У теорії категорій, поняття проєктивного об'єкта узагальнює проєктивні модулі. Проєктивні об'єкти у абелевих категоріях широко використовуються у гомологічній алгебрі. Двоїстим до проєктивних об'єктів є ін'єктивні об'єкти.
Означення
Об'єкт у категорії
називається проєктивним якщо для довільного епіморфізма
і морфізма
, існує морфізм
для якого
, тобто існує комутативна діаграма:
У локально малій категорії
є проєктивним якщо і тільки якщо функтор Hom
зберігає епіморфізми.
Абелеві категорії
Нехай — локально мала абелева категорія. У цьому випадку об'єкт
називається проєктивним об'єктом якщо
є точним функтором, де є категорією абелевих груп.
Іншими еквівалентними означеннями у цьому випадку є
- Функтор Hom
переводить коядра об'єктів у коядра.
- Функтор Hom
переводить ковирівнювачі у ковирівнювачі.
- Функтор Hom
переводить кодекартові квадрати у кодекартові квадрати.
- Кожна послідовність виду
- є точною у
тоді і тільки тоді коли вона розщеплюється, тобто
є ізоморфним прямій сумі
.
Властивості
- Кодобуток двох проєктивних об'єктів є проєктивним об'єктом.
- Ретракт проєктивного об'єкта є проєктивним.
Достатньо проєктивних об'єктів
Нехай — абелева категорія. Кажуть, що
має достатньо проєктивних об'єктів якщо для кожного об'єкта
у
існує проєктивний об'єкт
у
і точна послідовність
Іншими словами є епіморфізмом.
Приклади
- Твердження про те, що всі множини є проєктивними об'єктами є еквівалентним аксіомі вибору.
- Проєктивний об'єктами у категорії абелевих груп є вільні абелеві групи.
- Нехай
— кільце з 1. Розглянемо (абелеву) категорію лівих
-модулів
. Проєктивними об'єктами у
є проєктивні ліві R-модулі. Зокрема
є проєктивним об'єктом у
- Категорія лівих (правих)
-модулів має достатньо проєктивних об'єктів. Це випливає з того, що для кожного лівого (правого)
-модуля
, можна взяти вільний (а відтак проєктивний)
-модуль
породжений елементами
і канонічна проєкція
буде необхідним сюр'єктивним відображенням.
Примітки
- Mac Lane, Saunders (1978). Categories for Working Mathematician (вид. Second). New York, NY: Springer New York. с. 114. ISBN . OCLC 851741862.
- Awodey, Steve (2010). Category theory (вид. 2nd). Oxford: Oxford University Press. с. 72. ISBN . OCLC 740446073.
- Awodey, Steve (2010). Category theory (вид. 2nd). Oxford: Oxford University Press. с. 33. ISBN . OCLC 740446073.
Див. також
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет