Число Коксетера — характеристика скінченної звідної групи Коксетера. У разі, коли група Коксетера є групою Вейля простої алгебри Лі , то говорять про число Коксетера алгебри .
Поняття названо на честь Гарольда Коксетера.
Означення
Існує кілька еквівалентних означень цього числа.
- Число Коксетера дорівнює кількості коренів, поділеній на ранг. Еквівалентно, число Коксетера рівно подвоєному числу віддзеркалень в групі Коксетера, діленому на ранг. Якщо група побудована за простою алгеброю Лі, то розмірність цієї алгебри дорівнює n(h + 1), де n — ранг, і h — число Коксетера.
- Елементом Коксетера (інколи елементом Кіллінга — Коксетера) називається добуток всіх простих відображень (не плутати з елементом групи Коксетера найбільшої довжини). Числом Коксетера називається порядок елемента Коксетера.
- Якщо
— розкладання старшого кореня за простими коренями, то число Коксетер дорівнює
.
- Еквівалентно, якщо
— такий елемент, що
, то
.
- Еквівалентно, якщо
- Число Коксетера — це найбільша з ступенів базисних інваріантів групи Коксетера.
Таблиця значень
Група Коксетера і символ Шлефлі | Граф Коксетера | Діаграма Динкіна | Число Коксетера | Двійне число Коксетера | Ступені базисних інваріантів | |
---|---|---|---|---|---|---|
An | [3,3…,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | n + 1 | n + 1 | 2, 3, 4, …, n + 1 |
Bn | [4,3…,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 2n | 2n − 1 | 2, 4, 6, …, 2n |
Cn | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | n + 1 | ||||
Dn | [3,3,..31,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 2n − 2 | 2n − 2 | n; 2, 4, 6, …, 2n − 2 |
E6 | [32,2,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 12 | 12 | 2, 5, 6, 8, 9, 12 |
E7 | [33,2,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 18 | 18 | 2, 6, 8, 10, 12, 14, 18 |
E8 | [34,2,1] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 30 | 30 | 2, 8, 12, 14, 18, 20, 24, 30 |
F4 | [3,4,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 12 | 9 | 2, 6, 8, 12 |
G2 | [6] | ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | 6 | 4 | 2, 6 |
H3 | [5,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | - | 10 | 2, 6, 10 | |
H4 | [5,3,3] | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | - | 30 | 2, 12, 20, 30 | |
I2(p) | [p] | ![]() ![]() ![]() | - | p | 2, p |
Джерела
- Бурбаки Н. Группы и алгебры Ли. Главы IV—VI. — М. : Мир, 1972. — С. 331. — (Елементи математики)(рос.)
- J. Humphreys, Reflection groups and Coxeter groups, Cambridge University Press, 1990.
- Etingof, Pavel I.; Frenkel, Igor; Kirillov, Alexander A. (1998), Lectures on Representation Theory and Knizhnik–Zamolodchikov Equations, Mathematical Surveys and Monographs 58, American Mathematical Society,
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Chislo Koksetera harakteristika skinchennoyi zvidnoyi grupi Koksetera U razi koli grupa Koksetera ye grupoyu Vejlya prostoyi algebri Li g displaystyle mathfrak g to govoryat pro chislo Koksetera algebri g displaystyle mathfrak g Ponyattya nazvano na chest Garolda Koksetera OznachennyaIsnuye kilka ekvivalentnih oznachen cogo chisla Chislo Koksetera dorivnyuye kilkosti koreniv podilenij na rang Ekvivalentno chislo Koksetera rivno podvoyenomu chislu viddzerkalen v grupi Koksetera dilenomu na rang Yaksho grupa pobudovana za prostoyu algebroyu Li to rozmirnist ciyeyi algebri dorivnyuye n h 1 de n rang i h chislo Koksetera Elementom Koksetera inkoli elementom Killinga Koksetera nazivayetsya dobutok vsih prostih vidobrazhen ne plutati z elementom grupi Koksetera najbilshoyi dovzhini Chislom Koksetera nazivayetsya poryadok elementa Koksetera Yaksho 8 miai displaystyle theta sum m i alpha i rozkladannya starshogo korenya za prostimi korenyami to chislo Kokseter dorivnyuye 1 mi displaystyle 1 sum m i Ekvivalentno yaksho r displaystyle rho vee takij element sho r ai 1 displaystyle langle rho vee alpha i rangle 1 to h r 8 1 displaystyle h langle rho vee theta rangle 1 Chislo Koksetera ce najbilsha z stupeniv bazisnih invariantiv grupi Koksetera Tablicya znachenGrupa Koksetera i simvol Shlefli Graf Koksetera Diagrama Dinkina Chislo Koksetera h displaystyle h Dvijne chislo Koksetera h displaystyle h vee Stupeni bazisnih invariantivAn 3 3 3 n 1 n 1 2 3 4 n 1Bn 4 3 3 2n 2n 1 2 4 6 2nCn n 1Dn 3 3 31 1 2n 2 2n 2 n 2 4 6 2n 2E6 32 2 1 12 12 2 5 6 8 9 12E7 33 2 1 18 18 2 6 8 10 12 14 18E8 34 2 1 30 30 2 8 12 14 18 20 24 30F4 3 4 3 12 9 2 6 8 12G2 6 6 4 2 6H3 5 3 10 2 6 10H4 5 3 3 30 2 12 20 30I2 p p p 2 pDzherelaBurbaki N Gruppy i algebry Li Glavy IV VI M Mir 1972 S 331 Elementi matematiki ros J Humphreys Reflection groups and Coxeter groups Cambridge University Press 1990 Etingof Pavel I Frenkel Igor Kirillov Alexander A 1998 Lectures on Representation Theory and Knizhnik Zamolodchikov Equations Mathematical Surveys and Monographs 58 American Mathematical Society ISBN 0821804960