Ромбоікосододека́едр — напівправильний багатогранник, який складається з 12 правильних п'ятикутників, 30 квадратів і 20 трикутників, архімедове тіло. Має ікосаедричний тип симетрії. В кожній з вершин сходяться трикутник, п'ятикутник і 2 квадрати.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOHlMekl4TDFKb2IyMWlhV052YzJsa2IyUmxZMkZvWldSeWIyNHVaMmxtTHpJMU1IQjRMVkpvYjIxaWFXTnZjMmxrYjJSbFkyRm9aV1J5YjI0dVoybG0uZ2lm.gif)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.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.png)
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpOWtMMlEwTDFKb2IyMWlhV052YzJsa2IyUmxZMkZvWldSeWIyNHVjM1JzTHpJeU1IQjRMVkpvYjIxaWFXTnZjMmxrYjJSbFkyRm9aV1J5YjI0dWMzUnNMbkJ1Wnc9PS5wbmc=.png)
Ромбоікосододекаедр можна подати як додекаедр, зрізаний за вершинами і ребрами (при цьому трикутники відповідають вершинам додекаедра, а квадрати — ребрам), або як ікосаедр, зрізаний так само (при цьому п'ятикутники відповідають вершинам ікосаедра, а квадрати — ребрам), або ж як зрізаний ікосододекаедр, чим він по суті і є.
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTgxTHpWaEwxQTBMVUV4TVMxUU5TNW5hV1k9LmdpZg==.gif)
Декартові координати
Декартові координати вершин ромбоікосододекаедра з довжиною ребра 2 із центром у початку координат є парними з:
- (± 1, ± 1, ± φ 3),
- (± φ 2, ± φ, ± 2 φ),
- (± (2+ φ), 0, ± φ 2), де φ = 1 + √5/2 являє собою золотий перетин . Отже, радіус описаної сфери цього ромбоікосододекаедра дорівнює відстані цих точок від початку координат, а саме √φ6+2 = √8φ+7 для довжини ребра 2. Для одиничної довжини ребра, зменшивши R удвічі, маємо
- R = √8φ+7/2 = √11+4√5/2 ≈ 2,233.
Ортогональні проєкції
Ромбоікосододекаедр має шість особливих ортогональних проєкцій, центрованих на вершині, на ребрах двох типів і гранях трьох типів: трикутнику, квадраті та п'ятикутнику. Останні дві відповідають площинам Коксетера А2 і Н2.
У центрі | Вершина | Ребро 3-4 | Ребро 5-4 | Квадратна грань | Трикутна грань | П'ятикутна грань |
---|---|---|---|---|---|---|
Суцільна | ![]() | ![]() | ![]() | |||
Каркасна | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Проєктивна симетрія | [2] | [2] | [2] | [2] | [6] | [10] |
Дуальне зображення | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
Сферична мозаїка
Ромбоікосододекаедр також можна зобразити у вигляді сферичної мозаїки та проєктувати на площину за допомогою стереографічної проєкції . Ця проєкція є конформною, зберігаючи кути, але не площі та довжини. Прямі лінії на кулі проєктуються на площину як дуги кола.
![]() | ![]() У центрі —п'ятикутник | ![]() У центрі — трикутник | ![]() У центрі — квадрат |
Ортогональна проєкція | Стереографічні проєкції |
---|
Пов'язані многогранники
Симетрія: , (*532) | [5,3]+, (532) | ||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() | ![]() ![]() ![]() ![]() ![]() |
{5,3} | t{5,3} | r{5,3} | t{3,5} | {3,5} | rr{5,3} | tr{5,3} | sr{5,3} |
Двоїсті до однорідних багатогранників | |||||||
![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() | ![]() |
V5.5.5 | V3.10.10 | V3.5.3.5 | V3.3.3.3.3 |
Див. також
Примітки
- Веннинджер, 1974, с. 20, 38.
- Энциклопедия элементарной математики, 1963, с. 437, 435.
- Люстерник, 1956, с. 184.
- Weisstein, Eric W. Icosahedral group(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Література
- М. Веннинджер. Модели многогранников. — Мир, 1974.
- Многоугольники и многогранники // Энциклопедия элементарной математики. Книга четвёртая. Геометрия / Под ред. П. С. Александрова, , . — М. : , 1963. — С. 382-447.
- Л. А. Люстерник. Выпуклые фигуры и многогранники. — М. : , 1956.