$) є покриттям ${\displaystyle X}$. Покриття ${\displaystyle P}$ належить ${\displaystyle \Theta }$ тоді і тільки тоді, коли ${\displaystyle \alpha (V)<^{\star }P}$ для деякого оточення ${\displaystyle V\in \Phi }$. Навпаки для системи рівномірних покриттів ${\displaystyle \Theta }$ систему оточень утворюють множини виду ${\displaystyle \bigcup _{P}\{A\times A:A\in P\},\ P\in \Theta }$ , і всілякі множини, що їх містять.

За допомогою псевдометрик

Рівномірні простори можна ввести за допомогою псевдометрик, що особливо часто використовується у функціональному аналізі. Для псевдометрики ${\displaystyle f:X\times X\rightarrow \mathbb {R} }$, для різних додатних дійсних чисел ${\displaystyle a}$ множини ${\displaystyle U_{a}=f^{-1}([0,a])}$ утворюють фундаментальну систему оточень. Породжена цією фундаментальною системою оточень рівномірна система називається рівномірною системою породженою псевдометрикою ${\displaystyle f.}$

Для сім'ї псевдометрик ${\displaystyle \{f_{i}\}_{i\in I}}$ рівномірна структура породжена сім'єю ${\displaystyle \{f_{i}\}}$ за означенням є рівною точній верхній границі рівномірних структур породжених кожною псевдометрикою. Фундаментальна система оточень для такої рівномірної структури отримується за допомогою перетинів різних скінченних множин оточень заданих окремими псевдометриками.

Якщо сім'я псевдометрик є скінченною то породжена нею рівномірна структура може бути породженою єдиною псевдометрикою. Також якщо для рівномірної структури існує зліченна фундаментальна система оточень то вона може бути породженою єдиною псевдометрикою. В загальному випадку довільна рівномірна структура може бути породженою деякою (не обов'язково зліченною) сім'єю псевдометрик.

Приклади

• Будь-який метричний простір ${\displaystyle (M,d)}$ є рівномірним простором. Зокрема це випливає з того, що кожна метрика є псевдометрикою. Фундаментальною системою оточень є, наприклад, множини виду

  ${\displaystyle \qquad U_{a}\triangleq d^{-1}([0,a])=\{(m,n)\in M\times M:d(m,n)\leq a\}.}$

  Ця рівномірна структура на ${\displaystyle M}$ породжує звичайну топологію метричного простору на ${\displaystyle M}$. Натомість існує багато різних рівномірних структур, що породжують однакову топологію на ${\displaystyle M}$. Наприклад добутки метрик на скаляр породжують одну рівномірну структуру. Якщо рівномірна структура є породженою деякою метрикою, то вона називається метризовною. Рівномірна структура є метризовною тоді і тільки тоді коли вона має зліченну фундаментальну систему оточень.

• Нехай ${\displaystyle d_{1}(x,y)=|x-y|}$ — звичайна метрика на ${\displaystyle \mathbb {R} }$ і ${\displaystyle d_{1}(x,y)=|e^{x}-e^{y}|}$. Обидві метрики породжують стандартну топологію на ${\displaystyle \mathbb {R} }$, проте породжені ними рівномірні структури є різними, оскільки, наприклад, ${\displaystyle \{(x,y):|x-y|<1\}}$ є оточенням в рівномірній структурі для ${\displaystyle d_{1}}$ але не для ${\displaystyle d_{2}}$.

• Кожна топологічна група ${\displaystyle G}$ (зокрема, кожен топологічний векторний простір) є рівномірним простором якщо прийняти, що підмножина ${\displaystyle V\subset G\times ;G}$ є оточенням якщо і тільки якщо вона містить множину ${\displaystyle \{(x,y):xy^{-1}\in U\}}$ для деякого околу ${\displaystyle U}$ одиничного елемента групи ${\displaystyle G}$. Ця рівномірна структура на ${\displaystyle G}$ називається правою рівномірною структурою на ${\displaystyle G}$, оскільки для кожного елемента ${\displaystyle a\in G}$, праве множення ${\displaystyle x\to xa}$ є рівномірно неперервним щодо цієї рівномірної структура. Також можна ввести ліву рівномірну структуру на ${\displaystyle G}$; вони можуть не співпадати але породжують однакову топологію на ${\displaystyle G}$.
• Для кожної топологічної групи ${\displaystyle G}$ і її підгрупи ${\displaystyle H}$ множина лівих класів суміжності ${\displaystyle G/H}$ є рівномірним простором щодо рівномірної структури фундаментальну систему оточень якої утворюють множини ${\displaystyle {\tilde {U}}=\{(s,t)\in G/H\times G/H:\ \ t\in U\cdot s\}}$, де ${\displaystyle U}$ пробігає всі околи одиниці в ${\displaystyle G}$. Породжена топологія на ${\displaystyle G/H}$ при цьому є еквівалентною фактортопології відображення ${\displaystyle G\to G/H}$.

Топологія породжена рівномірною структурою

Будь-яка рівномірна структура ${\displaystyle \Phi }$ на множині ${\displaystyle X}$ породжує топологію. Її системою околів є ${\displaystyle \forall x\in E,\ {\mathcal {V}}(x)=\{V(x)\}_{V\in \Phi }}$.

• ${\displaystyle {\mathcal {V}}(a)}$ є непустою оскільки сім'я оточень є непустою. ${\displaystyle a}$ належить всім множинам із ${\displaystyle {\mathcal {V}}(a)}$, оскільки кожне оточення містить діагональ.
• Довільна множина, що містить елемент ${\displaystyle {\mathcal {V}}(a)}$ теж є елементом ${\displaystyle {\mathcal {V}}(a)}$ оскільки довільна множина, що містить оточення теж є оточенням.
• Усі елементи ${\displaystyle A}$ у ${\displaystyle {\mathcal {V}}(a)}$ містять множину ${\displaystyle B}$ з ${\displaystyle {\mathcal {V}}(a)}$ таку що ${\displaystyle A}$ є околом усіх точок мнодини ${\displaystyle B}$ :
  Припустимо, що ${\displaystyle A=V(a)}$ для деякого оточення ${\displaystyle V}$ і ${\displaystyle B=W(a)}$, для оточення ${\displaystyle W}$ для якого ${\displaystyle W\circ W\subset V}$. Тоді :
  • ${\displaystyle B\subset A}$ оскільки ${\displaystyle W\subset W\circ W\subset V}$ (те що ${\displaystyle W}$ є підмножиною ${\displaystyle W\circ W}$ випливає з того, що ${\displaystyle W}$ містить діагональ) ;
  • для всіх ${\displaystyle b\in B}$ і всіх ${\displaystyle x\in W(b)}$, ${\displaystyle (a,x)\in W\circ W\subset V}$ для ${\displaystyle x\in A}$ : тому, ${\displaystyle A}$ містить ${\displaystyle W(b)}$ і тому ${\displaystyle A\in {\mathcal {V}}(b)}$.
• Перетин двох елементів ${\displaystyle {\mathcal {V}}(a)}$ є елементом ${\displaystyle {\mathcal {V}}(a)}$ оскільки перетин двох оточень є оточенням.

Топологія з цією системою околів називається топологією породженою рівномірною структурою ${\displaystyle \Phi }$.

Якщо топологія породжується рівномірною структурою то вона є цілком регулярною (не обов'язково гаусдорфовою). Особливе значення має випадок коли ця топологія є гаусдорфовою. У термінах оточень еквівалентною умовою є коли перетин всіх оточень є рівним діагоналі множини. У термінах систем рівномірних покриттів еквівалентною умовою є те, що для довільних двох точок множини ${\displaystyle X}$ існує рівномірне покриття жодна множина якого не містить одночасно дві ці точки. Якщо топологія породжується рівномірною структурою то насправді всі ці умови випливають з того, що дана топологія є ${\displaystyle T_{0}}$-топологією. Рівномірна структура для якої справедливими є всі ці еквівалентні властивості називається віддільною.

Навпаки будь-яка цілком регулярна гаусдорфова топологія на ${\displaystyle X}$ породжується деякою віддільною рівномірною структурою.

Як правило, існує багато різних рівномірних структур, що породжують однакову топологію на ${\displaystyle X}$. Зокрема, метризовна топологія може породжуватися неметризовною віддільною рівномірною структурою.

Топологія компактного гаусдорфового простору ${\displaystyle X}$ завжди породжується рівномірною структурою. Ця структура є єдиною і є рівною системі околів простору ${\displaystyle X\times X}$.

Рівномірна неперервність

Докладніше: Рівномірна неперервність

Відображення ${\displaystyle f:X\to Y}$ рівномірного простору ${\displaystyle X}$ в рівномірний простір ${\displaystyle Y}$ називається рівномірно неперервним, якщо для будь-якого рівномірного покриття ${\displaystyle P}$ простору ${\displaystyle Y}$ система ${\displaystyle f^{-1}P=\{f^{-1}U:U\in P\}}$ є рівномірним покриттям ${\displaystyle X}$. Еквівалентно, якщо прообраз будь-якого оточення в ${\displaystyle Y}$ є оточенням в ${\displaystyle X}$.

Будь-яке рівномірно неперервне відображення є неперервним відносно топології, породженої рівномірними структурами на ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$. Будь-яке неперервне відображення із компактного гаусдорфового простору (який має єдину неперервну структуру, що узгоджується з топологією) у рівномірний простір є рівномірно неперервним.

Якщо рівномірні структури на ${\displaystyle X}$ і ${\displaystyle Y}$ породжуються метриками, то рівномірно неперервне відображення ${\displaystyle f:X\to Y}$ є рівномірно неперервним в класичному сенсі як відображення метричних просторів.

Нехай ${\displaystyle M}$ — підмножина рівномірного простору ${\displaystyle (X,\Phi )}$. Система оточень ${\displaystyle \Phi _{M}=\{(M\times M)\cap V:\,V\in \Phi \}}$ визначає рівномірну структуру на ${\displaystyle M}$. Пара ${\displaystyle (M,\Phi _{M})}$ називається підпростором рівномірного простору ${\displaystyle (X,\Phi )}$. Відображення ${\displaystyle f:X\to Y}$ рівномірного простору ${\displaystyle (X,\Phi )}$ в рівномірний простір ${\displaystyle (Y,\Phi ')}$ називається рівномірним вкладенням, якщо ${\displaystyle f}$ є ін'єктивним, рівномірно неперервним і обернене відображення ${\displaystyle f^{-1}:(fX,\Phi _{fX}')\to (X,\Phi )}$ також є рівномірно неперервним.

Повнота

Рівномірний простір ${\displaystyle X}$ називається повним, якщо будь-який фільтр Коші ${\displaystyle F}$ в ${\displaystyle X}$ (тобто такий фільтр, що для кожного оточення ${\displaystyle V\in \Psi }$ існує множина ${\displaystyle A\in F}$, така що ${\displaystyle (x,y)\in V}$ для всіх ${\displaystyle x,y\in A}$) має границю. Метризовний рівномірний простір є повним тоді і тільки тоді, коли метрика, що породжує його рівномірну структуру є повною. Будь-яке рівномірно неперервне відображення із щільної підмножини рівномірного простору у повний рівномірний простір може бути продовжене до рівномірного відображення на усьому просторі.

Будь-який рівномірний простір ${\displaystyle (X,\Psi )}$ може бути рівномірно вкладений як всюди щільна підмножина в єдиний (з точністю до рівномірного ізоморфізму) повний рівномірний гаусдорфів простір ${\displaystyle ({\bar {X}},{\bar {\Psi }})}$, який називається поповненням ${\displaystyle (X,\Psi )}$ і для якого існує вкладення ${\displaystyle i:X\to {\bar {X}}}$, таке що для будь якого рівномірного відображення ${\displaystyle f:X\to Y}$ між рівномірними просторами існує єдине рівномірне відображення ${\displaystyle g:{\bar {X}}\to Y}$, таке що ${\displaystyle f=g\circ i}$.

Топологія поповнення рівномірного простору ${\displaystyle (X,\Psi )}$ є компактною тоді і тільки тоді, коли неперервна структура є цілком обмеженою рівномірною структурою (тобто для будь-якого рівномірного покриття існує скінченне рівномірне покриття, що є меншим щодо зірчастого порядку). В цьому випадку поповнення є компактифікацією простору ${\displaystyle X}$ і називається розширенням Самюеля простору ${\displaystyle X}$ щодо рівномірної структури ${\displaystyle \Psi }$. Для будь-якої компактифікації ${\displaystyle bX}$ простору ${\displaystyle X}$ існує єдина цілком обмежена рівномірна структура на ${\displaystyle X}$, розширення Самюеля щодо якої збігається з ${\displaystyle bX}$.

Джерела

• Бурбакі Н. Загальна топологія: Основні структури. — 3-е. — М. : Наука, 1968. — С. 276. — (Елементи математики)(рос.)
• Isbell, John R. (1964). Uniform Spaces. Mathematical Surveys and Monographs. American Mathematical Society. ISBN .
• James, I. M. (1990). Introduction to Uniform Spaces. Cambridge, UK: Cambridge University Press. ISBN .
• James, I. M. (1987). Topological and Uniform Spaces. Undergraduate texts in mathematics. Springer. ISBN .
• André Weil, Sur les espaces à structure uniforme et sur la topologie générale, Act. Sci. Ind. 551, Paris, 1937