У математичному аналізі інтеграл Лебега — Стілтьєса узагальнює поняття інтеграла Рімана — Стілтьєса і інтеграла Лебега на дійсній прямій. Він є звичайним інтегралом Лебега щодо так званої міри Лебега — Стілтьєса, асоційованої із якоюсь функцією обмеженої варіації на дійсній прямій. Міра Лебега — Стілтьєса є регулярною мірою Бореля і кожна регулярна міра Бореля, що є обмеженою для обмежених множин на дійсній прямій є мірою Лебега — Стілтьєса для деякої неспадної функції.
Іноді також використовуються терміни інтеграл Лебега — Радона або просто інтеграл Радона. Названий на честь Анрі Лебега, Томаса Стілтьєса і Йогана Радона. Інтеграл Лебега — Стілтьєса широко застосовується у теорії ймовірностей, зокрема теорії стохастичних процесів і в деяких розділах математичного аналізу, наприклад теорії потенціалу.
Означення
Міра Лебега — Стілтьєса
Нехай g є монотонно неспадною і неперервною справа функцією на інтервалі [a, b]. Множина інтервалів (s, t], де a ≤ s < t ≤ b разом із одноточковою множиною {a} і порожньою множиною утворює напівкільце множин. Нехай за означенням w((s, t]) = g(t) − g(s) і w({a}) = 0. Подібно можна розглядати випадок коли g є неперервною зліва, w([s,t)) = g(t) − g(s) і w({b}) = 0.
Функція w є (σ-адитивною) мірою на цьому напівкільці. Справді функція є невід'ємною і адитивною. Нехай є послідовністю інтервалів перетин кожної пари яких є порожньою множиною і
Із означення напівкільця для кожного
для різниці множин виконується рівність
де всі
теж є напіввідкритими інтервалами із [a, b]. Із адитивності w тоді:
Після граничного переходу також
Навпаки із неперервності справа функції g випливає, що для довільного існує таке
що
і тому
Якщо для деякого
то позначимо
для кожного
, для інших інтервалів із неперервності справа функції g як і вище випливає для кожного
існування такого
, що
і тому також
Множина є компактною підмножиною
, відповідно вона покривається множинами виду
(і додатково можливо деякою множиною
якщо
; ця множина теж є відкритою у топології на [a, b]), а тому і скінченною кількістю таких множин. Звідси зокрема для деякого
:
Із попередніх нерівностей також і
тому
Оскільки є довільним, то
і враховуючи доведену вище протилежну нерівність остаточно
Оскільки w є (σ-адитивною) мірою на цьому напівкільці то згідно теореми Каратеодорі про продовження, існує єдина міра μg на борелівських підмножинах інтервалу [a, b], яка узгоджується із w на кожному інтервалі I. Міра μg одержується із зовнішньої міри заданої як
де інфімум береться по всіх покриттях множини E зліченною кількістю напіввідкритих інтервалів. Обмеження цієї зовнішньої міри на σ-алгебру вимірних множин, яка включає борелівську σ-алгебру є локально скінченною і σ-скінченною мірою. Ця міра називається мірою Лебега — Стілтьєса для функції g.
Інтеграл Лебега — Стілтьєса
Нехай спершу є вимірною за Борелем і обмеженою, а
є монотонною і неперервною справа. Якщо g є неспадною то Інтеграл Лебега — Стілтьєса
за означенням є інтегралом Лебега функції f щодо визначеної вище міри Лебега — Стілтьєса μg.
Якщо g є незростаючою, тоді за означенням
де останній інтеграл визначений як вище.
Якщо функція g має обмежену варіацію і f є обмеженою, тоді можна записати
де g1(x) = V x
ag є повною варіацією функції g на інтервалі [a, x], а g2(x) = g1(x) − g(x). Функції g1 і g2 є монотонно неспадними. У цьому випадку інтеграл Лебега — Стілтьєса щодо g за означенням є рівним:
де останні два інтеграли визначені, як і вище.
Інтеграл Деніела
Альтернативно (Hewitt та Stromberg, 1965) інтеграл Лебега — Стілтьєса можна розглядати як інтеграл Даніела, що розширює звичайний інтеграл Рімана — Стілтьєса. Нехай g є неспадною неперервною справа функцією на [a, b], і I( f ) позначає інтеграл Рімана — Стілтьєса:
для всіх неперервних функцій f . функціонал I задає міру Радона на [a, b]. Цей функціонал можна продовжити на клас всіх невід'ємних функцій за правилом:
Для вимірних за Борелем функцій:
і будь який із цих функціоналів тоді визначає інтеграл Лебега — Стілтьєса функції h. Зовнішня міра μg тоді визначається як
де χA є характеристичною функцією множини A.
Випадок функцій обмеженої варіації можна, як вище звести до попереднього за допомогою розкладу на додатну і від'ємну варіації.
Приклад
Нехай γ : [a, b] → R2 є спрямлюваною кривою на площині і ρ : R2 → [0, ∞) є вимірною за Борелем. Тоді можна розглянути довжину γ щодо евклідової метрики зваженої на ρ:
де є довжиною кривої γ обмеженої на [a, t]. Іноді це поняття називається ρ-довжиною кривої γ. Дане поняття має багато застосовань: наприклад на глинистих поверхнях швидкість із якою рухається особа залежить від глибини глинистої поверхні. Якщо ρ(z) позначає обернене до швидкості у точці z, тоді ρ-довжина γ є часом необхідним щоб пройти γ. Також ρ-довжина використовується для поняття екстремальної довжини, що застосовується у теорії конформних відображень.
Інтегрування частинами
Функція f називається "регулярною" у точці a якщо у цій точці існують границі справа і зліва f (a+) і f (a−) і також:
Для двох функцій U і V, що мають обмежену варіацію, якщо у кожній точці або хоча б одна з функцій U і V є неперервною або U і V обидві є регулярними, тоді справедливою є формула інтегрування частинами для інтеграла Лебега — Стілтьєса:
Тут міра Лебега — Стілтьєса є асоційованою із неперервними справа версіями функцій U і V; тобто із функціями і аналогічно для
Обмежений інтервал (a, b) можна замінити необмеженими інтервалами (-∞, b), (a, ∞) або (-∞, ∞) якщо U і V мають обмежену варіацію на відповідному інтервалі. Також можна розглядати комплекснозначні функції.
Згідно альтернативного результату, що має важливе значення у теорії стохастичного інтегріування для двох функцій U і V із обмеженою варіацією, які є неперервними справа і мають ліві границі (тобто є càdlàg-функціями):
де ΔUt = U(t) − U(t−).
Пов'язані поняття
Інтеграл Лебега
Якщо g(x) = x для всіх дійсних x, тоді μg є мірою Лебега і інтеграл Лебега — Стілтьєса f щодо g є еквівалентним інтегралу Лебега f .
Іінтеграл Рімана — Стілтьєса і теорія ймовірностей
Якщо f є неперервною дійснозначною функцією дійсної змінної і v є неспадною дійсною функцією, інтеграл Лебега — Стілтьєса є еквівалентним інтегралу Стілтьєса.
Інтеграл Стілтьєса найчастіше використовується у теорії ймовірностей де v є функцією розподілу ймовірностей випадкової змінної X. Тоді зокрема:
Багатовимірний інтеграл Лебега — Стілтьєса
Найчастіше на практиці розглядають одновимірний випадок але можна також дати означення і для вимірних випадків.
Нехай функція g (x, y) від двох змінних задовольняє властивості:
- Якщо
і
тоді
- g (x, y) є неперервною справа по кожній окремій змінній.
Тоді для напіввідкритих прямокутників можна визначити:
Напіввідкриті прямокутники разом із порожньою множиною утворюють напівкільце множин і
є σ—адитивною мірою на ньому. Відповідно аналогічно до одновимірного випадку згідно теореми Каратеодорі цю міру можна продовжити на σ—алгебру, що містить σ—алгебру Бореля. Інтеграл Лебега по цій мірі і називається двовимірним інтегралом Лебега — Стілтьєса.
Як частковий випадок, якщо g, f є неспадними неперервними справа функціями однієї дійсної змінної, то можна взяти
Цей випадок також дає зрозуміти першу умову на функції для двовимірного випадку.
Для вищих розмірностей розглядаються напіввідкриті паралелепіпеди
Вони із порожньою множиною теж утворюю напівкільце.
Функція , що визначає міру Лебега — Стілтьєса має бути неперервною справа по всіх аргументах. Додатково вона повинна задовольняти умову подібну до двовимірного випадку, яку теж найпростіше отримати із часткового випадку неспадних і неперервних справа функцій
і визначення міри як
Явно умови для функції можна записати так:
- Якщо
для всіх
то
У цій формулі
позначає вершини паралелепіпеда
(загальна кількість яких є рівною
). У загальному кожна така вершина має вигляд
де кожна
є рівною
або
.
у формулі позначає кількість тих
у такому записі точки
для яких
тобто кількість тих координат які на відповідній вершині мають найменше значення на паралелепіпеді.
є неперервною справа по кожній окремій змінній.
Використовуючи позначення як і вище можна ввести міру:
є σ—адитивною мірою і, знову ж, згідно теореми Каратеодорі цю міру можна продовжити на σ—алгебру, що містить σ—алгебру Бореля. Інтеграл Лебега по цій мірі називається n-вимірним інтегралом Лебега — Стілтьєса.
Примітки
Див. також
Література
- Дороговцев, А. Я. (1989), Элементы общей теории меры и интеграла, К.: Вища школа, с. 152, ISBN
- Brunt, B. van; Carter, M. (2000). The Lebesgue-Stieltjes Integral: A Practical Introduction. Undergraduate Texts in Mathematics. Т. 91. Springer-Verlag. doi:10.1007/978-1-4612-1174-7. ISBN .
- Halmos, Paul R. (1974), Measure Theory, Berlin, New York: Springer-Verlag, ISBN
- Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Real and abstract analysis, Springer-Verlag.
- Saks, Stanislaw (1937) [[https://web.archive.org/web/20120204043115/http://matwbn.icm.edu.pl/kstresc.php?tom=7&wyd=10 Архівовано 4 лютого 2012 у Wayback Machine.] Theory of the Integral.]
- Shilov, G. E., and Gurevich, B. L., 1978. Integral, Measure, and Derivative: A Unified Approach, Richard A. Silverman, trans. Dover Publications. .
- S. J. Taylor (1973). Introduction to measure and integration. Cambridge University Press. ISBN .
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematichnomu analizi integral Lebega Stiltyesa uzagalnyuye ponyattya integrala Rimana Stiltyesa i integrala Lebega na dijsnij pryamij Vin ye zvichajnim integralom Lebega shodo tak zvanoyi miri Lebega Stiltyesa asocijovanoyi iz yakoyus funkciyeyu obmezhenoyi variaciyi na dijsnij pryamij Mira Lebega Stiltyesa ye regulyarnoyu miroyu Borelya i kozhna regulyarna mira Borelya sho ye obmezhenoyu dlya obmezhenih mnozhin na dijsnij pryamij ye miroyu Lebega Stiltyesa dlya deyakoyi nespadnoyi funkciyi Inodi takozh vikoristovuyutsya termini integral Lebega Radona abo prosto integral Radona Nazvanij na chest Anri Lebega Tomasa Stiltyesa i Jogana Radona Integral Lebega Stiltyesa shiroko zastosovuyetsya u teoriyi jmovirnostej zokrema teoriyi stohastichnih procesiv i v deyakih rozdilah matematichnogo analizu napriklad teoriyi potencialu OznachennyaMira Lebega Stiltyesa Nehaj g ye monotonno nespadnoyu i neperervnoyu sprava funkciyeyu na intervali a b Mnozhina intervaliv s t de a s lt t b razom iz odnotochkovoyu mnozhinoyu a i porozhnoyu mnozhinoyu utvoryuye napivkilce mnozhin Nehaj za oznachennyam w s t g t g s i w a 0 Podibno mozhna rozglyadati vipadok koli g ye neperervnoyu zliva w s t g t g s i w b 0 Funkciya w ye s aditivnoyu miroyu na comu napivkilci Spravdi funkciya ye nevid yemnoyu i aditivnoyu Nehaj sn tn n 1 displaystyle s n t n quad n geqslant 1 ye poslidovnistyu intervaliv peretin kozhnoyi pari yakih ye porozhnoyu mnozhinoyu i n 1 sn tn s t displaystyle bigsqcup n 1 infty s n t n s t Iz oznachennya napivkilcya dlya kozhnogo N 1 displaystyle N geqslant 1 dlya riznici mnozhin vikonuyetsya rivnist s t n 1N sn tn n 1mSn displaystyle s t setminus bigsqcup n 1 N s n t n bigsqcup n 1 m S n de vsi Sn displaystyle S n tezh ye napivvidkritimi intervalami iz a b Iz aditivnosti w todi w s t n 1Nw sn tn n 1mw Sn n 1Nw sn tn displaystyle w s t sum n 1 N w s n t n sum n 1 m w S n geqslant sum n 1 N w s n t n Pislya granichnogo perehodu takozh w s t n 1 w sn tn displaystyle w s t geqslant sum n 1 infty w s n t n Navpaki iz neperervnosti sprava funkciyi g viplivaye sho dlya dovilnogo e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 isnuye take s s t displaystyle s in s t sho g s g s lt e displaystyle g s g s lt varepsilon i tomu w s t w s t g s g s lt e displaystyle w s t w s t g s g s lt varepsilon Yaksho tn b displaystyle t n b dlya deyakogo n 1 displaystyle n geqslant 1 to poznachimo tn b displaystyle t n b dlya kozhnogo n 1 displaystyle n geqslant 1 dlya inshih intervaliv iz neperervnosti sprava funkciyi g yak i vishe viplivaye dlya kozhnogo n 1 displaystyle n geqslant 1 isnuvannya takogo tn tn b displaystyle t n in t n b sho g t g t lt e2n displaystyle g t g t lt frac varepsilon 2 n i tomu takozh w sn tn w sn tn g t g t lt e2n displaystyle w s n t n w s n t n g t g t lt frac varepsilon 2 n Mnozhina s t displaystyle s t ye kompaktnoyu pidmnozhinoyu s t displaystyle s t vidpovidno vona pokrivayetsya mnozhinami vidu sn tn displaystyle s n t n i dodatkovo mozhlivo deyakoyu mnozhinoyu si b displaystyle s i b yaksho ti b displaystyle t i b cya mnozhina tezh ye vidkritoyu u topologiyi na a b a tomu i skinchennoyu kilkistyu takih mnozhin Zvidsi zokrema dlya deyakogo N 1 displaystyle N geqslant 1 w s t n 1Nw sn tn n 1 w sn tn displaystyle w s t leqslant sum n 1 N w s n t n leqslant sum n 1 infty w s n t n Iz poperednih nerivnostej takozh w s t lt w s t e displaystyle w s t lt w s t varepsilon i w sn tn lt w sn tn e2n displaystyle w s n t n lt w s n t n frac varepsilon 2 n tomu w s t lt w s t e lt n 1 w sn tn e2n e lt n 1 w sn tn 2e displaystyle w s t lt w s t varepsilon lt sum n 1 infty w s n t n frac varepsilon 2 n varepsilon lt sum n 1 infty w s n t n 2 varepsilon Oskilki e gt 0 displaystyle varepsilon gt 0 ye dovilnim to w s t n 1 w sn tn displaystyle w s t leqslant sum n 1 infty w s n t n i vrahovuyuchi dovedenu vishe protilezhnu nerivnist ostatochno w s t n 1 w sn tn displaystyle w s t sum n 1 infty w s n t n Oskilki w ye s aditivnoyu miroyu na comu napivkilci to zgidno teoremi Karateodori pro prodovzhennya isnuye yedina mira mg na borelivskih pidmnozhinah intervalu a b yaka uzgodzhuyetsya iz w na kozhnomu intervali I Mira mg oderzhuyetsya iz zovnishnoyi miri zadanoyi yak mg E inf img Ii E iIi displaystyle mu g E inf left sum i mu g I i E subset bigcup i I i right de infimum beretsya po vsih pokrittyah mnozhini E zlichennoyu kilkistyu napivvidkritih intervaliv Obmezhennya ciyeyi zovnishnoyi miri na s algebru vimirnih mnozhin yaka vklyuchaye borelivsku s algebru ye lokalno skinchennoyu i s skinchennoyu miroyu Cya mira nazivayetsya miroyu Lebega Stiltyesa dlya funkciyi g Integral Lebega Stiltyesa Nehaj spershu f a b R displaystyle f left a b right rightarrow mathbb R ye vimirnoyu za Borelem i obmezhenoyu a g a b R displaystyle g left a b right rightarrow mathbb R ye monotonnoyu i neperervnoyu sprava Yaksho g ye nespadnoyu to Integral Lebega Stiltyesa abf x dg x displaystyle int a b f x dg x za oznachennyam ye integralom Lebega funkciyi f shodo viznachenoyi vishe miri Lebega Stiltyesa mg Yaksho g ye nezrostayuchoyu todi za oznachennyam abf x dg x abf x d g x displaystyle int a b f x dg x int a b f x d g x de ostannij integral viznachenij yak vishe Yaksho funkciya g maye obmezhenu variaciyu i f ye obmezhenoyu todi mozhna zapisati dg x dg1 x dg2 x displaystyle dg x dg 1 x dg 2 x de g1 x V x a g ye povnoyu variaciyeyu funkciyi g na intervali a x a g2 x g1 x g x Funkciyi g1 i g2 ye monotonno nespadnimi U comu vipadku integral Lebega Stiltyesa shodo g za oznachennyam ye rivnim abf x dg x abf x dg1 x abf x dg2 x displaystyle int a b f x dg x int a b f x dg 1 x int a b f x dg 2 x de ostanni dva integrali viznacheni yak i vishe Integral Deniela Alternativno Hewitt ta Stromberg 1965 integral Lebega Stiltyesa mozhna rozglyadati yak integral Daniela sho rozshiryuye zvichajnij integral Rimana Stiltyesa Nehaj g ye nespadnoyu neperervnoyu sprava funkciyeyu na a b i I f poznachaye integral Rimana Stiltyesa I f abf x dg x displaystyle I f int a b f x dg x dlya vsih neperervnih funkcij f funkcional I zadaye miru Radona na a b Cej funkcional mozhna prodovzhiti na klas vsih nevid yemnih funkcij za pravilom I h sup I f f C a b 0 f h I h inf I f f C a b h f displaystyle begin aligned overline I h amp sup left I f f in C a b 0 leq f leq h right overline overline I h amp inf left I f f in C a b h leq f right end aligned Dlya vimirnih za Borelem funkcij I h I h displaystyle overline I h overline overline I h i bud yakij iz cih funkcionaliv todi viznachaye integral Lebega Stiltyesa funkciyi h Zovnishnya mira mg todi viznachayetsya yak mg A I xA displaystyle mu g A overline overline I chi A de xA ye harakteristichnoyu funkciyeyu mnozhini A Vipadok funkcij obmezhenoyi variaciyi mozhna yak vishe zvesti do poperednogo za dopomogoyu rozkladu na dodatnu i vid yemnu variaciyi PrikladNehaj g a b R2 ye spryamlyuvanoyu krivoyu na ploshini i r R2 0 ye vimirnoyu za Borelem Todi mozhna rozglyanuti dovzhinu g shodo evklidovoyi metriki zvazhenoyi na r abr g t dℓ t displaystyle int a b rho gamma t d ell t de ℓ t displaystyle ell t ye dovzhinoyu krivoyi g obmezhenoyi na a t Inodi ce ponyattya nazivayetsya r dovzhinoyu krivoyi g Dane ponyattya maye bagato zastosovan napriklad na glinistih poverhnyah shvidkist iz yakoyu ruhayetsya osoba zalezhit vid glibini glinistoyi poverhni Yaksho r z poznachaye obernene do shvidkosti u tochci z todi r dovzhina g ye chasom neobhidnim shob projti g Takozh r dovzhina vikoristovuyetsya dlya ponyattya ekstremalnoyi dovzhini sho zastosovuyetsya u teoriyi konformnih vidobrazhen Integruvannya chastinamiFunkciya f nazivayetsya regulyarnoyu u tochci a yaksho u cij tochci isnuyut granici sprava i zliva f a i f a i takozh f a f a f a 2 displaystyle f a frac f a f a 2 Dlya dvoh funkcij U i V sho mayut obmezhenu variaciyu yaksho u kozhnij tochci abo hocha b odna z funkcij U i V ye neperervnoyu abo U i V obidvi ye regulyarnimi todi spravedlivoyu ye formula integruvannya chastinami dlya integrala Lebega Stiltyesa abUdV abVdU U b V b U a V a lt lt b lt displaystyle int a b U dV int a b V dU U b V b U a V a qquad infty lt lt b lt infty Tut mira Lebega Stiltyesa ye asocijovanoyu iz neperervnimi sprava versiyami funkcij U i V tobto iz funkciyami U x limt x U t textstyle tilde U x lim t to x U t i analogichno dlya V x displaystyle tilde V x Obmezhenij interval a b mozhna zaminiti neobmezhenimi intervalami b a abo yaksho U i V mayut obmezhenu variaciyu na vidpovidnomu intervali Takozh mozhna rozglyadati kompleksnoznachni funkciyi Zgidno alternativnogo rezultatu sho maye vazhlive znachennya u teoriyi stohastichnogo integriuvannya dlya dvoh funkcij U i V iz obmezhenoyu variaciyeyu yaki ye neperervnimi sprava i mayut livi granici tobto ye cadlag funkciyami U t V t U 0 V 0 0 t U s dV s 0 t V s dU s u 0 t DUuDVu displaystyle U t V t U 0 V 0 int 0 t U s dV s int 0 t V s dU s sum u in 0 t Delta U u Delta V u de DUt U t U t Pov yazani ponyattyaIntegral Lebega Yaksho g x x dlya vsih dijsnih x todi mg ye miroyu Lebega i integral Lebega Stiltyesa f shodo g ye ekvivalentnim integralu Lebega f Iintegral Rimana Stiltyesa i teoriya jmovirnostej Yaksho f ye neperervnoyu dijsnoznachnoyu funkciyeyu dijsnoyi zminnoyi i v ye nespadnoyu dijsnoyu funkciyeyu integral Lebega Stiltyesa ye ekvivalentnim integralu Stiltyesa Integral Stiltyesa najchastishe vikoristovuyetsya u teoriyi jmovirnostej de v ye funkciyeyu rozpodilu jmovirnostej vipadkovoyi zminnoyi X Todi zokrema f x dv x E f X displaystyle int infty infty f x dv x mathrm E f X Bagatovimirnij integral Lebega StiltyesaNajchastishe na praktici rozglyadayut odnovimirnij vipadok ale mozhna takozh dati oznachennya i dlya vimirnih vipadkiv Nehaj funkciya g x y vid dvoh zminnih zadovolnyaye vlastivosti Yaksho x1 y1 displaystyle x 1 leqslant y 1 i x2 y2 displaystyle x 2 leqslant y 2 todi g y1 y2 g x1 y2 g y1 x2 g x1 x2 0 displaystyle g y 1 y 2 g x 1 y 2 g y 1 x 2 g x 1 x 2 geqslant 0 g x y ye neperervnoyu sprava po kozhnij okremij zminnij Todi dlya napivvidkritih pryamokutnikiv mozhna viznachiti mg x1 x2 y1 y2 g y1 y2 g x1 y2 g y1 x2 g x1 x2 displaystyle mu g x 1 x 2 times y 1 y 2 g y 1 y 2 g x 1 y 2 g y 1 x 2 g x 1 x 2 Napivvidkriti pryamokutniki x1 x2 y1 y2 displaystyle x 1 x 2 times y 1 y 2 razom iz porozhnoyu mnozhinoyu utvoryuyut napivkilce mnozhin i mg displaystyle mu g ye s aditivnoyu miroyu na nomu Vidpovidno analogichno do odnovimirnogo vipadku zgidno teoremi Karateodori cyu miru mozhna prodovzhiti na s algebru sho mistit s algebru Borelya Integral Lebega po cij miri i nazivayetsya dvovimirnim integralom Lebega Stiltyesa Yak chastkovij vipadok yaksho g f ye nespadnimi neperervnimi sprava funkciyami odniyeyi dijsnoyi zminnoyi to mozhna vzyati m x1 x2 y1 y2 g y2 g y1 f x2 f x1 displaystyle mu x 1 x 2 times y 1 y 2 g y 2 g y 1 cdot f x 2 f x 1 Cej vipadok takozh daye zrozumiti pershu umovu na funkciyi dlya dvovimirnogo vipadku Dlya vishih rozmirnostej rozglyadayutsya napivvidkriti paralelepipedi x1 x1 x2 x2 xn xn displaystyle x 1 x 1 times x 2 x 2 times ldots times x n x n Voni iz porozhnoyu mnozhinoyu tezh utvoryuyu napivkilce Funkciya g x1 xn displaystyle g x 1 ldots x n sho viznachaye miru Lebega Stiltyesa maye buti neperervnoyu sprava po vsih argumentah Dodatkovo vona povinna zadovolnyati umovu podibnu do dvovimirnogo vipadku yaku tezh najprostishe otrimati iz chastkovogo vipadku nespadnih i neperervnih sprava funkcij g x1 g xn displaystyle g x 1 ldots g x n i viznachennya miri yak mg x1 x1 xn xn g1 x1 g1 x1 gn xn gn xn displaystyle mu g x 1 x 1 times ldots times x n x n g 1 x 1 g 1 x 1 cdot ldots cdot g n x n g n x n Yavno umovi dlya funkciyi g x1 xn displaystyle g x 1 ldots x n mozhna zapisati tak Yaksho xi xi displaystyle x i leqslant x i dlya vsih i 1 n displaystyle i in 1 ldots n to j 12n 1 l j g Xj 0 displaystyle sum j 1 2 n 1 lambda j g X j geqslant 0 U cij formuli Xj displaystyle X j poznachaye vershini paralelepipeda x1 x1 x2 x2 xn xn displaystyle x 1 x 1 times x 2 x 2 times ldots times x n x n zagalna kilkist yakih ye rivnoyu 2n displaystyle 2 n U zagalnomu kozhna taka vershina maye viglyad Xj y1 y2 yn displaystyle X j y 1 y 2 ldots y n de kozhna yi displaystyle y i ye rivnoyu xi displaystyle x i abo xi displaystyle x i l j displaystyle lambda j u formuli poznachaye kilkist tih yi displaystyle y i u takomu zapisi tochki Xj displaystyle X j dlya yakih yi xi displaystyle y i x i tobto kilkist tih koordinat yaki na vidpovidnij vershini mayut najmenshe znachennya na paralelepipedi g x1 xn displaystyle g x 1 ldots x n ye neperervnoyu sprava po kozhnij okremij zminnij Vikoristovuyuchi poznachennya yak i vishe mozhna vvesti miru mg x1 x1 xn xn j 12n 1 l j g Xj displaystyle mu g x 1 x 1 times ldots times x n x n sum j 1 2 n 1 lambda j g X j mg displaystyle mu g ye s aditivnoyu miroyu i znovu zh zgidno teoremi Karateodori cyu miru mozhna prodovzhiti na s algebru sho mistit s algebru Borelya Integral Lebega po cij miri nazivayetsya n vimirnim integralom Lebega Stiltyesa PrimitkiHewitt Edwin May 1960 Integration by Parts for Stieltjes Integrals The American Mathematical Monthly 67 5 419 423 doi 10 2307 2309287 JSTOR 2309287 Div takozhIntegral Daniella Integral Lebega Integral StiltyesaLiteraturaDorogovcev A Ya 1989 Elementy obshej teorii mery i integrala K Visha shkola s 152 ISBN 5 11 001190 7 Brunt B van Carter M 2000 The Lebesgue Stieltjes Integral A Practical Introduction Undergraduate Texts in Mathematics T 91 Springer Verlag doi 10 1007 978 1 4612 1174 7 ISBN 978 0 387 95012 9 Halmos Paul R 1974 Measure Theory Berlin New York Springer Verlag ISBN 978 0 387 90088 9 Hewitt Edwin Stromberg Karl 1965 Real and abstract analysis Springer Verlag Saks Stanislaw 1937 https web archive org web 20120204043115 http matwbn icm edu pl kstresc php tom 7 amp wyd 10 Arhivovano4 lyutogo 2012 u Wayback Machine Theory of the Integral Shilov G E and Gurevich B L 1978 Integral Measure and Derivative A Unified Approach Richard A Silverman trans Dover Publications ISBN 0 486 63519 8 S J Taylor 1973 Introduction to measure and integration Cambridge University Press ISBN 9780521098045