Точка Косніти

Теорема Косніти — це властивість деяких кіл, пов'язаних з довільним трикутником.

Точка Косніти x(54) трикутника ABC

Нехай ${\displaystyle ABC}$ — довільний трикутник, ${\displaystyle O}$ — центр його описаного кола, а ${\displaystyle O_{a},O_{b},O_{c}}$ — центри описаних кіл трьох трикутників ${\displaystyle OBC}$, ${\displaystyle OCA}$ і ${\displaystyle OAB}$ відповідно. Теорема стверджує, що три прямих ${\displaystyle AO_{a}}$, ${\displaystyle BO_{b}}$ і ${\displaystyle CO_{c}}$ перетинаються в одній точці. Цей факт встановив румунський математик Цезар Косніта (Cezar Coşniţă, 1910—1962).

Точка, в якій прямі перетинаються, відома як точка Косніти трикутника (назву дав ^[ru] в 1997). Точка є ізогонально спряженою центру дев'яти точок. Точка має позначення ${\displaystyle X(54)}$ поміж чудових точок трикутника в списку Кімберлінга. Теорема є окремим випадком теореми Дао про 6 центрів описаних кіл для вписаного шестикутника.

Властивості

Трикутник T з вершинами A, B і C; O — центр описаного кола (червоне).
A*, B* і C* — точки, симетричні точкам A, B і C відносно протилежної сторони.
M — точка перетину кіл Масельмана.
Зелене коло — коло дев'яти точок, N — його центр.
K — точка Косніти.

• Точка Косніти K тісно пов'язана з точкою M Масельмана (з точкою перетину кіл Масельмана). Див. рис. і теорему Масельмана. Точка Масельмана ${\displaystyle M}$ є точкою інверсії точки Косніти відносно кола, описаного навколо трикутника ${\displaystyle T}$.

Примітки

1. Weisstein, Eric W. Теорема Косніти(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
2. Ion Pătraşcu (2010), A generalization of Kosnita's theorem (рум.)
3. Grinberg, 2003, с. 105–111.
4. Rigby, 1997, с. 156-158.
5. Clark Kimberling (2014), Encyclopedia of Triangle Centers, section X(54) = Kosnita Point. Accessed on 2014-10-08
6. Dergiades, 2014, с. 243–246.
7. Cohl, 2014, с. 261–264.
8. Duong, 2016, с. 25-39.
9. X(3649) = KS(INTOUCH TRIANGLE)

Література

• John Rigby. Brief notes on some forgotten geometrical theorems // Mathematics and Informatics Quarterly. — 1997. — Т. 7 (17 липня). — С. 156-158. (как процитировано у Кимберлинга).
• Darij Grinberg. On the Kosnita Point and the Reflection Triangle // ^[en]. — 2003. — Т. 3 (17 липня). — С. 105–111.
• Nikolaos Dergiades. Dao’s Theorem on Six Circumcenters associated with a Cyclic Hexagon // ^[en]. — 2014. — Т. 14 (17 липня). — С. 243–246. — ISSN 1534-1178.
• Telv Cohl. A purely synthetic proof of Dao's theorem on six circumcenters associated with a cyclic hexagon // ^[en]. — 2014. — Т. 14 (17 липня). — С. 261–264. — ISSN 1534-1178.
• Ngo Quang Duong. Some problems around the Dao's theorem on six circumcenters associated with a cyclic hexagon configuration // International Journal of Computer Discovered Mathematics. — 2016. — Т. 1 (17 липня). — С. 25-39. — ISSN 2367-7775.

Посилання

• Weisstein, Eric W. Теорема Косніти(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.