Ромбоікосододека́едр — напівправильний багатогранник, який складається з 12 правильних п'ятикутників, 30 квадратів і 20 трикутників, архімедове тіло. Має ікосаедричний тип симетрії. В кожній з вершин сходяться трикутник, п'ятикутник і 2 квадрати.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekl4TDFKb2IyMWlhV052YzJsa2IyUmxZMkZvWldSeWIyNHVaMmxtTHpJMU1IQjRMVkpvYjIxaWFXTnZjMmxrYjJSbFkyRm9aV1J5YjI0dVoybG0uZ2lm.gif)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.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.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlEwTDFKb2IyMWlhV052YzJsa2IyUmxZMkZvWldSeWIyNHVjM1JzTHpJeU1IQjRMVkpvYjIxaWFXTnZjMmxrYjJSbFkyRm9aV1J5YjI0dWMzUnNMbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Ромбоікосододекаедр можна подати як додекаедр, зрізаний за вершинами і ребрами (при цьому трикутники відповідають вершинам додекаедра, а квадрати — ребрам), або як ікосаедр, зрізаний так само (при цьому п'ятикутники відповідають вершинам ікосаедра, а квадрати — ребрам), або ж як зрізаний ікосододекаедр, чим він по суті і є.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTgxTHpWaEwxQTBMVUV4TVMxUU5TNW5hV1k9LmdpZg==.gif)
Декартові координати
Декартові координати вершин ромбоікосододекаедра з довжиною ребра 2 із центром у початку координат є парними з:
- (± 1, ± 1, ± φ 3),
- (± φ 2, ± φ, ± 2 φ),
- (± (2+ φ), 0, ± φ 2), де φ = 1 + √5/2 являє собою золотий перетин . Отже, радіус описаної сфери цього ромбоікосододекаедра дорівнює відстані цих точок від початку координат, а саме √φ6+2 = √8φ+7 для довжини ребра 2. Для одиничної довжини ребра, зменшивши R удвічі, маємо
- R = √8φ+7/2 = √11+4√5/2 ≈ 2,233.
Ортогональні проєкції
Ромбоікосододекаедр має шість особливих ортогональних проєкцій, центрованих на вершині, на ребрах двох типів і гранях трьох типів: трикутнику, квадраті та п'ятикутнику. Останні дві відповідають площинам Коксетера А2 і Н2.
У центрі | Вершина | Ребро 3-4 | Ребро 5-4 | Квадратна грань | Трикутна грань | П'ятикутна грань |
---|---|---|---|---|---|---|
Суцільна | ![]() | ![]() | ![]() | |||
Каркасна | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Проєктивна симетрія | [2] | [2] | [2] | [2] | [6] | [10] |
Дуальне зображення | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Сферична мозаїка
Ромбоікосододекаедр також можна зобразити у вигляді сферичної мозаїки та проєктувати на площину за допомогою стереографічної проєкції . Ця проєкція є конформною, зберігаючи кути, але не площі та довжини. Прямі лінії на кулі проєктуються на площину як дуги кола.
![]() | ![]() У центрі —п'ятикутник | ![]() У центрі — трикутник | ![]() У центрі — квадрат |
Ортогональна проєкція | Стереографічні проєкції |
---|
Пов'язані многогранники
Симетрія: , (*532) | [5,3]+, (532) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
{5,3} | t{5,3} | r{5,3} | t{3,5} | {3,5} | rr{5,3} | tr{5,3} | sr{5,3} |
Двоїсті до однорідних багатогранників | |||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V3.3.3.3.3 |
Див. також
Примітки
- Веннинджер, 1974, с. 20, 38.
- Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
- Люстерник, 1956, с. 184.
- Weisstein, Eric W. Icosahedral group(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Література
- М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
- Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, , . — М. : , 1963. — С. 382-447.
- Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М. : , 1956.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Romboikosododeka edr napivpravilnij bagatogrannik yakij skladayetsya z 12 pravilnih p yatikutnikiv 30 kvadrativ i 20 trikutnikiv arhimedove tilo Maye ikosaedrichnij tip simetriyi V kozhnij z vershin shodyatsya trikutnik p yatikutnik i 2 kvadrati RomboikosododekaedrRozgortka romboikosododekaedraTrivimirna model romboikosododekaedra Romboikosododekaedr mozhna podati yak dodekaedr zrizanij za vershinami i rebrami pri comu trikutniki vidpovidayut vershinam dodekaedra a kvadrati rebram abo yak ikosaedr zrizanij tak samo pri comu p yatikutniki vidpovidayut vershinam ikosaedra a kvadrati rebram abo zh yak zrizanij ikosododekaedr chim vin po suti i ye Dekartovi koordinatiDekartovi koordinati vershin romboikosododekaedra z dovzhinoyu rebra 2 iz centrom u pochatku koordinat ye parnimi z 1 1 f 3 f 2 f 2 f 2 f 0 f 2 de f 1 5 2 yavlyaye soboyu zolotij peretin Otzhe radius opisanoyi sferi cogo romboikosododekaedra dorivnyuye vidstani cih tochok vid pochatku koordinat a same f6 2 8f 7 dlya dovzhini rebra 2 Dlya odinichnoyi dovzhini rebra zmenshivshi R udvichi mayemoR 8f 7 2 11 4 5 2 2 233 Ortogonalni proyekciyiOrtogonalna proyekciya v Geometriyi 1543 Avgustina Girshfogelya Romboikosododekaedr maye shist osoblivih ortogonalnih proyekcij centrovanih na vershini na rebrah dvoh tipiv i granyah troh tipiv trikutniku kvadrati ta p yatikutniku Ostanni dvi vidpovidayut ploshinam Koksetera A2 i N2 Ortogonalni proyekciyi U centri Vershina Rebro 3 4 Rebro 5 4 Kvadratna gran Trikutna gran P yatikutna granSucilnaKarkasnaProyektivna simetriya 2 2 2 2 6 10 Dualne zobrazhennyaSferichna mozayikaDokladnishe Sferichnij mnogogrannik Romboikosododekaedr takozh mozhna zobraziti u viglyadi sferichnoyi mozayiki ta proyektuvati na ploshinu za dopomogoyu stereografichnoyi proyekciyi Cya proyekciya ye konformnoyu zberigayuchi kuti ale ne ploshi ta dovzhini Pryami liniyi na kuli proyektuyutsya na ploshinu yak dugi kola U centri p yatikutnik U centri trikutnik U centri kvadratOrtogonalna proyekciya Stereografichni proyekciyiPov yazani mnogogrannikiSimejstvo odnoridnih ikosaedrichnih bagatogrannikiv Simetriya 532 5 3 532 5 3 t 5 3 r 5 3 t 3 5 3 5 rr 5 3 tr 5 3 sr 5 3 Dvoyisti do odnoridnih bagatogrannikivV5 5 5 V3 10 10 V3 5 3 5 V3 3 3 3 3Div takozhRombozrizanij ikosododekaedrPrimitkiVennindzher 1974 s 20 38 Enciklopediya elementarnoj matematiki 1963 s 437 435 Lyusternik 1956 s 184 Weisstein Eric W Icosahedral group angl na sajti Wolfram MathWorld LiteraturaM Vennindzher Modeli mnogogrannikov Mir 1974 Mnogougolniki i mnogogranniki Enciklopediya elementarnoj matematiki Kniga chetvyortaya Geometriya Pod red P S Aleksandrova M 1963 S 382 447 L A Lyusternik Vypuklye figury i mnogogranniki M 1956