Інтегральна ознака Коші — Маклорена

Інтегральна ознака Коші — Маклорена — ознака збіжності спадного додатного числового ряду. Ознака дає можливість звести перевірку збіжності ряду до перевірки збіжності невласного інтеграла відповідної функції на ${\displaystyle [1,\infty )}$. Останній часто може бути знайдений в явному вигляді.

Формулювання теореми

Нехай для функції f(x) виконується: ${\displaystyle \forall x:f(x)\geqslant 0}$ (функція набуває невід'ємних значень) ${\displaystyle \forall x_{1}\forall x_{2}:f(x_{1})>f(x_{2})\Leftrightarrow x_{1}<x_{2}}$ (функція монотонно спадає) ${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} :f(n)=a_{n}}$ (відповідність функції члену ряду) Тоді ряд ${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }a_{n}}$ і невласний інтеграл ${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }\!f(x)\,dx}$ збігаються або розбігаються одночасно.

Начерк доведення

1. Побудуємо на графіку f (x) східчасті фігури як показано на малюнку
2. Площа більшої фігури дорівнює ${\displaystyle S_{b}=f(1)+f(2)+f(3)+...+f(n-1)}$
3. Площа меншої фігури дорівнює ${\displaystyle S_{s}=f(2)+f(3)+f(4)+...+f(n)}$
4. Площа криволінійної трапеції під графіком функції дорівнює ${\displaystyle S_{tr}=\int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx}$
5. Отримуємо ${\displaystyle S_{s}\leqslant S_{tr}\leqslant S_{b}\;\Rightarrow \;S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{n-1}}$
6. Далі доводиться за допомогою .

Повне доведення

${\displaystyle \forall b>1}$${\displaystyle f(x)}$ монотонна на ${\displaystyle [1,b]}$

отже ${\displaystyle \int \limits _{1}^{b}f(x)dx}$ збігається

${\displaystyle \forall x\in [n,n+1]}$ ${\displaystyle f(n)\geqslant f(x)\geqslant f(n+1)}$

${\displaystyle \forall n\in \mathbb {N} }$ ${\displaystyle \int \limits _{n}^{n+1}f(n)dx=f(n)\geqslant \int \limits _{n}^{n+1}f(x)dx\geqslant f(n+1)}$

${\displaystyle S_{n}=f(1)+...+f(n)\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)dx\geqslant S_{n+1}-f(1)}$

${\displaystyle S_{n}}$ нестрого монотонно зростає

Позначимо ${\displaystyle F(x)=\int \limits _{1}^{x}f(t)dt}$

границі ${\displaystyle S_{n}}$ і ${\displaystyle F(x)}$ — скінченні числа, отже ${\displaystyle S_{n}}$ і ${\displaystyle F(x)}$ обмежені (ідея)

Нехай збігається інтеграл ${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }f(x)dx}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle F(x)}$ обмежена ${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle S_{n}}$ обмежена ${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \exists \lim \limits _{n\to \infty }S_{n}}$

Нехай тепер збігається сума ${\displaystyle S_{n}}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \forall n}$${\displaystyle \exists S\geqslant S_{n}}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \forall n}$${\displaystyle S\geqslant \int \limits _{1}^{n+1}f(x)dx\geqslant \int \limits _{1}^{b}f(x)dx}$${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle F(b)}$ обмежена ${\displaystyle \Rightarrow }$${\displaystyle \exists \lim \limits _{b\to +\infty }\int \limits _{1}^{b}f(x)dx}$, оскільки якщо функція ${\displaystyle f(x)}$ невід'ємна на деякому півінтервалі ${\displaystyle [a,b)}$, то для збіжності інтеграла ${\displaystyle \int \limits _{a}^{b}f(x)dx}$ необхідно і достатньо, щоб усі інтеграли ${\displaystyle \int \limits _{a}^{c}f(x)dx}$, де ${\displaystyle c\in [a,b)}$ були обмеженими. Теорему доведено.

Приклади

• ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n}}}$ розбіжний, оскільки ${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x}}dx=\ln x|_{1}^{\infty }=\infty }$ .
• ${\displaystyle \sum {\frac {1}{n^{2}}}}$ збіжний, оскільки ${\displaystyle \int \limits _{1}^{\infty }{\frac {1}{x^{2}}}dx=-\left.{\frac {1}{x}}\right|_{1}^{\infty }=1}$ .

Оцінка залишку ряду

Інтегральна ознака Коші дозволяє оцінити залишок ${\displaystyle r_{n}}$ знакододатного ряду. З отриманого в доведенні виразу

${\displaystyle S_{n}-a_{1}\leqslant \int \limits _{1}^{n}f(x)\,dx\leqslant S_{n-1}}$

за допомогою нескладних перетворень отримуємо:

${\displaystyle \int \limits _{n+1}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant r_{n}\leqslant \int \limits _{n}^{\infty }f(x)\,dx\leqslant a_{n}+\int \limits _{n+1}^{\infty }f(x)\,dx}$ .

Джерела

• Григорій Михайлович Фіхтенгольц. Курс диференціального та інтегрального числення. — 2024. — 2200+ с.(укр.)