Коло дев'яти точок, або коло Ейлера, проходить через дев'ять важливих точок трикутника — середини сторін, основи трьох висот і середини відрізків, що з'єднують ортоцентр з вершинами трикутника. Центр цього кола вказаний як точка X(5) в енциклопедії центрів трикутника [ru].
Властивості
- Центр кола дев'яти точок лежить на прямій Ейлера трикутника посередині між ортоцентром і центром описаного кола . Центроїд також лежить на цій лінії на відстані 2/3 від ортоцентра до центра описаного кола, так, що
Таким чином, якщо пара з цих чотирьох центрів відома, положення двох інших легко знайти.
- [en] 1984 року, досліджуючи задачу, нині відому як задача визначення трикутника Ейлера, показав, що якщо положення цих центрів для невідомого трикутника задано, то інцентр трикутника лежить всередині [en] (кола, діаметром якого є відрізок між центроїдом і ортоцентром). Тільки одна точка всередині цього кола не може бути центром вписаного кола — це центр дев'яти точок. Будь-яка інша точка всередині цього кола визначає єдиний трикутник.
- Відстань від центра кола дев'яти точок до інцентра задовольняє формулам:
де і — радіуси описаного і вписаного кіл відповідно.
- Центр кола дев'яти точок є центром описаного кола серединного трикутника, ортотрикутника і трикутника Ейлера. Загалом, ця точка є центром описаного кола трикутника, який має вершинами будь-які три з дев'яти перерахованих точок.
- Центр кола дев'яти точок збігається з центроїдом чотирьох точок — трьох точок трикутника і його ортоцентра.
- З дев'яти точок на колі Ейлера три є серединами відрізків, що з'єднують вершини з ортоцентром (вершини трикутника Ейлера — Феєрбаха). Ці три точки є відображеннями середин сторін трикутника відносно центра кола дев'яти точок.
- Таким чином, центр кола дев'яти точок є центром симетрії, що переводить серединний трикутник у трикутник Ейлера — Феєрбаха (і навпаки).
- За теоремою Лестер центр кола дев'яти точок лежить на одному колі з трьома іншими точками — двома точками Ферма і центром описаного кола.
- Точка Косніти трикутника, пов'язана з теоремою Косніти, ізогонально спряжена центру кола дев'яти точок. (див. рис.)
- Пряма , що проходить через дві точки Вектена і , перетинає пряму Ейлера у центрі дев'яти точок трикутника .
Координати
Трилінійні координати центра кола дев'яти точок рівні:
Барицентричні координати центра рівні:
Примітки
- Kimberling, 1994, с. 163–187.
- Encyclopedia of Triangle Centers [ 24 листопада 2015 у Wayback Machine.], accessed 2014-10-23.
- Dekov, 2007.
- Stern, 2007, с. 1–9.
- Euler, 1767, с. 103–123.
- Guinand, 1984, с. 290–300.
- Franzsen, 2011, с. 231—236.
- Тут не слід плутати трикутник Ейлера з теорії чисел (на зразок трикутника Паскаля) і трикутник Ейлера як трикутник, утворений точками Ейлера. Точки Ейлера — це середини відрізків, що з'єднують ортоцентр із вершинами трикутника.
- Енциклопедія центрів трикутника приписує це спостереження Ренді Гатсону (Randy Hutson, 2011).
- Yiu, 2010, с. 175–209.
- Rigby, 1997, с. 156–158.
Література
- Kimberling. Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle // Mathematics Magazine. — 1994. — Т. 67, вип. 3 (4 липня).
- Stern. Euler’s triangle determination problem // Forum Geometricorum. — 2007. — Т. 7 (4 липня). з джерела 26 жовтня 2021. Процитовано 26 жовтня 2021.
- Dekov. Nine-point center // Journal of Computer-Generated Euclidean Geometry. — 2007. — 4 липня.
- Euler. Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum // Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae. — 1767. — Т. 11 (4 липня). з джерела 22 жовтня 2021. Процитовано 26 жовтня 2021.
- Andrew P. Guinand. Euler lines, tritangent centers, and their triangles // The American Mathematical Monthly. — 1984. — Т. 91, вип. 5 (4 липня).
- William N. Franzsen. The distance from the incenter to the Euler line // Forum Geometricorum. — 2011. — Вип. 11 (4 липня). з джерела 22 жовтня 2021. Процитовано 26 жовтня 2021.
- Paul Yiu. The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10 (4 липня).
- Rigby. Brief notes on some forgotten geometrical theorems // Mathematics and Informatics Quarterly. — 1997. — Т. 7 (4 липня).
Посилання
- Weisstein, Eric W. Центр кола 9 точок(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Kolo dev yati tochok abo kolo Ejlera prohodit cherez dev yat vazhlivih tochok trikutnika seredini storin osnovi troh visot i seredini vidrizkiv sho z yednuyut ortocentr z vershinami trikutnika Centr cogo kola vkazanij yak tochka X 5 v enciklopediyi centriv trikutnika ru Trikutnik opisane navkolo nogo kolo chorne ta jogo centr chornij visoti trikutnika chastina visoti roztashovana vseredini kola Ejlera sinya a poza nim chorna ta kolo dev yati tochok sinye i jogo centr sinij VlastivostiCentr kola dev yati tochok O9 displaystyle O 9 lezhit na pryamij Ejlera trikutnika poseredini mizh ortocentrom H displaystyle H i centrom opisanogo kola O displaystyle O Centroyid M displaystyle M takozh lezhit na cij liniyi na vidstani 2 3 vid ortocentra do centra opisanogo kola tak shoO9O O9H 3O9M displaystyle O 9 O O 9 H 3O 9 M Takim chinom yaksho para z cih chotiroh centriv vidoma polozhennya dvoh inshih legko znajti en 1984 roku doslidzhuyuchi zadachu nini vidomu yak zadacha viznachennya trikutnika Ejlera pokazav sho yaksho polozhennya cih centriv dlya nevidomogo trikutnika zadano to incentr trikutnika lezhit vseredini en kola diametrom yakogo ye vidrizok mizh centroyidom i ortocentrom Tilki odna tochka vseredini cogo kola ne mozhe buti centrom vpisanogo kola ce centr dev yati tochok Bud yaka insha tochka vseredini cogo kola viznachaye yedinij trikutnik Vidstan vid centra kola dev yati tochok do incentra I displaystyle I zadovolnyaye formulam IO9 lt 12IO displaystyle IO 9 lt dfrac 1 2 IO IO9 12 R 2r lt R2 displaystyle IO 9 dfrac 1 2 R 2r lt frac R 2 2R IO9 OI2 displaystyle 2R cdot IO 9 OI 2 de R displaystyle R i r displaystyle r radiusi opisanogo i vpisanogo kil vidpovidno Centr kola dev yati tochok ye centrom opisanogo kola seredinnogo trikutnika ortotrikutnika i trikutnika Ejlera Zagalom cya tochka ye centrom opisanogo kola trikutnika yakij maye vershinami bud yaki tri z dev yati pererahovanih tochok Centr kola dev yati tochok zbigayetsya z centroyidom chotiroh tochok troh tochok trikutnika i jogo ortocentra Z dev yati tochok na koli Ejlera tri ye seredinami vidrizkiv sho z yednuyut vershini z ortocentrom vershini trikutnika Ejlera Feyerbaha Ci tri tochki ye vidobrazhennyami seredin storin trikutnika vidnosno centra kola dev yati tochok Takim chinom centr kola dev yati tochok ye centrom simetriyi sho perevodit seredinnij trikutnik u trikutnik Ejlera Feyerbaha i navpaki Za teoremoyu Lester centr kola dev yati tochok lezhit na odnomu koli z troma inshimi tochkami dvoma tochkami Ferma i centrom opisanogo kola Tochka Kosniti izogonalno spryazhena centru kola dev yati tochokTochka Kosniti trikutnika pov yazana z teoremoyu Kosniti izogonalno spryazhena centru kola dev yati tochok div ris Pryama X 485 X 486 displaystyle X 485 X 486 sho prohodit cherez dvi tochki Vektena X 485 displaystyle X 485 i X 486 displaystyle X 486 peretinaye pryamu Ejlera u centri dev yati tochok trikutnika ABC displaystyle ABC KoordinatiTrilinijni koordinati centra kola dev yati tochok rivni cos B C cos C A cos A B displaystyle cos B C cos C A cos A B cos A 2cos Bcos C cos B 2cos Ccos A cos C 2cos Acos B displaystyle cos A 2 cos B cos C cos B 2 cos C cos A cos C 2 cos A cos B dd cos A 2sin Bsin C cos B 2sin Csin A cos C 2sin Asin B displaystyle cos A 2 sin B sin C cos B 2 sin C sin A cos C 2 sin A sin B dd bc a2 b2 c2 b2 c2 2 ca b2 c2 a2 c2 a2 2 ab c2 a2 b2 a2 b2 2 displaystyle bc a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 2 ca b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 2 ab c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 2 dd Baricentrichni koordinati centra rivni acos B C bcos C A ccos A B displaystyle a cos B C b cos C A c cos A B a2 b2 c2 b2 c2 2 b2 c2 a2 c2 a2 2 c2 a2 b2 a2 b2 2 displaystyle a 2 b 2 c 2 b 2 c 2 2 b 2 c 2 a 2 c 2 a 2 2 c 2 a 2 b 2 a 2 b 2 2 dd PrimitkiKimberling 1994 s 163 187 Encyclopedia of Triangle Centers 24 listopada 2015 u Wayback Machine accessed 2014 10 23 Dekov 2007 Stern 2007 s 1 9 Euler 1767 s 103 123 Guinand 1984 s 290 300 Franzsen 2011 s 231 236 Tut ne slid plutati trikutnik Ejlera z teoriyi chisel na zrazok trikutnika Paskalya i trikutnik Ejlera yak trikutnik utvorenij tochkami Ejlera Tochki Ejlera ce seredini vidrizkiv sho z yednuyut ortocentr iz vershinami trikutnika Enciklopediya centriv trikutnika pripisuye ce sposterezhennya Rendi Gatsonu Randy Hutson 2011 Yiu 2010 s 175 209 Rigby 1997 s 156 158 LiteraturaKimberling Central Points and Central Lines in the Plane of a Triangle Mathematics Magazine 1994 T 67 vip 3 4 lipnya Stern Euler s triangle determination problem Forum Geometricorum 2007 T 7 4 lipnya z dzherela 26 zhovtnya 2021 Procitovano 26 zhovtnya 2021 Dekov Nine point center Journal of Computer Generated Euclidean Geometry 2007 4 lipnya Euler Solutio facilis problematum quorundam geometricorum difficillimorum Novi Commentarii academiae scientiarum Petropolitanae 1767 T 11 4 lipnya z dzherela 22 zhovtnya 2021 Procitovano 26 zhovtnya 2021 Andrew P Guinand Euler lines tritangent centers and their triangles The American Mathematical Monthly 1984 T 91 vip 5 4 lipnya William N Franzsen The distance from the incenter to the Euler line Forum Geometricorum 2011 Vip 11 4 lipnya z dzherela 22 zhovtnya 2021 Procitovano 26 zhovtnya 2021 Paul Yiu The circles of Lester Evans Parry and their generalizations Forum Geometricorum 2010 T 10 4 lipnya Rigby Brief notes on some forgotten geometrical theorems Mathematics and Informatics Quarterly 1997 T 7 4 lipnya PosilannyaWeisstein Eric W Centr kola 9 tochok angl na sajti Wolfram MathWorld