Azərbaycanca
Беларускі
Dansk
Deutsch
Española
Français
Indonesia
Italiana
日本語
Қазақ
Lietuvos
Nederlands
Português
Русский
සිංහල
แบบไทย
Türkçe
Українська
中國人
United State
Afrikaans
| Ця стаття є сирим з іншої мови. Можливо, вона створена за допомогою машинного перекладу або перекладачем, який недостатньо володіє обома мовами. |
Обертальна симетрія, також відома в біології як радіальна симетрія, — це властивість форми, коли вона виглядає однаково після деякого обертання частковим поворотом. Ступінь обертальної симетрії об'єкта — це кількість чітких обертів, у яких він виглядає абсолютно однаковим для кожного положення.
Формальне трактування
Формально обертальна симетрія є симетрією відносно деяких або всіх обертань у m -вимірному евклідовому просторі . Повороти — це прямі ізометрії, тобто ізометрії, що зберігають орієнтацію . Отже, група симетрії обертової симетрії є підгрупою E + (m) (див. Групу Евкліда).
Симетрія всіх обертань відносно всіх точок передбачає поступальну симетрію щодо всіх трансляцій, тому простір однорідний, а група симетрії — це ціле E (m). З модифікованим поняттям симетрії для векторних полів група симетрії також може бути E + (m).
Для симетрії обертань навколо точки ми можемо взяти дану точку за початок. Ці обертання утворюють спеціальну ортогональну групу SO (m), групу m × m ортогональних матриць з детермінантом 1. Для m = 3 це група обертання SO (3) .
В іншому визначенні слова, групою обертання об'єкта є група симетрії в межах E + (n), група прямих ізометрій ; іншими словами, перетин групи повної симетрії та групи прямих ізометрій. Для хіральних об'єктів це те саме, що і повна група симетрії.
Закони фізики SO (3) -інваріантні, якщо вони не розрізняють різних напрямків у просторі. Через теорему Нетера обертальна симетрія фізичної системи еквівалентна закону збереження моменту імпульсу .
Дискретна обертальна симетрія
Обертальна симетрія порядку n, також звана n- кратною симетрією обертання або дискретною симетрією обертання n- го порядку щодо певної точки (у 2D) або осі (у 3D) означає, що обертання на кут 360 ° / n (180 °, 120 °, 90 °, 72 °, 60 °, 51 ° і т. д.) не змінює об'єкт. «1-кратна» симетрія — це відсутність симетрії (всі об'єкти виглядають однаково після обертання на 360 °).
Позначення n- кратної симетрії дорівнює C n або просто " n ". Фактична група симетрії визначається точкою або віссю симетрії разом з n . Для кожної точки або осі симетрії абстрактним типом групи є циклічна група порядку n, Z n . Хоча для останнього також використовується позначення C n, слід розрізняти геометричний та абстрактний C n : існують інші групи симетрії того самого типу абстрактної групи, які геометрично відрізняються, див. Групи циклічної симетрії у 3D .
Основним доменом є сектор 360 ° / п.
Приклади без додаткової симетрії відображення :
- n = 2, 180 °: діада ; літери Z, N, S; контури, хоча і не кольори, символу інь та ян ; прапор Союзу (поділений вздовж діагоналі прапора та обертається навколо центральної точки прапора)
- n = 3, 120 °: тріада, трискеліон, боромеївські кільця ; іноді використовується термін тристороння симетрія ;
- n = 4, 90 °: тетрада, свастика
- n = 6, 60 °: шестигранник, зірка Давида
- n = 8, 45 °: октада, восьмикутні мукарни, комп'ютерні (CG), стеля
C n — група обертання правильного n- бічного багатокутника в 2D та регулярної n- сторонній піраміди в 3D.
Якщо існує, наприклад, обертальна симетрія відносно кута 100 °, то також щодо одного з 20 °, найбільшого спільного дільника 100 ° та 360 °.
Типовий тривимірний об'єкт із симетрією обертання (можливо, також з перпендикулярними осями), але без дзеркальної симетрії, є гвинтом .
Приклади
| C2 (більше) | C3 (більше) | C4 (більше) | C5 (більше) | C6 (більше) |
|---|---|---|---|---|
 </img></br> Подвійний маятник фрактал |  </img></br> Круговий рух дорожній знак |  </img></br> Зірка з двохсотріччя США | </br> Коло на полях в перспективі | |
 </img></br> Вихідне положення в шогі |  </img></br> Snoldelev камінь сблокирован "s ріг для пиття дизайн | </img> | </img> | </img> |
Кілька осей симетрії через одну і ту ж точку
Для дискретної симетрії з кількома осями симетрії через одну точку існують такі можливості:
- На додаток до n -кратної осі, n перпендикулярних 2-кратних осей: двогранні групи D n порядку 2 n (n ≥ 2). Це група обертання регулярної призми або регулярної біпіраміди . Незважаючи на те, що використовуються однакові позначення, слід розрізняти геометричну та абстрактну D n : існують інші групи симетрії того самого типу абстрактної групи, які геометрично відрізняються, див. Групи двогранних симетрій у 3D .
- 4 × 3-кратні та 3 × 2-кратні осі: група обертання Т порядку 12 правильного тетраедра . Група ізоморфна змінній групі A 4 .
- 3 × 4-кратні, 4 × 3-кратні та 6 × 2-кратні осі: група обертання О порядку 24 куба і правильного октаедра . Група ізоморфна симетричній групі S 4 .
- 6 × 5-кратна, 10 × 3-кратна та 15 × 2-кратна осі: група обертання Я порядку 60 додекаедра та ікосаедра . Група ізоморфна змінній групі A 5 . Група містить 10 версій D 3 та 6 версій D 5 (ротаційні симетрії, такі як призми та антипризми).
У випадку з платонівськими твердими тілами 2-кратні осі проходять через середини протилежних ребер, і їх кількість становить половину числа ребер. Інші осі проходять через протилежні вершини та через центри протилежних граней, за винятком випадку тетраедра, де 3-кратні осі проходять через одну вершину та центр однієї грані.
Обертальна симетрія щодо будь-якого кута
Обертальна симетрія відносно будь-якого кута є, у двох вимірах, круговою симетрією . Фундаментальним доменом є напівлінія .
У трьох вимірах ми можемо розрізнити циліндричну симетрію та сферичну симетрію (без змін при обертанні навколо однієї осі або при будь-якому обертанні). Тобто, відсутність залежності від кута за допомогою циліндричних координат і відсутність залежності від будь-якого кута за допомогою сферичних координат . Основною областю є напівплощина через вісь і радіальна напівлінія відповідно. Осісиметрична - це прикметники, що відносяться до об'єкта, що має циліндричну симетрію, або осесиметрію (тобто обертальну симетрію відносно центральної осі), як пончик (тор). Прикладом приблизної сферичної симетрії є Земля (щодо щільності та інших фізико-хімічних властивостей).
4D безперервна або дискретна обертальна симетрія відносно площини відповідає 2D обертальній симетрії в кожній перпендикулярній площині, відносно точки перетину. Об'єкт може також мати обертальну симетрію навколо двох перпендикулярних площин, наприклад, якщо це декартовий добуток двох обертально-симетричних 2D фігур, як, наприклад, у випадку дуоциліндра та різних регулярних дуопризьм .
Обертальна симетрія з поступальною симетрією
 </img></br> Розташування в примітивній клітині 2-х та 4-кратних ротоцентрів. Основний домен позначений жовтим кольором. |  </img></br> Розміщення в примітивній комірці з 2-, 3- та 6-кратних ротоцентрів, окремо або в комбінації (розгляньте 6-кратний символ як комбінацію 2- та 3-кратного символу); лише у випадку 2-кратної симетрії форма паралелограма може бути різною. Для випадку p6 основний домен позначений жовтим кольором. |
Двократна обертальна симетрія разом з одиночною поступальною симетрією є однією з груп Фріза . На одну примітивну клітину припадає два ротоцентри.
Разом із подвійною поступальною симетрією групами обертання є наступні групи шпалер з осями на примітивну комірку:
- p2 (2222): 4 × 2-кратний; група обертання паралелограммової, прямокутної та ромбічної решітки .
- p3 (333): 3 × 3-кратний; не група обертання будь-якої решітки (кожна решітка перевернута однаково, але це не стосується цієї симетрії); це, наприклад, група обертання правильної трикутної плитки з рівносторонніми трикутниками, що чергуються.
- p4 (442): 2 × 4-кратний, 2 × 2-кратний; група обертання квадратної решітки.
- p6 (632): 1 × 6-кратний, 2 × 3-кратний, 3 × 2-кратний; група обертання шестикутної решітки.
- 2-кратні ротоцентри (включаючи можливі 4-кратні та 6-кратні), якщо вони взагалі присутні, утворюють транслят решітки, рівний поступальній решітці, масштабований у 1/2 рази. У разі поступальної симетрії в одному вимірі застосовується подібна властивість, хоча термін «решітка» не застосовується.
- 3-кратні ротоцентри (включаючи можливі 6-кратні), якщо вони взагалі є, утворюють правильну гексагональну решітку, рівну поступальній решітці, повернену на 30 ° (або еквівалентно 90 °) і масштабовану в коефіцієнт
![image]()
- 4-кратні ротоцентри, якщо вони взагалі присутні, утворюють правильну квадратну решітку, рівну поступальній решітці, повернену на 45 ° і масштабовану в коефіцієнт
![image]()
- 6-кратні ротоцентри, якщо вони взагалі є, утворюють правильну шестикутну решітку, яка є транслятором поступальної решітки.
Масштабування решітки це — поділ кількості точок на одиницю площі і на квадрат масштабного коефіцієнта. Отже, кількість 2-, 3-, 4- та 6-кратних ротоцентрів на примітивну клітину становить відповідно 4, 3, 2 та 1, знову ж включаючи 4-кратний як особливий випадок 2-кратного тощо.
3-кратна симетрія обертання в одній точці та 2-кратна в іншій (або, наприклад, у 3D відносно паралельних осей) передбачає групу обертання p6, тобто подвійну поступальну симетрію та 6-кратну обертальну симетрію в якійсь точці (або, в 3D, паралельна вісь). Довжина перекладу для симетрії, відтвореною однією такою парою ротоцентрів, становить 
помножена на відстань між ними.
| Евклідова площина | Гіперболічна площина |
|---|---|
 </img></br> Трикутна черепиця Hexakis, приклад p6, [6,3] +, (632) (з кольорами) та p6m, [6,3], (* 632) (без кольорів); лінії є осями відбиття, якщо кольори ігноруються, та особливим видом осі симетрії, якщо кольори не ігноруються: відбиття повертає кольори. Можна виділити прямокутні лінійні сітки в трьох орієнтаціях. |  </img></br> Замовлення 3-7 kisrhombille, приклад [7,3] + (732) симетрії та [7,3], (* 732) (без кольорів) |
Дивитися також
- Амбіграма
- Вісь симетрії
- Теорема кристалографічного обмеження
- Лоренцові симетрії
- Трьохвимірні точкові групи
- Гвинтова вісь
- Точки простору
- Поступальна симетрія
Список літератури
- Weyl, Hermann (1982). Symmetry. Princeton: Princeton University Press. ISBN .
Посилання
![image]()
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Обертова симетрія</img>- Приклади обертальної симетрії з математики — це цікаво
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Cya stattya ye sirim perekladom z inshoyi movi Mozhlivo vona stvorena za dopomogoyu mashinnogo perekladu abo perekladachem yakij nedostatno volodiye oboma movami Bud laska dopomozhit polipshiti pereklad Obertalna simetriya takozh vidoma v biologiyi yak radialna simetriya ce vlastivist formi koli vona viglyadaye odnakovo pislya deyakogo obertannya chastkovim povorotom Stupin obertalnoyi simetriyi ob yekta ce kilkist chitkih obertiv u yakih vin viglyadaye absolyutno odnakovim dlya kozhnogo polozhennya Triskelion sho vidobrazhayetsya na prapori ostrova Men maye simetriyu obertannya oskilki vin viglyadaye odnakovim yaksho povernuti jogo na tretinu povnogo oborotu navkolo svogo centru Cherez te sho jogo zovnishnij viglyad identichnij u troh riznih oriyentaciyah jogo obertalna simetriya ye trikratnoyu Formalne traktuvannyaFormalno obertalna simetriya ye simetriyeyu vidnosno deyakih abo vsih obertan u m vimirnomu evklidovomu prostori Povoroti ce pryami izometriyi tobto izometriyi sho zberigayut oriyentaciyu Otzhe grupa simetriyi obertovoyi simetriyi ye pidgrupoyu E m div Grupu Evklida Simetriya vsih obertan vidnosno vsih tochok peredbachaye postupalnu simetriyu shodo vsih translyacij tomu prostir odnoridnij a grupa simetriyi ce cile E m Z modifikovanim ponyattyam simetriyi dlya vektornih poliv grupa simetriyi takozh mozhe buti E m Dlya simetriyi obertan navkolo tochki mi mozhemo vzyati danu tochku za pochatok Ci obertannya utvoryuyut specialnu ortogonalnu grupu SO m grupu m m ortogonalnih matric z determinantom 1 Dlya m 3 ce grupa obertannya SO 3 V inshomu viznachenni slova grupoyu obertannya ob yekta ye grupa simetriyi v mezhah E n grupa pryamih izometrij inshimi slovami peretin grupi povnoyi simetriyi ta grupi pryamih izometrij Dlya hiralnih ob yektiv ce te same sho i povna grupa simetriyi Zakoni fiziki SO 3 invariantni yaksho voni ne rozriznyayut riznih napryamkiv u prostori Cherez teoremu Netera obertalna simetriya fizichnoyi sistemi ekvivalentna zakonu zberezhennya momentu impulsu Diskretna obertalna simetriya Obertalna simetriya poryadku n takozh zvana n kratnoyu simetriyeyu obertannya abo diskretnoyu simetriyeyu obertannya n go poryadku shodo pevnoyi tochki u 2D abo osi u 3D oznachaye sho obertannya na kut 360 n 180 120 90 72 60 51 i t d ne zminyuye ob yekt 1 kratna simetriya ce vidsutnist simetriyi vsi ob yekti viglyadayut odnakovo pislya obertannya na 360 Poznachennya n kratnoyi simetriyi dorivnyuye C n abo prosto n Faktichna grupa simetriyi viznachayetsya tochkoyu abo vissyu simetriyi razom z n Dlya kozhnoyi tochki abo osi simetriyi abstraktnim tipom grupi ye ciklichna grupa poryadku n Z n Hocha dlya ostannogo takozh vikoristovuyetsya poznachennya C n slid rozriznyati geometrichnij ta abstraktnij C n isnuyut inshi grupi simetriyi togo samogo tipu abstraktnoyi grupi yaki geometrichno vidriznyayutsya div Grupi ciklichnoyi simetriyi u 3D Osnovnim domenom ye sektor 360 p Prikladi bez dodatkovoyi simetriyi vidobrazhennya n 2 180 diada literi Z N S konturi hocha i ne kolori simvolu in ta yan prapor Soyuzu podilenij vzdovzh diagonali prapora ta obertayetsya navkolo centralnoyi tochki prapora n 3 120 triada triskelion boromeyivski kilcya inodi vikoristovuyetsya termin tristoronnya simetriya n 4 90 tetrada svastika n 6 60 shestigrannik zirka Davida n 8 45 oktada vosmikutni mukarni komp yuterni CG stelya C n grupa obertannya pravilnogo n bichnogo bagatokutnika v 2D ta regulyarnoyi n storonnij piramidi v 3D Yaksho isnuye napriklad obertalna simetriya vidnosno kuta 100 to takozh shodo odnogo z 20 najbilshogo spilnogo dilnika 100 ta 360 Tipovij trivimirnij ob yekt iz simetriyeyu obertannya mozhlivo takozh z perpendikulyarnimi osyami ale bez dzerkalnoyi simetriyi ye gvintom Prikladi C2 bilshe C3 bilshe C4 bilshe C5 bilshe C6 bilshe lt img gt lt br gt Podvijnij mayatnik fraktal lt img gt lt br gt Krugovij ruh dorozhnij znak lt img gt lt br gt Zirka z dvohsotrichchya SShA lt br gt Kolo na polyah v perspektivi lt img gt lt br gt Vihidne polozhennya v shogi lt img gt lt br gt Snoldelev kamin sblokirovan s rig dlya pittya dizajn lt img gt lt img gt lt img gt Kilka osej simetriyi cherez odnu i tu zh tochku Dlya diskretnoyi simetriyi z kilkoma osyami simetriyi cherez odnu tochku isnuyut taki mozhlivosti Na dodatok do n kratnoyi osi n perpendikulyarnih 2 kratnih osej dvogranni grupi D n poryadku 2 n n 2 Ce grupa obertannya regulyarnoyi prizmi abo regulyarnoyi bipiramidi Nezvazhayuchi na te sho vikoristovuyutsya odnakovi poznachennya slid rozriznyati geometrichnu ta abstraktnu D n isnuyut inshi grupi simetriyi togo samogo tipu abstraktnoyi grupi yaki geometrichno vidriznyayutsya div Grupi dvogrannih simetrij u 3D 4 3 kratni ta 3 2 kratni osi grupa obertannya T poryadku 12 pravilnogo tetraedra Grupa izomorfna zminnij grupi A 4 3 4 kratni 4 3 kratni ta 6 2 kratni osi grupa obertannya O poryadku 24 kuba i pravilnogo oktaedra Grupa izomorfna simetrichnij grupi S 4 6 5 kratna 10 3 kratna ta 15 2 kratna osi grupa obertannya Ya poryadku 60 dodekaedra ta ikosaedra Grupa izomorfna zminnij grupi A 5 Grupa mistit 10 versij D 3 ta 6 versij D 5 rotacijni simetriyi taki yak prizmi ta antiprizmi U vipadku z platonivskimi tverdimi tilami 2 kratni osi prohodyat cherez seredini protilezhnih reber i yih kilkist stanovit polovinu chisla reber Inshi osi prohodyat cherez protilezhni vershini ta cherez centri protilezhnih granej za vinyatkom vipadku tetraedra de 3 kratni osi prohodyat cherez odnu vershinu ta centr odniyeyi grani Obertalna simetriya shodo bud yakogo kuta Obertalna simetriya vidnosno bud yakogo kuta ye u dvoh vimirah krugovoyu simetriyeyu Fundamentalnim domenom ye napivliniya U troh vimirah mi mozhemo rozrizniti cilindrichnu simetriyu ta sferichnu simetriyu bez zmin pri obertanni navkolo odniyeyi osi abo pri bud yakomu obertanni Tobto vidsutnist zalezhnosti vid kuta za dopomogoyu cilindrichnih koordinat i vidsutnist zalezhnosti vid bud yakogo kuta za dopomogoyu sferichnih koordinat Osnovnoyu oblastyu ye napivploshina cherez vis i radialna napivliniya vidpovidno Osisimetrichna ce prikmetniki sho vidnosyatsya do ob yekta sho maye cilindrichnu simetriyu abo osesimetriyu tobto obertalnu simetriyu vidnosno centralnoyi osi yak ponchik tor Prikladom pribliznoyi sferichnoyi simetriyi ye Zemlya shodo shilnosti ta inshih fiziko himichnih vlastivostej 4D bezperervna abo diskretna obertalna simetriya vidnosno ploshini vidpovidaye 2D obertalnij simetriyi v kozhnij perpendikulyarnij ploshini vidnosno tochki peretinu Ob yekt mozhe takozh mati obertalnu simetriyu navkolo dvoh perpendikulyarnih ploshin napriklad yaksho ce dekartovij dobutok dvoh obertalno simetrichnih 2D figur yak napriklad u vipadku duocilindra ta riznih regulyarnih duoprizm Obertalna simetriya z postupalnoyu simetriyeyu lt img gt lt br gt Roztashuvannya v primitivnij klitini 2 h ta 4 kratnih rotocentriv Osnovnij domen poznachenij zhovtim kolorom lt img gt lt br gt Rozmishennya v primitivnij komirci z 2 3 ta 6 kratnih rotocentriv okremo abo v kombinaciyi rozglyante 6 kratnij simvol yak kombinaciyu 2 ta 3 kratnogo simvolu lishe u vipadku 2 kratnoyi simetriyi forma paralelograma mozhe buti riznoyu Dlya vipadku p6 osnovnij domen poznachenij zhovtim kolorom Dvokratna obertalna simetriya razom z odinochnoyu postupalnoyu simetriyeyu ye odniyeyu z grup Friza Na odnu primitivnu klitinu pripadaye dva rotocentri Razom iz podvijnoyu postupalnoyu simetriyeyu grupami obertannya ye nastupni grupi shpaler z osyami na primitivnu komirku p2 2222 4 2 kratnij grupa obertannya paralelogrammovoyi pryamokutnoyi ta rombichnoyi reshitki p3 333 3 3 kratnij ne grupa obertannya bud yakoyi reshitki kozhna reshitka perevernuta odnakovo ale ce ne stosuyetsya ciyeyi simetriyi ce napriklad grupa obertannya pravilnoyi trikutnoyi plitki z rivnostoronnimi trikutnikami sho cherguyutsya p4 442 2 4 kratnij 2 2 kratnij grupa obertannya kvadratnoyi reshitki p6 632 1 6 kratnij 2 3 kratnij 3 2 kratnij grupa obertannya shestikutnoyi reshitki 2 kratni rotocentri vklyuchayuchi mozhlivi 4 kratni ta 6 kratni yaksho voni vzagali prisutni utvoryuyut translyat reshitki rivnij postupalnij reshitci masshtabovanij u 1 2 razi U razi postupalnoyi simetriyi v odnomu vimiri zastosovuyetsya podibna vlastivist hocha termin reshitka ne zastosovuyetsya 3 kratni rotocentri vklyuchayuchi mozhlivi 6 kratni yaksho voni vzagali ye utvoryuyut pravilnu geksagonalnu reshitku rivnu postupalnij reshitci povernenu na 30 abo ekvivalentno 90 i masshtabovanu v koeficiyent 1 3 3 displaystyle frac 1 3 sqrt 3 4 kratni rotocentri yaksho voni vzagali prisutni utvoryuyut pravilnu kvadratnu reshitku rivnu postupalnij reshitci povernenu na 45 i masshtabovanu v koeficiyent 1 2 2 displaystyle frac 1 2 sqrt 2 6 kratni rotocentri yaksho voni vzagali ye utvoryuyut pravilnu shestikutnu reshitku yaka ye translyatorom postupalnoyi reshitki Masshtabuvannya reshitki ce podil kilkosti tochok na odinicyu ploshi i na kvadrat masshtabnogo koeficiyenta Otzhe kilkist 2 3 4 ta 6 kratnih rotocentriv na primitivnu klitinu stanovit vidpovidno 4 3 2 ta 1 znovu zh vklyuchayuchi 4 kratnij yak osoblivij vipadok 2 kratnogo tosho 3 kratna simetriya obertannya v odnij tochci ta 2 kratna v inshij abo napriklad u 3D vidnosno paralelnih osej peredbachaye grupu obertannya p6 tobto podvijnu postupalnu simetriyu ta 6 kratnu obertalnu simetriyu v yakijs tochci abo v 3D paralelna vis Dovzhina perekladu dlya simetriyi vidtvorenoyu odniyeyu takoyu paroyu rotocentriv stanovit 2 3 displaystyle 2 sqrt 3 pomnozhena na vidstan mizh nimi Evklidova ploshina Giperbolichna ploshina lt img gt lt br gt Trikutna cherepicya Hexakis priklad p6 6 3 632 z kolorami ta p6m 6 3 632 bez koloriv liniyi ye osyami vidbittya yaksho kolori ignoruyutsya ta osoblivim vidom osi simetriyi yaksho kolori ne ignoruyutsya vidbittya povertaye kolori Mozhna vidiliti pryamokutni linijni sitki v troh oriyentaciyah lt img gt lt br gt Zamovlennya 3 7 kisrhombille priklad 7 3 732 simetriyi ta 7 3 732 bez koloriv Divitisya takozhAmbigrama Vis simetriyi Teorema kristalografichnogo obmezhennya Lorencovi simetriyi Trohvimirni tochkovi grupi Gvintova vis Tochki prostoru Postupalna simetriyaSpisok literaturiWeyl Hermann 1982 Symmetry Princeton Princeton University Press ISBN 0 691 02374 3 PosilannyaVikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Obertova simetriya lt img gt Prikladi obertalnoyi simetriyi z matematiki ce cikavo