Брамагу́пта (санскр. ब्रह्मगुप्त; 598 — 668) — давньоіндійський математик і астроном, автор важливих праць із математики та астрономії а саме: теоретичний трактат «Брахма-спхута-сіддханта» («Brāhmasphuṭasiddhānta» ; може перекладатись як «Удосконалене вчення Брахми» чи «Перегляд системи Брами»), завершений у 628 році, та більш практичний текст «Кхандакхадьяка» («Khaṇḍakhādyaka»), який побачив світ у 665 році. Трактати написано у віршованій формі, що було досить популярним явищем серед індійських математиків. Ці праці справили значний вплив на розвиток астрономії у Візантії та ісламських країнах, поклавши початок використанню алгебраїчних методів для астрономічних обчислень.
Брамагупта | |
---|---|
санскр. ब्रह्मगुप्त | |
![]() | |
Ім'я при народженні | санскр. ब्रह्मगुप्तः[2] |
Народився | 598 [en], Індія |
Помер | 668 Удджайн, Індія[3] |
Місце проживання | [en], тепер у штаті Раджастхан, Індія і Удджайн, тепер у штаті Мадх'я-Прадеш, Індія |
Діяльність | математик, астроном |
Галузь | математика, астрономія |
Відомий завдяки: | «Перегляд системи Брами» |
Батько | Джиснугупта |
![]() |
Життєпис
Вважають, що Брамагупта народився у 598 році. Це випливає з книги «Брахма-спхута-сіддханта», у якій він повідомляє, що написав цей текст у тридцятирічному віці у 628 році (Śaka 550). Народився у Бгілламалі (тепер місто [en] у штаті Раджастхан на північному заході Індії). У стародавні часи місто Бгілламал було резиденцією влади Ґуджар. Його батьком був Джиснугупта. Ймовірно, прожив більшу частину свого життя в Бгілламалі під час правління (і, можливо, під патронажем) короля Вяжрамукха, тому його нерідко називають Бгілламакар'я (вчитель з Бгілламали). Керував астрономічною обсерваторією в Удджайні. Обсерваторія, у якій також працював Варагамігіра, була найкращою в тогочасній Індії.
Перебуваючи в Бгілламалі, написав чотири твори з математики та астрономії. У 628 році виклав у віршованій формі четверту індуїстську астрономічну систему у творі «Перегляд системи Брами» (Брахма-спхута-сіддханта). Дві його глави присвячені математиці, зокрема, арифметичній прогресії, доведенню різних геометричних теорем і розв'язанню квадратних рівнянь, які мають дійсні розв'язки. Решта 23 глави присвячені астрономії: у них описано фази Місяця, сполучення планет, наведено розрахунки положень планет. Значну частину роботи присвячено затемненням Сонця і Місяця, розрахунку розташування планет у гороскопі.
До нас дійшов лише твір Брамагупти «Перегляд системи Брахми» (628), значна частина якого присвячена арифметиці й алгебрі. У ньому викладено відомості про арифметичну прогресію (правило знаходження суми), методи розв'язування квадратних рівнянь з дійсними коренями, а також розв'язування в цілих числах деяких невизначених квадратних рівнянь вигляду ax²+c=y², метод розв'язування невизначених лінійних рівнянь вигляду ax+c=by з використанням методу послідовних дробів.
Внесок у математику
Арифметика
Уведення поняття нуля
В своїй праці «Брахма-спхута-сіддханта» Брамагупта дав означення нуля як результату віднімання від числа цього самого числа. Він одним з перших установив правила арифметичних операцій над додатними і від'ємними числами та нулем, розглядаючи при цьому додатні числа як майно, а від'ємні — як борг. Далі Брамагупта намагався розширити арифметику давши означення ділення на нуль. Згідно з Брамагуптою:
- Ділення нуля на нуль є нулем;
- Ділення додатного або від'ємного числа на нуль є дробом з нулем у знаменнику;
- Ділення нуля на додатне або від'ємне число дає нуль.
Тотожність Брамагупти
Тотожність Брамагупти стверджує, що добуток двох сум двох квадратів сам є сумою двох квадратів, причому двома способами:
Наприклад,
Геометрія
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODNMemM0TDFCeWIyOW1YMjltWDBKeVlXaHRZV2QxY0hSaEpUSTNjMTkwYUdWdmNtVnRMbk4yWnk4eU1qQndlQzFRY205dlpsOXZabDlDY21Gb2JXRm5kWEIwWVNVeU4zTmZkR2hsYjNKbGJTNXpkbWN1Y0c1bi5wbmc=.png)
Теорема Брамагупти
Нехай є вписаний чотирикутник, діагоналі якого взаємно перпендикулярні. Опустимо з точки перетину діагоналей перпендикуляр на одну з його сторін. Якщо продовжити його по інший бік від точки перетину діагоналей, цей перпендикуляр ділить протилежну сторону чотирикутника на дві рівні частини.
Формула Брамагупти
Формула Брамагупти є узагальненням формули Герона для площі трикутника на випадок чотирикутника, вписаного у коло. А саме, площа S вписаного у коло чотирикутника зі сторонами a, b, c, d і півпериметром p дорівнює
Відома ще одна формула Брамагупти для радіуса описаного кола довільного трикутника:
де a, b, c — сторони трикутника, ,
та
— його висоти.
Задача Брамагупти
![image](https://www.wikidata.uk-ua.nina.az/image/aHR0cHM6Ly93d3cud2lraWRhdGEudWstdWEubmluYS5hei9pbWFnZS9hSFIwY0hNNkx5OTFjR3h2WVdRdWQybHJhVzFsWkdsaExtOXlaeTkzYVd0cGNHVmthV0V2WTI5dGJXOXVjeTkwYUhWdFlpODBMelF5TDBKeVlXaHRZV2QxY0hSaGMxOW1iM0p0ZFd4aExuTjJaeTh4TlRCd2VDMUNjbUZvYldGbmRYQjBZWE5mWm05eWJYVnNZUzV6ZG1jdWNHNW4ucG5n.png)
Задача Брамагупти — побудувати за допомогою циркуля та лінійки вписаний чотирикутник за чотирма його сторонами. Один із розв'язків використовує кола Аполлонія.
Алгебра
Розв'язування квадратних рівнянь
Одне з перших відомих виведень формули для знаходження коренів квадратного рівняння належить Брамагупті. Він першим запропонував універсальне правило знаходження коренів рівняння, зведеного до канонічного вигляду . При цьому передбачалося, що в ньому всі коефіцієнти, крім
можуть бути від'ємними. Сформульоване правило за своєю суттю збігається зі сучасним.
Інтерполяційна формула Брамагупти
У своїх наукових працях Брамагупта запропонував інтерполяційну формулу другого порядку, що є частковим випадком виведеної більше ніж через 1000 років по тому інтерполяційної формули Ньютона — Стірлінга. Він використовував її для інтерполяції значень синуса у складених ним тригонометричних таблицях. Формула дає оцінку значення функції f при значенні її аргумента a + xh (при h > 0 та −1 ≤ x ≤ 1), коли її значення вже відоме в точках a − h, a та a + h. Вона записується так:
де Δ — оператор висхідної скінченної різниці першого порядку, тобто
Внесок в астрономію
Деякі дослідники вважають, що араби познайомилися з індійською астрономією у VIII столітті виключно завдяки праці Брамагупти «Брахма-спхута-сіддханта». Халіф Аль-Мансур (712—775) запросив 770 року до Багдаду вченого з Удджайна на ім'я Канака, який викладав індійську систему астрономії на основі «Брахма-спхута-сіддханта». На прохання халіфа математик та філософ Мухаммед аль-Фазарі переклав праці Брамагупти арабською мовою.
Астрономічні відомості Брамагупти, викладені в «Брахма-спхута-сіддханта», свідчать про високий рівень його досліджень та наукову прозорливість. Так, у сьомому розділі праці «Про затемнення Місяця», Брамагупта спростовує уявлення про те, що Місяць розташований далі від Землі, ніж Сонце:
7.1. Якби Місяць був вище від Сонця, то його ближня до Сонця половина завжди була б освітленою.7.2. Аналогічно, освітлену Сонцем частину Місяця завжди було б видно, а неосвітлена частина залишалася б невидимою.
7.3. Яскравість [освітленої частини Місяця] зростає в напрямку до Сонця. Наприкінці світлого півмісяця ближча половина освітлена, а інша половина темна. Відтак, висоту рогів півмісяця можна обчислити.— Plofker, Kim (2007). "Mathematics in India". The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. .
Брамагупта пояснює, що оскільки Місяць ближче до Землі, ніж Сонце, ступінь освітленості Місяця залежить від взаємного розташування Сонця та Місяця, і його можна обчислити, виходячи з величини кута між цими двома небесними тілами.
Важливим внеском Брамагупти в астрономію є методи розрахунку положення небесних тіл з плином часу (ефемериди), їх сходів та заходів, сполучень, а також розрахунку сонячних та місячних затемнень. Брамагупта критикував уявлення пуранічної космології про те, що Земля є пласкою або порожнистою. Він стверджував що Земля і небо мають сферичну форму і що Земля рухається. 1030 року газневідський астроном Аль-Біруні у своїй праці «Та'ріх аль-Гінд», прокоментував роботу Брамагупти. Біруні зазначав, що на зауваження критиків теорії кулястої Землі («Якби це було так, то камені та дерева падали б із Землі») Брамагупта відповів:
«Навпаки, якби це було не так, то Земля не могла б зберігати свою форму навіть протягом хвилин. […] Усі важкі речі притягуються до центру землі […] Земля однакова з усіх боків. Всі люди на Землі стоять, і всі важкі речі падають на землю за законом природи, так влаштована природа Землі, щоб притягувати та тримати речі, так як природа води — текти, вогню — горіти, вітру — приводити в рух… Земля — це єдина низька річ, всі предмети завжди повернуться до неї з будь-якого напрямку, куди б ви їх не кинули, і ніколи не піднімуться вгору від Землі».— Брамагупта, Брахма-спхута-сіддханта (628) (cf. al-Biruni (1030), Indica)
Про силу тяжіння Землі Брамагупта говорив:
«Тіла падають на землю, оскільки це в природі Землі — притягувати їх, так само як в природі води — текти.»— Thomas Khoshy, Elementary Number Theory with Applications, Academic Press, 2002, p. 567. .
Твори
«Брахма-спхута-сіддханта»
Основна праця Брамагупти, «Брахма-спхута-сіддханта» (628), містить 25 розділів:
- Про стан земної кулі і форму неба та Землі.
- Про обертання світил і про визначення часу; про те, як знаходити середні положення світил; про визначення синуса дуги.
- Про складання таблиці світил.
- Про три проблеми, а саме: про тіні, про частину дня, що минула, і про гороскопи; а також про те, як виводити одне з них з іншого.
- Про те, як світила з'являються з-за проміння Сонця і як вони ховаються за ним.
- Про те, як показується молодий Місяць, і про його два роги.
- Про затемнення Місяця.
- Про затемнення Сонця.
- Про тіні Місяця.
- Про сполучення та протистояння світил.
- Про широти світил.
- Про критику того, що міститься у книгах та таблицях, і про розрізнення правильного від неправильного.
- Про арифметику та її застосування в обчисленні відстаней і в інших випадках.
- Про уточнення середнього положення світил.
- Про виправлення таблиці світил.
- Про точне дослідження трьох проблем.
- Про відхилення затемнень.
- Про точне визначення появи молодого Місяця і його двох рогів.
- Про метод «куттака».
- Про розрахунки в розмірах віршів та метриці.
- Про кола та інструменти.
- Про чотири виміри часу — за Сонцем, за сходом, за Місяцем і за місячними станціями.
- Про знаки для чисел і цифр у віршованих творах із цього предмету.
- Про доведення, що не використовують математики.
771 року математик і філософ Ібрахім аль-Фазарі переклав «Брахма-спхута-сіддханта» арабською. Переклад, виконаний у вигляді таблиць — зіджу — з необхідними поясненнями та рекомендаціями, отримав назву «Великий Сіндгінд». Відомо, що цією роботою користувався перський математик аль-Хорезмі (770—850) для написання своїх праць з астрономії («Зідж аль-Хорезмі») та арифметики («Книга про індійську арифметику»). Вважають, що переклад останньої XI столітті латиною відіграв вирішальну роль у поширенні позиційної системи числення.
У VII—IX столітті «Брахма-спхута-сіддханта» переклали китайські математики (відомо принаймні чотири переклади), що дозволило поширити десяткову систему серед китайських вчених. У 1817 році Генрі Томас Колбрук переклав дві математичні глави англійською.
«Кхандакхадьяка»
Друга наукова праця Брамагупти, «Кхандакхадьяка» (665), також є фундаментальною працею з астрономії. Вона містить 8 глав. У ній Брамагупта уточнив й спростив низку методик астрономічних розрахунків, користуючись багато в чому системою, яку запропонував Аріабхата. Крім цього, вона включає інтерполяційну формулу для обчислення синусів. У VIII столітті «Кхандакхадьяку» перекладено арабською під назвою «Арканд».
Коментарі до «Кхандакхадьяки» написано в 864, 966, 1040, 1180 роках, деякі з них не збереглись. Саму книгу надруковано в Калькутті в 1925 та 1941 роках. 1934 року [en] переклав її англійською.
Див. також
Примітки
- Sachau, Edward C. (2013), , Routledge, с. 156, ISBN , архів оригіналу за 5 грудня 2021, процитовано 15 грудня 2021
- VIAF — [Dublin, Ohio]: OCLC, 2003.
- https://books.google.cat/books?id=aBHSc2hTfeUC&pg=PA181 — С. 181.
- Pearce Ian. Brahmagupta, and the influence on Arabia. MacTutor History of Mathematics archive. Архів оригіналу за 15 вересня 2013. Процитовано 20 серпня 2013.
- Brahmagupta, Bhaskara, Henry-Thomas Colebrooke, 1817, с. xxxv-xxxvi.
- . Encyclopedia of World Biography. 2006. Архів оригіналу за 21 вересня 2016. Процитовано 20 серпня 2013.
- J J O'Connor and E F Robertson. Brahmagupta. MacTutor History of Mathematics archive. Архів оригіналу за 15 вересня 2013. Процитовано 20 серпня 2013.
- Plofker, 2007, с. 418—419.
- . Complete Dictionary of Scientific Biography. Архів оригіналу за 21 вересня 2016. Процитовано 20 серпня 2013.
- Plofker, 2007, с. 428—434.
- Michael John Bradley The Birth of Mathematics: Ancient Times to 1300. — Publisher Infobase Publishing, 2006. — P 70, 85. —
- Задачи по планиметрии, в 2-х ч. — М.: Наука, 1986.
- Энциклопедический словарь юного математика, 1985.
- Joseph, George G. (2000). [https://books.google.co.uk/books?id=c-xT0KNJp0cC The Crest of the Peacock]. Princeton, NJ: Princeton University Press. с. 285-286. ISBN ..
- Brahmagupta, and the influence on Arabia [ 2013-07-02 у Wayback Machine.]. Retrieved 23 December 2007.
- Plofker, Kim (2007). «Mathematics in India». The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. .
- Young, M. J. L.; Latham, J. D.; Serjeant, R. B. (2 листопада 2006), , Cambridge University Press, с. 302—303, ISBN , архів оригіналу за 14 квітня 2021, процитовано 15 грудня 2021
- van Bladel, Kevin (28 листопада 2014), Eighth Century Indian Astronomy in the Two Cities of Peace, у Asad Q. Ahmed; Benham Sadeghi; Robert G. Hoyland (ред.), , BRILL, с. 257—294, ISBN , архів оригіналу за 14 квітня 2021, процитовано 15 грудня 2021
- Takao Hayashi. Brahmagupta. Британська енциклопедія. Архів оригіналу за 16 вересня 2013. Процитовано 20 серпня 2013.
- Katz V. J., Imhausen A. История человечества. — Издательский дом Магистр-Пресс, 2003. — Т. IV. VII-XVI века. — P. 410-412. (рос.)
Джерела
- Brahmagupta, Bhaskara, Colebrooke H.-T. Algebra, with arithmetic and mensuration, from Sanscrit of Brahmagupta and Bhascara. — John Murray, 1817. — 378 p. (англ.)
- Plofker K. Mathematics in India // The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A sourcebook / Editor Katz V. J. — Princeton University Press, 2007. — 685 p. (англ.)
- Ван дер Варден Б. Л. Уравнение Пелля в математике греков и индийцев. / Успехи математических наук. — 1976. — Т. 31. — С. 57-70.
- Володарский А. И. Очерки истории средневековой индийской математики. — М. : Наука, 1977. — 187 с.
- Юшкевич А. П. История математики в средние века. — М. : Физматгиз, 1961.
- Gupta, Radha Charan (2008), , у Selin, Helaine (ред.), Encyclopaedia of the History of Science, Technology, and Medicine in Non-Western Cultures, Springer, с. 162—163, , , архів оригіналу за 6 березня 2017, процитовано 6 травня 2017
- O'Leary, De Lacy (2001) [first published 1948], How Greek Science Passed to the Arabs (вид. 2nd), Goodword Books, ISBN
- Plofker, Kim (2007), Mathematics in India, , Princeton University Press, ISBN , архів оригіналу за 12 вересня 2017, процитовано 6 травня 2017
- Stillwell, John (2004), (вид. Second), Springer Science + Business Media Inc., ISBN , архів оригіналу за 12 вересня 2017, процитовано 6 травня 2017
- Hockey, Thomas, ред. (2007), Brahmagupta, Biographical Encyclopedia of Astronomers, Springer Science & Business Media, с. 165, ISBN
- Bose, D. M.; Sen, S. N.; Subbarayappa, B. V. (1971), , New Delhi: Indian National Academy of Science, с. 95—97, архів оригіналу за 8 грудня 2015, процитовано 22 лютого 2019
- Bhattacharyya, R. K. (2011), Brahmagupta: The Ancient Indian Mathematician, у B. S. Yadav; Man Mohan (ред.), , Springer Science & Business Media, с. 185—192, ISBN , архів оригіналу за 30 березня 2019, процитовано 6 травня 2017
- Boyer, Carl B. (1991), A History of Mathematics, John Wiley & Sons, Inc, ISBN
- Cooke, Roger (1997), , Wiley-Interscience, ISBN , архів оригіналу за 12 вересня 2017, процитовано 6 травня 2017
- Еремеева А. И., Цицин Ф. А. История астрономии (основные этапы развития астрономической картины мира). — М. : Изд. МГУ, 1989. — 349 с..
- Квадратное уравнение; Квадратный трёхчлен // Энциклопедический словарь юного математика / Сост. А. П. Савин. — М. : Педагогика, 1985. — С. 133-136.
Посилання
Вікіцитати містять висловлювання від або про: Брамагупта |
Вікісховище має мультимедійні дані за темою: Брамагупта |
- Brahmagupta's Brahma-sphuta-siddhanta [ 16 липня 2011 у Wayback Machine.] edited by Ram Swarup Sharma, Indian Institute of Astronomical and Sanskrit Research, 1966. English introduction, Sanskrit text, Sanskrit and Hindi commentaries (PDF)
- Algebra, with Arithmetic and mensuration, from the Sanscrit of Brahmegupta and Bháscara [ 30 березня 2019 у Wayback Machine.], translated by Henry Thomas Colebrooke.
- Brahmagupta Brahma-Sphuta-Siddhanta [ 8 жовтня 2011 у Wayback Machine.]. — New Delhi, 1966.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Bramagu pta sanskr ब रह मग प त 598 668 davnoindijskij matematik i astronom avtor vazhlivih prac iz matematiki ta astronomiyi a same teoretichnij traktat Brahma sphuta siddhanta Brahmasphuṭasiddhanta mozhe perekladatis yak Udoskonalene vchennya Brahmi chi Pereglyad sistemi Brami zavershenij u 628 roci ta bilsh praktichnij tekst Khandakhadyaka Khaṇḍakhadyaka yakij pobachiv svit u 665 roci Traktati napisano u virshovanij formi sho bulo dosit populyarnim yavishem sered indijskih matematikiv Ci praci spravili znachnij vpliv na rozvitok astronomiyi u Vizantiyi ta islamskih krayinah poklavshi pochatok vikoristannyu algebrayichnih metodiv dlya astronomichnih obchislen Bramaguptasanskr ब रह मग प तIm ya pri narodzhenni sanskr ब रह मग प त 2 Narodivsya 598 0598 en IndiyaPomer 668 0668 Uddzhajn Indiya 3 Misce prozhivannya en teper u shtati Radzhasthan Indiya i Uddzhajn teper u shtati Madh ya Pradesh IndiyaDiyalnist matematik astronomGaluz matematika astronomiyaVidomij zavdyaki Pereglyad sistemi Brami Batko DzhisnuguptaVislovlyuvannya u Vikicitatah Bramagupta u VikishovishiZhittyepisVvazhayut sho Bramagupta narodivsya u 598 roci Ce viplivaye z knigi Brahma sphuta siddhanta u yakij vin povidomlyaye sho napisav cej tekst u tridcyatirichnomu vici u 628 roci Saka 550 Narodivsya u Bgillamali teper misto en u shtati Radzhasthan na pivnichnomu zahodi Indiyi U starodavni chasi misto Bgillamal bulo rezidenciyeyu vladi Gudzhar Jogo batkom buv Dzhisnugupta Jmovirno prozhiv bilshu chastinu svogo zhittya v Bgillamali pid chas pravlinnya i mozhlivo pid patronazhem korolya Vyazhramukha tomu jogo neridko nazivayut Bgillamakar ya vchitel z Bgillamali Keruvav astronomichnoyu observatoriyeyu v Uddzhajni Observatoriya u yakij takozh pracyuvav Varagamigira bula najkrashoyu v togochasnij Indiyi Perebuvayuchi v Bgillamali napisav chotiri tvori z matematiki ta astronomiyi U 628 roci viklav u virshovanij formi chetvertu induyistsku astronomichnu sistemu u tvori Pereglyad sistemi Brami Brahma sphuta siddhanta Dvi jogo glavi prisvyacheni matematici zokrema arifmetichnij progresiyi dovedennyu riznih geometrichnih teorem i rozv yazannyu kvadratnih rivnyan yaki mayut dijsni rozv yazki Reshta 23 glavi prisvyacheni astronomiyi u nih opisano fazi Misyacya spoluchennya planet navedeno rozrahunki polozhen planet Znachnu chastinu roboti prisvyacheno zatemnennyam Soncya i Misyacya rozrahunku roztashuvannya planet u goroskopi Do nas dijshov lishe tvir Bramagupti Pereglyad sistemi Brahmi 628 znachna chastina yakogo prisvyachena arifmetici j algebri U nomu vikladeno vidomosti pro arifmetichnu progresiyu pravilo znahodzhennya sumi metodi rozv yazuvannya kvadratnih rivnyan z dijsnimi korenyami a takozh rozv yazuvannya v cilih chislah deyakih neviznachenih kvadratnih rivnyan viglyadu ax c y metod rozv yazuvannya neviznachenih linijnih rivnyan viglyadu ax c by z vikoristannyam metodu poslidovnih drobiv Vnesok u matematikuArifmetika Uvedennya ponyattya nulya V svoyij praci Brahma sphuta siddhanta Bramagupta dav oznachennya nulya yak rezultatu vidnimannya vid chisla cogo samogo chisla Vin odnim z pershih ustanoviv pravila arifmetichnih operacij nad dodatnimi i vid yemnimi chislami ta nulem rozglyadayuchi pri comu dodatni chisla yak majno a vid yemni yak borg Dali Bramagupta namagavsya rozshiriti arifmetiku davshi oznachennya dilennya na nul Zgidno z Bramaguptoyu Dilennya nulya na nul ye nulem Dilennya dodatnogo abo vid yemnogo chisla na nul ye drobom z nulem u znamenniku Dilennya nulya na dodatne abo vid yemne chislo daye nul Totozhnist Bramagupti Dokladnishe Totozhnist Bramagupti Totozhnist Bramagupti stverdzhuye sho dobutok dvoh sum dvoh kvadrativ sam ye sumoyu dvoh kvadrativ prichomu dvoma sposobami a 2 b 2 c 2 d 2 a c b d 2 a d b c 2 a c b d 2 a d b c 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 d 2 ac bd 2 ad bc 2 ac bd 2 ad bc 2 Napriklad 1 2 4 2 2 2 7 2 26 2 15 2 30 2 1 2 displaystyle 1 2 4 2 2 2 7 2 26 2 15 2 30 2 1 2 Geometriya Do dovedennya teoremi Bramagupti Teorema Bramagupti Dokladnishe Teorema Bramagupti Nehaj ye vpisanij chotirikutnik diagonali yakogo vzayemno perpendikulyarni Opustimo z tochki peretinu diagonalej perpendikulyar na odnu z jogo storin Yaksho prodovzhiti jogo po inshij bik vid tochki peretinu diagonalej cej perpendikulyar dilit protilezhnu storonu chotirikutnika na dvi rivni chastini Formula Bramagupti Dokladnishe Formula Bramagupti Formula Bramagupti ye uzagalnennyam formuli Gerona dlya ploshi trikutnika na vipadok chotirikutnika vpisanogo u kolo A same plosha S vpisanogo u kolo chotirikutnika zi storonami a b c d i pivperimetrom p dorivnyuye S p a p b p c p d displaystyle S sqrt p a p b p c p d Vidoma she odna formula Bramagupti dlya radiusa opisanogo kola dovilnogo trikutnika R a b 2 h c b c 2 h a a c 2 h b displaystyle R frac ab 2h c frac bc 2h a frac ac 2h b de a b c storoni trikutnika h a displaystyle h a h b displaystyle h b ta h c displaystyle h c jogo visoti Zadacha Bramagupti Zadacha Bramagupti pobuduvati za dopomogoyu cirkulya ta linijki vpisanij chotirikutnik za chotirma jogo storonami Odin iz rozv yazkiv vikoristovuye kola Apolloniya Algebra Rozv yazuvannya kvadratnih rivnyan Odne z pershih vidomih viveden formuli dlya znahodzhennya koreniv kvadratnogo rivnyannya nalezhit Bramagupti Vin pershim zaproponuvav universalne pravilo znahodzhennya koreniv rivnyannya zvedenogo do kanonichnogo viglyadu a x 2 b x c displaystyle ax 2 bx c Pri comu peredbachalosya sho v nomu vsi koeficiyenti krim a displaystyle a mozhut buti vid yemnimi Sformulovane pravilo za svoyeyu suttyu zbigayetsya zi suchasnim Interpolyacijna formula Bramagupti U svoyih naukovih pracyah Bramagupta zaproponuvav interpolyacijnu formulu drugogo poryadku sho ye chastkovim vipadkom vivedenoyi bilshe nizh cherez 1000 rokiv po tomu interpolyacijnoyi formuli Nyutona Stirlinga Vin vikoristovuvav yiyi dlya interpolyaciyi znachen sinusa u skladenih nim trigonometrichnih tablicyah Formula daye ocinku znachennya funkciyi f pri znachenni yiyi argumenta a xh pri h gt 0 ta 1 x 1 koli yiyi znachennya vzhe vidome v tochkah a h a ta a h Vona zapisuyetsya tak f a x h f a x D f a D f a h 2 x 2 D 2 f a h 2 displaystyle f a xh approx f a x left frac Delta f a Delta f a h 2 right frac x 2 Delta 2 f a h 2 de D operator vishidnoyi skinchennoyi riznici pershogo poryadku tobto D f a d e f f a h f a displaystyle Delta f a stackrel mathrm def f a h f a Vnesok v astronomiyuDeyaki doslidniki vvazhayut sho arabi poznajomilisya z indijskoyu astronomiyeyu u VIII stolitti viklyuchno zavdyaki praci Bramagupti Brahma sphuta siddhanta Halif Al Mansur 712 775 zaprosiv 770 roku do Bagdadu vchenogo z Uddzhajna na im ya Kanaka yakij vikladav indijsku sistemu astronomiyi na osnovi Brahma sphuta siddhanta Na prohannya halifa matematik ta filosof Muhammed al Fazari pereklav praci Bramagupti arabskoyu movoyu Astronomichni vidomosti Bramagupti vikladeni v Brahma sphuta siddhanta svidchat pro visokij riven jogo doslidzhen ta naukovu prozorlivist Tak u somomu rozdili praci Pro zatemnennya Misyacya Bramagupta sprostovuye uyavlennya pro te sho Misyac roztashovanij dali vid Zemli nizh Sonce 7 1 Yakbi Misyac buv vishe vid Soncya to jogo blizhnya do Soncya polovina zavzhdi bula b osvitlenoyu 7 2 Analogichno osvitlenu Soncem chastinu Misyacya zavzhdi bulo b vidno a neosvitlena chastina zalishalasya b nevidimoyu 7 3 Yaskravist osvitlenoyi chastini Misyacya zrostaye v napryamku do Soncya Naprikinci svitlogo pivmisyacya blizhcha polovina osvitlena a insha polovina temna Vidtak visotu rogiv pivmisyacya mozhna obchisliti Plofker Kim 2007 Mathematics in India The Mathematics of Egypt Mesopotamia China India and Islam A Sourcebook Princeton University Press ISBN 978 0 691 11485 9 Bramagupta poyasnyuye sho oskilki Misyac blizhche do Zemli nizh Sonce stupin osvitlenosti Misyacya zalezhit vid vzayemnogo roztashuvannya Soncya ta Misyacya i jogo mozhna obchisliti vihodyachi z velichini kuta mizh cimi dvoma nebesnimi tilami Vazhlivim vneskom Bramagupti v astronomiyu ye metodi rozrahunku polozhennya nebesnih til z plinom chasu efemeridi yih shodiv ta zahodiv spoluchen a takozh rozrahunku sonyachnih ta misyachnih zatemnen Bramagupta kritikuvav uyavlennya puranichnoyi kosmologiyi pro te sho Zemlya ye plaskoyu abo porozhnistoyu Vin stverdzhuvav sho Zemlya i nebo mayut sferichnu formu i sho Zemlya ruhayetsya 1030 roku gaznevidskij astronom Al Biruni u svoyij praci Ta rih al Gind prokomentuvav robotu Bramagupti Biruni zaznachav sho na zauvazhennya kritikiv teoriyi kulyastoyi Zemli Yakbi ce bulo tak to kameni ta dereva padali b iz Zemli Bramagupta vidpoviv Navpaki yakbi ce bulo ne tak to Zemlya ne mogla b zberigati svoyu formu navit protyagom hvilin Usi vazhki rechi prityaguyutsya do centru zemli Zemlya odnakova z usih bokiv Vsi lyudi na Zemli stoyat i vsi vazhki rechi padayut na zemlyu za zakonom prirodi tak vlashtovana priroda Zemli shob prityaguvati ta trimati rechi tak yak priroda vodi tekti vognyu goriti vitru privoditi v ruh Zemlya ce yedina nizka rich vsi predmeti zavzhdi povernutsya do neyi z bud yakogo napryamku kudi b vi yih ne kinuli i nikoli ne pidnimutsya vgoru vid Zemli Bramagupta Brahma sphuta siddhanta 628 cf al Biruni 1030 Indica Pro silu tyazhinnya Zemli Bramagupta govoriv Tila padayut na zemlyu oskilki ce v prirodi Zemli prityaguvati yih tak samo yak v prirodi vodi tekti Thomas Khoshy Elementary Number Theory with Applications Academic Press 2002 p 567 ISBN 0 12 421171 2 Tvori Brahma sphuta siddhanta Osnovna pracya Bramagupti Brahma sphuta siddhanta 628 mistit 25 rozdiliv Pro stan zemnoyi kuli i formu neba ta Zemli Pro obertannya svitil i pro viznachennya chasu pro te yak znahoditi seredni polozhennya svitil pro viznachennya sinusa dugi Pro skladannya tablici svitil Pro tri problemi a same pro tini pro chastinu dnya sho minula i pro goroskopi a takozh pro te yak vivoditi odne z nih z inshogo Pro te yak svitila z yavlyayutsya z za prominnya Soncya i yak voni hovayutsya za nim Pro te yak pokazuyetsya molodij Misyac i pro jogo dva rogi Pro zatemnennya Misyacya Pro zatemnennya Soncya Pro tini Misyacya Pro spoluchennya ta protistoyannya svitil Pro shiroti svitil Pro kritiku togo sho mistitsya u knigah ta tablicyah i pro rozriznennya pravilnogo vid nepravilnogo Pro arifmetiku ta yiyi zastosuvannya v obchislenni vidstanej i v inshih vipadkah Pro utochnennya serednogo polozhennya svitil Pro vipravlennya tablici svitil Pro tochne doslidzhennya troh problem Pro vidhilennya zatemnen Pro tochne viznachennya poyavi molodogo Misyacya i jogo dvoh rogiv Pro metod kuttaka Pro rozrahunki v rozmirah virshiv ta metrici Pro kola ta instrumenti Pro chotiri vimiri chasu za Soncem za shodom za Misyacem i za misyachnimi stanciyami Pro znaki dlya chisel i cifr u virshovanih tvorah iz cogo predmetu Pro dovedennya sho ne vikoristovuyut matematiki 771 roku matematik i filosof Ibrahim al Fazari pereklav Brahma sphuta siddhanta arabskoyu Pereklad vikonanij u viglyadi tablic zidzhu z neobhidnimi poyasnennyami ta rekomendaciyami otrimav nazvu Velikij Sindgind Vidomo sho ciyeyu robotoyu koristuvavsya perskij matematik al Horezmi 770 850 dlya napisannya svoyih prac z astronomiyi Zidzh al Horezmi ta arifmetiki Kniga pro indijsku arifmetiku Vvazhayut sho pereklad ostannoyi XI stolitti latinoyu vidigrav virishalnu rol u poshirenni pozicijnoyi sistemi chislennya U VII IX stolitti Brahma sphuta siddhanta pereklali kitajski matematiki vidomo prinajmni chotiri perekladi sho dozvolilo poshiriti desyatkovu sistemu sered kitajskih vchenih U 1817 roci Genri Tomas Kolbruk pereklav dvi matematichni glavi anglijskoyu Khandakhadyaka Druga naukova pracya Bramagupti Khandakhadyaka 665 takozh ye fundamentalnoyu praceyu z astronomiyi Vona mistit 8 glav U nij Bramagupta utochniv j sprostiv nizku metodik astronomichnih rozrahunkiv koristuyuchis bagato v chomu sistemoyu yaku zaproponuvav Ariabhata Krim cogo vona vklyuchaye interpolyacijnu formulu dlya obchislennya sinusiv U VIII stolitti Khandakhadyaku perekladeno arabskoyu pid nazvoyu Arkand Komentari do Khandakhadyaki napisano v 864 966 1040 1180 rokah deyaki z nih ne zbereglis Samu knigu nadrukovano v Kalkutti v 1925 ta 1941 rokah 1934 roku en pereklav yiyi anglijskoyu Div takozhTotozhnist Bramagupti Interpolyacijna formula Bramagupti Teorema Bramagupti Formula Bramagupti Indijska astronomiyaPrimitkiSachau Edward C 2013 Routledge s 156 ISBN 978 1 136 38357 1 arhiv originalu za 5 grudnya 2021 procitovano 15 grudnya 2021 VIAF Dublin Ohio OCLC 2003 d Track Q54837d Track Q54919 https books google cat books id aBHSc2hTfeUC amp pg PA181 S 181 Pearce Ian Brahmagupta and the influence on Arabia MacTutor History of Mathematics archive Arhiv originalu za 15 veresnya 2013 Procitovano 20 serpnya 2013 Brahmagupta Bhaskara Henry Thomas Colebrooke 1817 s xxxv xxxvi Encyclopedia of World Biography 2006 Arhiv originalu za 21 veresnya 2016 Procitovano 20 serpnya 2013 J J O Connor and E F Robertson Brahmagupta MacTutor History of Mathematics archive Arhiv originalu za 15 veresnya 2013 Procitovano 20 serpnya 2013 Plofker 2007 s 418 419 Complete Dictionary of Scientific Biography Arhiv originalu za 21 veresnya 2016 Procitovano 20 serpnya 2013 Plofker 2007 s 428 434 Michael John Bradley The Birth of Mathematics Ancient Times to 1300 Publisher Infobase Publishing 2006 P 70 85 ISBN 0816054231 Zadachi po planimetrii v 2 h ch M Nauka 1986 Enciklopedicheskij slovar yunogo matematika 1985 Joseph George G 2000 https books google co uk books id c xT0KNJp0cC The Crest of the Peacock Princeton NJ Princeton University Press s 285 286 ISBN 0 691 00659 8 Brahmagupta and the influence on Arabia 2013 07 02 u Wayback Machine Retrieved 23 December 2007 Plofker Kim 2007 Mathematics in India The Mathematics of Egypt Mesopotamia China India and Islam A Sourcebook Princeton University Press ISBN 978 0 691 11485 9 Young M J L Latham J D Serjeant R B 2 listopada 2006 Cambridge University Press s 302 303 ISBN 978 0 521 02887 5 arhiv originalu za 14 kvitnya 2021 procitovano 15 grudnya 2021 van Bladel Kevin 28 listopada 2014 Eighth Century Indian Astronomy in the Two Cities of Peace u Asad Q Ahmed Benham Sadeghi Robert G Hoyland red BRILL s 257 294 ISBN 978 90 04 28171 4 arhiv originalu za 14 kvitnya 2021 procitovano 15 grudnya 2021 Takao Hayashi Brahmagupta Britanska enciklopediya Arhiv originalu za 16 veresnya 2013 Procitovano 20 serpnya 2013 Katz V J Imhausen A Istoriya chelovechestva Izdatelskij dom Magistr Press 2003 T IV VII XVI veka P 410 412 ros DzherelaBrahmagupta Bhaskara Colebrooke H T Algebra with arithmetic and mensuration from Sanscrit of Brahmagupta and Bhascara John Murray 1817 378 p angl Plofker K Mathematics in India The Mathematics of Egypt Mesopotamia China India and Islam A sourcebook Editor Katz V J Princeton University Press 2007 685 p angl Van der Varden B L Uravnenie Pellya v matematike grekov i indijcev Uspehi matematicheskih nauk 1976 T 31 S 57 70 Volodarskij A I Ocherki istorii srednevekovoj indijskoj matematiki M Nauka 1977 187 s Yushkevich A P Istoriya matematiki v srednie veka M Fizmatgiz 1961 Gupta Radha Charan 2008 u Selin Helaine red Encyclopaedia of the History of Science Technology and Medicine in Non Western Cultures Springer s 162 163 ISBN 978 1 4020 4559 2 ISBN 1 4020 4425 9 arhiv originalu za 6 bereznya 2017 procitovano 6 travnya 2017 O Leary De Lacy 2001 first published 1948 How Greek Science Passed to the Arabs vid 2nd Goodword Books ISBN 8187570245 Plofker Kim 2007 Mathematics in India Princeton University Press ISBN 978 0 691 11485 9 arhiv originalu za 12 veresnya 2017 procitovano 6 travnya 2017 Stillwell John 2004 vid Second Springer Science Business Media Inc ISBN 0 387 95336 1 arhiv originalu za 12 veresnya 2017 procitovano 6 travnya 2017 Hockey Thomas red 2007 Brahmagupta Biographical Encyclopedia of Astronomers Springer Science amp Business Media s 165 ISBN 0387304002 Bose D M Sen S N Subbarayappa B V 1971 New Delhi Indian National Academy of Science s 95 97 arhiv originalu za 8 grudnya 2015 procitovano 22 lyutogo 2019 Bhattacharyya R K 2011 Brahmagupta The Ancient Indian Mathematician u B S Yadav Man Mohan red Springer Science amp Business Media s 185 192 ISBN 978 0 8176 4695 0 arhiv originalu za 30 bereznya 2019 procitovano 6 travnya 2017 Boyer Carl B 1991 A History of Mathematics John Wiley amp Sons Inc ISBN 0 471 54397 7 Cooke Roger 1997 Wiley Interscience ISBN 0 471 18082 3 arhiv originalu za 12 veresnya 2017 procitovano 6 travnya 2017 Eremeeva A I Cicin F A Istoriya astronomii osnovnye etapy razvitiya astronomicheskoj kartiny mira M Izd MGU 1989 349 s Kvadratnoe uravnenie Kvadratnyj tryohchlen Enciklopedicheskij slovar yunogo matematika Sost A P Savin M Pedagogika 1985 S 133 136 PosilannyaVikicitati mistyat vislovlyuvannya vid abo pro Bramagupta Vikishovishe maye multimedijni dani za temoyu Bramagupta Brahmagupta s Brahma sphuta siddhanta 16 lipnya 2011 u Wayback Machine edited by Ram Swarup Sharma Indian Institute of Astronomical and Sanskrit Research 1966 English introduction Sanskrit text Sanskrit and Hindi commentaries PDF Algebra with Arithmetic and mensuration from the Sanscrit of Brahmegupta and Bhascara 30 bereznya 2019 u Wayback Machine translated by Henry Thomas Colebrooke Brahmagupta Brahma Sphuta Siddhanta 8 zhovtnya 2011 u Wayback Machine New Delhi 1966