Центроїд трикутника

Центроїд трикутника (також барицентр трикутника і центр ваги трикутника) — точка перетину медіан у трикутнику .

Центроїд традиційно позначається латинською буквою ${\displaystyle M}$. Центроїд трикутника належить до чудових точок трикутника і його згадано в енциклопедії центрів трикутника Кларка Кімберлінга, як точку X(2).

Властивості

• Центроїд ділить кожну медіану у відношенні 2:1, починаючи від вершини.
• Центроїд лежить на відрізку, що з'єднує ортоцентр і центр описаного кола, і ділить його у відношенні 2:1 (див. лінія Ейлера).
• Якщо у вершинах трикутника помістити рівні маси, то центр мас (барицентр) отриманої системи буде збігатися з центроїдом. Більш того, центр мас трикутника з рівномірно розподіленою масою також міститься у центроїді.
• Якщо ${\displaystyle M}$ — центроїд трикутника ${\displaystyle ABC}$ то для будь-якої точки ${\displaystyle O}$ справджується рівність

  ${\displaystyle {\overrightarrow {OM}}={\frac {1}{3}}({\overrightarrow {OA}}+{\overrightarrow {OB}}+{\overrightarrow {OC}})}$ .

• Центроїд є точкою, для якої сума квадратів відстаней до вершин трикутника набуває найменшого значення (теорема Лейбніца).
• Три відрізки прямих, що з'єднують вершини трикутника з центроїдом, розбивають цей трикутник на три рівновеликих трикутники (з рівними площами).
• Три відрізки прямих, що з'єднують середини сторін трикутника з центроїдом, розбивають цей трикутник на три рівновеликих чотирикутники (з рівними площами).
• При ізогональному сполученні центроїд переходить у точку Лемуана (в точку перетину трьох симедіан трикутника).
• Побудуємо дві прямі, кожна з яких проходить через точку Аполлонія і точку Торрічеллі, що не збігається з ізогонально спряженою їй. Такі прямі перетнуться в центроїді трикутника.
• Нехай ${\displaystyle ABC}$ — трикутник на площині. Коло, що проходить через центроїд і дві точки Аполлонія трикутника ${\displaystyle ABC}$, називається колом Паррі трикутника ${\displaystyle ABC}$ .
• Три чевіани, проведені через довільну точку ${\displaystyle O}$ всередині трикутника, ділять своїми кінцями сторони трикутника на шість відрізків. Добуток довжин трьох із шести відрізків, які не мають спільних кінців, максимальний, якщо точка ${\displaystyle O}$ збігається з центроїдом.
• Сума квадратів сторін трикутника дорівнює потроєній сумі квадратів відстаней від центроїда до вершин:

${\displaystyle AB^{2}+BC^{2}+CA^{2}=3(GA^{2}+GB^{2}+GC^{2})}$ .

• Нехай ${\displaystyle q_{a}}$, ${\displaystyle q_{b}}$ і ${\displaystyle q_{c}}$ — відстані від центроїда до сторін з довжинами, які відповідно дорівнюють ${\displaystyle a}$, ${\displaystyle b}$ і ${\displaystyle c}$ . Тоді^:173

${\displaystyle {\frac {q_{a}}{q_{b}}}={\frac {b}{a}},\quad {\frac {q_{b}}{q_{c}}}={\frac {c}{b}},\quad {\frac {q_{a}}{q_{c}}}={\frac {c}{a}}}$

і

${\displaystyle q_{a}\cdot a=q_{b}\cdot b=q_{c}\cdot c={\frac {2}{3}}S}$ ,

де ${\displaystyle S}$ — площа трикутника.

Історія

Факт того, що три медіани перетинаються в одній точці, довів ще Архімед.

Варіації й узагальнення. Центроїди в чотирикутнику

• Центроїд (барицентр або центр мас) довільного чотирикутника лежить у точці перетину середніх ліній чотирикутника і відрізка, що з'єднує середини діагоналей, і ділить всі три відрізки навпіл.
• В опуклого чотирикутника, вписаного в коло, «центроїд площі» або центр мас його площі G_a, вершинний центроїд або центр мас чотирьох його вершин G_v і точка перетину його діагоналей P колінеарні. Відстані між цими точками задає формула

${\displaystyle PG_{a}={\tfrac {4}{3}}PG_{v}.}$

Див. також

• Центр інерції
• Ортоцентр
• Інцентр
• Чудові точки трикутника

Примітки

1. Е. Смирнова. [1] — Litres, 2017-09-05. — С. 165. з джерела 8 травня 2021
2. Зетель, 1962.
3. Altshiller-Court, (1925, с. 70—71)
4. Johnson, Roger A., Advanced Euclidean Geometry, Dover Publ. Co., 2007
5. Andreescu, Titu; Enescu, Bogdan (2004), , Mathematical Olympiad Treasures, Springer, с. 44—46, 50, ISBN , MR 2025063, архів оригіналу за 8 травня 2021, процитовано 8 травня 2021
6. Bradley, Christopher (2011), (PDF), архів оригіналу (PDF) за 17 січня 2021, процитовано 8 травня 2021

Література

• ^[ru] Элементарная геометрия. В 2 т. — М.: МЦНМО, 2004. — С. 80-81. — ISBN 5-94057-170-0.
• Дм. Ефремов. 1902 год
• Зетель С.И. Новая геометрия треугольника. Пособие для учителей. 2-е издание. М: Учпедгиз, 1962. 153 с.
• Altshiller-Court, Nathan (1925), College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle (вид. 2nd), New York: , LCCN 52013504