Ряд обернених простих чисел розбіжний. Тобто:
Цей факт довів Леонард Ейлер 1737 року, що посилило результат Евкліда (III століття до н. е.), що існує нескінченно багато простих чисел.
Існує низка доведень результату Ейлера, включно з оцінкою нижньої межі часткових сум, яка стверджує, що
для всіх натуральних чисел n. Подвійний натуральний логарифм (ln ln) свідчить про те, що розбіжність ряду дуже повільна. Див. статтю Константа Майсселя — Мертенса.
Гармонічний ряд
Розбіжність даного ряду довів Ейлер. Для цього він розглянув гармонічний ряд:
А також таку «тотожність», за допомогою якої він також показав, що множина простих чисел нескінченна:
Тут добуток береться за всіма простими числами. Такі нескінченні добутки сьогодні називають [en]. Добуток вище є відображенням основної теореми арифметики. Ейлер зауважив, що якби кількість простих чисел була скінченною, то добуток праворуч мав би збігатися, що суперечить розбіжності гармонічного ряду.
Доведення
Доведення Ейлера
Продовжуючи міркування, описані вище, Ейлер взяв натуральний логарифм від кожного з боків. Потім він використав розклад у ряд Тейлора , а також збіжність обернених степеневих рядів:
з фіксованою константою K < 1. Потім він використав властивість
виведення якої від пояснив, наприклад, у пізнішій роботі 1748 року, присвоєнням x = 1 у розкладі Тейлора
Це дозволило йому зробити висновок, що
Імовірно, Ейлер мав на увазі, що сума величин, обернених до простих чисел менших від n, асимптотично зростає як ln ln n при прямуванні n до нескінченності. Виявилося, що це справді так і точнішу версію цього факту строго довів Франц Мертенс 1874 року. Ейлер же отримав правильний результат за допомогою нестрогих методів.
Доведення Ердеша оціненням зверху і знизу
Наступне доведення від супротивного належить Палу Ердешу.
Нехай pi означає i-е просте число. Уявімо, що сума величин, обернених до простих чисел, збіжна. Тобто,
Тоді існує найменше додатне ціле число k, таке, що
Для додатного цілого x нехай Mx означає множину n з набору {1, 2, …, x}, які не діляться на будь-яке просте, більше від pk (або, еквівалентно, всі , які є добутком ступенів простих чисел ). Ми можемо тепер вивести верхню і нижню оцінку , числа елементів у . Для великих x ці межі приводять до суперечності.
Оцінка зверху:
- Будь-яке n у Mx можна записати у вигляді з додатними цілими m іr деr — вільне від квадратів число. Бо тільки k простих може бути (з показником 1) у розкладі на прості числа r, є не більше 2k різних можливостей для r. Більш того, є не більше можливих значень для m. Це дає верхню оцінку
Оцінка знизу:
- Решта чисел у різниці множин{1, 2, …, x} \ Mx всі діляться на прості числа, більші від . Нехай означає множину таких n з{1, 2, …, x}, які діляться наi-е просте . Тоді
- Оскільки число цілих чисел не перевершує (насправді, дорівнює нулю для ), отримуємо
- Використовуючи (1), звідси отримуємо
Маємо суперечність: якщо , оцінки (2) та (3) не можуть виконуватися одночасно, оскільки .
Доведення того, що ряд зростає зі швидкістю log-log
Існує інше доведення, яке дає нижню оцінку часткових сум. Зокрема, показує, що ці суми зростають щонайменше як ln ln n. Доведення є варіантом Ейлерової ідеї розкладання добутку. Далі в тексті суми або добутки p завжди є сумами або добутками за певними множинами простих чисел.
Доведення спирається на чотири нерівності:
- Будь-яке додатне цілеi можна єдиним чином подати у вигляді добутку вільних від квадратів чисел та квадрата. Це дає нерівність
- ,
- де для будь-якогоi між 1 та n (розкладений) добуток відповідає вільній від квадратів частині числаi, а сума відповідає квадратній частині числаi (див. статтю Основна теорема арифметики).
- Верхня оцінка натурального логарифма
- Нижня оцінка1 + x < exp(x) для показникової функції виконується для всіх x > 0.
- Нехай . Верхня межа (використовуємо телескопічний ряд) для часткових сум
Комбінуючи всі ці нерівності, отримуємо
Після ділення на та взяття натурального логарифма від обох частин отримаємо
- ,
що й потрібно було довести. ∎
Використовуючи
(Див. Базельська задача), константу вище можна покращити до . Фактично, виявляється що
- ,
де — стала Майсселя — Мертенса (щось подібне до відомішої сталої Ейлера — Маскероні).
Доведення з нерівності Дюзара
З нерівності Дюзара маємо
- для
Тоді
згідно з інтегральною ознакою збіжності Коші — Маклорена. Це показує, що ряд зліва розбіжний.
Часткові суми
Хоча часткові суми величин, обернених до простих чисел, врешті-решт перевищують будь-яке ціле значення, вони ніколи не можуть дорівнювати цілому числу.
Одне з доведень цього виконується за індукцією: перша часткова сума дорівнює і вона має вигляд (тобто непарне/парне). Якщо n-а часткова сума (для ) має вигляд , то -а сума дорівнює
оскільки -е просте число непарне. Оскільки сума знову має вигляд , часткова сума не може бути цілим числом (знаменник ділиться на 2, але чисельник не ділиться), що й доводить твердження.
В іншому доведенні вираз для суми значень, обернених до перших n простих чисел, (або суми обернених значень будь-якої множини простих чисел) записується з найменшим спільним знаменником, який є добутком усіх цих простих чисел. Тоді кожне з цих простих чисел ділить усі члени чисельника, крім одного, а тому не ділить чисельник у цілому. Але кожне просте ділить знаменник. Таким чином, дріб нескоротний і не є цілим числом.
Див. також
- Теорема Евкліда, яка свідчить, що існує безліч простих чисел.
- Теорема Бруна про збіжність суми значень, обернених до простих чисел-близнюків, до константи Бруна.
Примітки
- Euler, 1737, с. 160–188.
- Euler, 1748, с. 228, ex. 1.
- Mertens, 1874, с. 46–62.
- Lord, 2015, с. 128–130.
Література
- William Dunham. Euler The Master of Us All. — MAA, 1999. — P. 61–79. — .
- Leonhard Euler. Various observations concerning infinite series // Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae. — 1737. — Т. 9.
- Leonhard Euler. Introductio in analysin infinitorum. Tomus Primus. — Lausanne : Bousquet, 1748.
- Mertens F. Ein Beitrag zur analytischer Zahlentheorie // J. Reine Angew. Math.. — 1874. — Т. 78.
- Nick Lord. Quick proofs that certain sums of fractions are not integers // The Mathematical Gazette. — 2015. — Т. 99. — DOI: .
Посилання
- Caldwell, Chris K. There are infinitely many primes, but, how big of an infinity?.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Ryad obernenih prostih chisel rozbizhnij Tobto Suma velichin obernenih do prostih chisel neobmezheno zrostaye Vis x podano v logarifmichnomu masshtabi sho pokazuye sho rozbizhnist duzhe povilna Chervona liniya ye nizhnoyu ocinkoyu i tezh zrostaye neobmezheno p prime 1 p 1 2 1 3 1 5 1 7 1 11 1 13 1 17 displaystyle sum p text prime frac 1 p frac 1 2 frac 1 3 frac 1 5 frac 1 7 frac 1 11 frac 1 13 frac 1 17 cdots infty Cej fakt doviv Leonard Ejler 1737 roku sho posililo rezultat Evklida III stolittya do n e sho isnuye neskinchenno bagato prostih chisel Isnuye nizka doveden rezultatu Ejlera vklyuchno z ocinkoyu nizhnoyi mezhi chastkovih sum yaka stverdzhuye sho p prime p n 1 p ln ln n 1 ln p 2 6 displaystyle sum scriptstyle p text prime atop scriptstyle p leq n frac 1 p geqslant ln ln n 1 ln frac pi 2 6 dlya vsih naturalnih chisel n Podvijnij naturalnij logarifm ln ln svidchit pro te sho rozbizhnist ryadu duzhe povilna Div stattyu Konstanta Majsselya Mertensa Garmonichnij ryadRozbizhnist danogo ryadu doviv Ejler Dlya cogo vin rozglyanuv garmonichnij ryad n 1 1 n 1 1 2 1 3 1 4 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n 1 frac 1 2 frac 1 3 frac 1 4 cdots infty A takozh taku totozhnist za dopomogoyu yakoyi vin takozh pokazav sho mnozhina prostih chisel neskinchenna n 1 1 n p 1 1 p 1 p 2 p 1 1 p 1 displaystyle sum n 1 infty frac 1 n prod p left 1 frac 1 p frac 1 p 2 cdots right prod p frac 1 1 p 1 Tut dobutok beretsya za vsima prostimi chislami Taki neskinchenni dobutki sogodni nazivayut en Dobutok vishe ye vidobrazhennyam osnovnoyi teoremi arifmetiki Ejler zauvazhiv sho yakbi kilkist prostih chisel bula skinchennoyu to dobutok pravoruch mav bi zbigatisya sho superechit rozbizhnosti garmonichnogo ryadu DovedennyaDovedennya Ejlera Prodovzhuyuchi mirkuvannya opisani vishe Ejler vzyav naturalnij logarifm vid kozhnogo z bokiv Potim vin vikoristav rozklad u ryad Tejlora ln 1 x x x 2 2 x 3 3 x 4 4 textstyle ln 1 x x frac x 2 2 frac x 3 3 frac x 4 4 dots a takozh zbizhnist obernenih stepenevih ryadiv ln n 1 1 n ln p 1 1 p 1 p ln 1 1 p p 1 p 1 2 p 2 1 3 p 3 p 1 p 1 2 p 1 p 2 1 3 p 1 p 3 1 4 p 1 p 4 A 1 2 B 1 3 C 1 4 D A K displaystyle begin aligned ln left sum n 1 infty frac 1 n right amp ln left prod p frac 1 1 p 1 right sum p ln left 1 frac 1 p right amp sum p left frac 1 p frac 1 2p 2 frac 1 3p 3 cdots right amp sum p frac 1 p frac 1 2 sum p frac 1 p 2 frac 1 3 sum p frac 1 p 3 frac 1 4 sum p frac 1 p 4 cdots amp A frac 1 2 B frac 1 3 C frac 1 4 D cdots amp A K end aligned z fiksovanoyu konstantoyu K lt 1 Potim vin vikoristav vlastivist n 1 1 n ln displaystyle sum n 1 infty frac 1 n ln infty vivedennya yakoyi vid poyasniv napriklad u piznishij roboti 1748 roku prisvoyennyam x 1 u rozkladi Tejlora ln 1 1 x n 1 x n n displaystyle ln left frac 1 1 x right sum n 1 infty frac x n n Ce dozvolilo jomu zrobiti visnovok sho A 1 2 1 3 1 5 1 7 1 11 ln ln displaystyle A frac 1 2 frac 1 3 frac 1 5 frac 1 7 frac 1 11 cdots ln ln infty Imovirno Ejler mav na uvazi sho suma velichin obernenih do prostih chisel menshih vid n asimptotichno zrostaye yak ln ln n pri pryamuvanni n do neskinchennosti Viyavilosya sho ce spravdi tak i tochnishu versiyu cogo faktu strogo doviv Franc Mertens 1874 roku Ejler zhe otrimav pravilnij rezultat za dopomogoyu nestrogih metodiv Dovedennya Erdesha ocinennyam zverhu i znizu Nastupne dovedennya vid suprotivnogo nalezhit Palu Erdeshu Nehaj pi oznachaye i e proste chislo Uyavimo sho suma velichin obernenih do prostih chisel zbizhna Tobto i 1 1 p i lt displaystyle sum i 1 infty frac 1 p i lt infty Todi isnuye najmenshe dodatne cile chislo k take sho i k 1 1 p i lt 1 2 1 displaystyle sum i k 1 infty frac 1 p i lt frac 1 2 qquad 1 Dlya dodatnogo cilogo x nehaj Mx oznachaye mnozhinu n z naboru 1 2 x yaki ne dilyatsya na bud yake proste bilshe vid pk abo ekvivalentno vsi n x displaystyle n leqslant x yaki ye dobutkom stupeniv prostih chisel p i p k displaystyle p i leqslant p k Mi mozhemo teper vivesti verhnyu i nizhnyu ocinku M x displaystyle M x chisla elementiv u M x displaystyle M x Dlya velikih x ci mezhi privodyat do superechnosti Ocinka zverhu Bud yake n u Mx mozhna zapisati u viglyadi n m 2 r displaystyle n m 2 r z dodatnimi cilimi m ir der vilne vid kvadrativ chislo Bo tilki k prostih p 1 p k displaystyle p 1 ldots p k mozhe buti z pokaznikom 1 u rozkladi na prosti chisla r ye ne bilshe 2k riznih mozhlivostej dlya r Bilsh togo ye ne bilshe x displaystyle sqrt x mozhlivih znachen dlya m Ce daye verhnyu ocinku M x 2 k x 2 displaystyle M x leq 2 k sqrt x qquad 2 dd Ocinka znizu Reshta x M x displaystyle x M x chisel u riznici mnozhin 1 2 x Mx vsi dilyatsya na prosti chisla bilshi vid p k displaystyle p k Nehaj N i x displaystyle N i x oznachaye mnozhinu takih n z 1 2 x yaki dilyatsya nai e proste p i displaystyle p i Todi 1 2 x M x i k 1 N i x displaystyle 1 2 ldots x smallsetminus M x bigcup i k 1 infty N i x dd Oskilki chislo cilih chisel N i x displaystyle N i x ne perevershuye x p i displaystyle tfrac x p i naspravdi dorivnyuye nulyu dlya p i gt x displaystyle p i gt x otrimuyemo x M x i k 1 N i x lt i k 1 x p i displaystyle x M x leqslant sum i k 1 infty N i x lt sum i k 1 infty frac x p i dd Vikoristovuyuchi 1 zvidsi otrimuyemo x 2 lt M x 3 displaystyle frac x 2 lt M x qquad 3 dd Mayemo superechnist yaksho x 2 2 k 2 displaystyle x geqslant 2 2k 2 ocinki 2 ta 3 ne mozhut vikonuvatisya odnochasno oskilki x 2 2 k x displaystyle tfrac x 2 geqslant 2 k sqrt x Dovedennya togo sho ryad zrostaye zi shvidkistyu log log Isnuye inshe dovedennya yake daye nizhnyu ocinku chastkovih sum Zokrema pokazuye sho ci sumi zrostayut shonajmenshe yak ln ln n Dovedennya ye variantom Ejlerovoyi ideyi rozkladannya dobutku Dali v teksti sumi abo dobutki p zavzhdi ye sumami abo dobutkami za pevnimi mnozhinami prostih chisel Dovedennya spirayetsya na chotiri nerivnosti Bud yake dodatne cilei mozhna yedinim chinom podati u viglyadi dobutku vilnih vid kvadrativ chisel ta kvadrata Ce daye nerivnist i 1 n 1 i p n 1 1 p k 1 n 1 k 2 displaystyle sum i 1 n frac 1 i leqslant prod p leq n left 1 frac 1 p right sum k 1 n frac 1 k 2 dd de dlya bud yakogoi mizh 1 ta n rozkladenij dobutok vidpovidaye vilnij vid kvadrativ chastini chislai a suma vidpovidaye kvadratnij chastini chislai div stattyu Osnovna teorema arifmetiki Verhnya ocinka naturalnogo logarifma ln n 1 1 n 1 d x x i 1 n i i 1 d x x lt 1 i lt i 1 n 1 i displaystyle begin aligned ln n 1 amp int 1 n 1 frac dx x amp sum i 1 n underbrace int i i 1 frac dx x lt frac 1 i amp lt sum i 1 n frac 1 i end aligned dd Nizhnya ocinka1 x lt exp x dlya pokaznikovoyi funkciyi vikonuyetsya dlya vsih x gt 0 Nehaj n 2 displaystyle n geqslant 2 Verhnya mezha vikoristovuyemo teleskopichnij ryad dlya chastkovih sum k 1 n 1 k 2 lt 1 k 2 n 1 k 1 2 1 k 1 2 1 k 2 1 4 gt 1 k 2 1 2 3 1 n 1 2 lt 5 3 displaystyle begin aligned sum k 1 n frac 1 k 2 amp lt 1 sum k 2 n underbrace left frac 1 k frac 1 2 frac 1 k frac 1 2 right frac 1 k 2 frac 1 4 gt frac 1 k 2 amp 1 frac 2 3 frac 1 n frac 1 2 lt frac 5 3 end aligned dd Kombinuyuchi vsi ci nerivnosti otrimuyemo ln n 1 lt i 1 n 1 i p n 1 1 p k 1 n 1 k 2 lt 5 3 p n exp 1 p 5 3 exp p n 1 p displaystyle begin aligned ln n 1 amp lt sum i 1 n frac 1 i amp leq prod p leq n left 1 frac 1 p right sum k 1 n frac 1 k 2 amp lt frac 5 3 prod p leq n exp left frac 1 p right amp frac 5 3 exp left sum p leq n frac 1 p right end aligned Pislya dilennya na 5 3 displaystyle tfrac 5 3 ta vzyattya naturalnogo logarifma vid oboh chastin otrimayemo ln ln n 1 ln 5 3 lt p n 1 p displaystyle ln ln n 1 ln frac 5 3 lt sum p leq n frac 1 p sho j potribno bulo dovesti Vikoristovuyuchi k 1 1 k 2 p 2 6 displaystyle sum k 1 infty frac 1 k 2 frac pi 2 6 Div Bazelska zadacha konstantu vishe ln 5 3 0 510 82 displaystyle ln tfrac 5 3 0 51082 ldots mozhna pokrashiti do ln p 2 6 0 497 7 displaystyle ln tfrac pi 2 6 0 4977 ldots Faktichno viyavlyayetsya sho lim n p n 1 p ln ln n M displaystyle lim n to infty left sum p leq n frac 1 p ln ln n right M de M 0 261 497 displaystyle M 0 261497 ldots stala Majsselya Mertensa shos podibne do vidomishoyi staloyi Ejlera Maskeroni Dovedennya z nerivnosti Dyuzara Z nerivnosti Dyuzara mayemo p n lt n ln n n ln ln n displaystyle p n lt n ln n n ln ln n quad dlya n 6 displaystyle n geqslant 6 Todi n 1 1 p n n 6 1 p n n 6 1 n ln n n ln ln n n 6 1 2 n ln n displaystyle begin aligned sum n 1 infty frac 1 p n amp geqslant sum n 6 infty frac 1 p n amp geqslant sum n 6 infty frac 1 n ln n n ln ln n amp geqslant sum n 6 infty frac 1 2n ln n infty end aligned zgidno z integralnoyu oznakoyu zbizhnosti Koshi Maklorena Ce pokazuye sho ryad zliva rozbizhnij Chastkovi sumiHocha chastkovi sumi velichin obernenih do prostih chisel vreshti resht perevishuyut bud yake cile znachennya voni nikoli ne mozhut dorivnyuvati cilomu chislu Odne z doveden cogo vikonuyetsya za indukciyeyu persha chastkova suma dorivnyuye 1 2 displaystyle tfrac 1 2 i vona maye viglyad o d d e v e n displaystyle tfrac odd even tobto neparne parne Yaksho n a chastkova suma dlya n 1 displaystyle n geqslant 1 maye viglyad o d d e v e n displaystyle tfrac odd even to n 1 displaystyle n 1 a suma dorivnyuye odd even 1 p n 1 odd p n 1 even even p n 1 odd even even odd even displaystyle frac text odd text even frac 1 p n 1 frac text odd cdot p n 1 text even text even cdot p n 1 frac text odd text even text even frac text odd text even oskilki n 1 displaystyle n 1 e proste chislo p n 1 displaystyle p n 1 neparne Oskilki suma znovu maye viglyad o d d e v e n displaystyle tfrac odd even chastkova suma ne mozhe buti cilim chislom znamennik dilitsya na 2 ale chiselnik ne dilitsya sho j dovodit tverdzhennya V inshomu dovedenni viraz dlya sumi znachen obernenih do pershih n prostih chisel abo sumi obernenih znachen bud yakoyi mnozhini prostih chisel zapisuyetsya z najmenshim spilnim znamennikom yakij ye dobutkom usih cih prostih chisel Todi kozhne z cih prostih chisel dilit usi chleni chiselnika krim odnogo a tomu ne dilit chiselnik u cilomu Ale kozhne proste dilit znamennik Takim chinom drib neskorotnij i ne ye cilim chislom Div takozhTeorema Evklida yaka svidchit sho isnuye bezlich prostih chisel Teorema Bruna pro zbizhnist sumi znachen obernenih do prostih chisel bliznyukiv do konstanti Bruna PrimitkiEuler 1737 s 160 188 Euler 1748 s 228 ex 1 Mertens 1874 s 46 62 Lord 2015 s 128 130 LiteraturaWilliam Dunham Euler The Master of Us All MAA 1999 P 61 79 ISBN 0 88385 328 0 Leonhard Euler Various observations concerning infinite series Commentarii Academiae Scientiarum Petropolitanae 1737 T 9 Leonhard Euler Introductio in analysin infinitorum Tomus Primus Lausanne Bousquet 1748 Mertens F Ein Beitrag zur analytischer Zahlentheorie J Reine Angew Math 1874 T 78 Nick Lord Quick proofs that certain sums of fractions are not integers The Mathematical Gazette 2015 T 99 DOI 10 1017 mag 2014 16 PosilannyaCaldwell Chris K There are infinitely many primes but how big of an infinity