Тотожність Брамагупти

Тотожність Брамагупти — алгебраїчна тотожність, що стверджує: добуток суми двох на іншу суму двох квадратів також буде сумою двох квадратів:

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(a^{2}+b^{2}\right)\left(c^{2}+d^{2}\right)&{}=\left(ac-bd\right)^{2}+\left(ad+bc\right)^{2}\ \qquad \qquad (1)\\&{}=\left(ac+bd\right)^{2}+\left(ad-bc\right)^{2}.\qquad \qquad (2)\end{aligned}}}$

Була відкрита індійським математиком Брамагуптою в 7 столітті.

Зв’язок з комплексними числами

Використавши, що добуток модулів комплексних чисел дорівнює модулю добутку:

${\displaystyle |a+bi||c+di|=|(a+bi)(c+di)|\,}$

піднісши обидві частини до квадрату

${\displaystyle |a+bi|^{2}|c+di|^{2}=|(ac-bd)+i(ad+bc)|^{2},\,}$

та обчисливши, отримаємо:

${\displaystyle (a^{2}+b^{2})(c^{2}+d^{2})=(ac-bd)^{2}+(ad+bc)^{2}.\,}$

Див. також

• Тотожність чотирьох квадратів
• Рівняння Пелля
• Процедура Келі — Діксона

Посилання

• Brahmagupta's identity at PlanetMath
• Brahmagupta Identity on MathWorld