Коло Паррі

Точка Паррі — точка, пов'язана з трикутником, який лежить на площині. Точка є чудовою точкою трикутника і зазначена під назвою X(111) в Енциклопедії центрів трикутника. Точку Паррі названо на честь англійського геометра Сиріла Паррі (Cyril Parry), який вивчав її на початку .

Коло Паррі

Коло і точка Паррі. (G — центроїд, а J і K — точки Аполлонія трикутника ABC)

Нехай ${\displaystyle ABC}$ — трикутник на площині. Коло, що проходить через центроїд і дві точки Аполлонія трикутника ${\displaystyle ABC}$, називають колом Паррі трикутника ${\displaystyle ABC}$. Рівняння кола Паррі в трилінійних координатах

${\displaystyle {\begin{aligned}&3(b^{2}-c^{2})(c^{2}-a^{2})(a^{2}-b^{2})(a^{2}yz+b^{2}zx+c^{2}xy)\\[6pt]&{}+(x+y+z)\left(\sum _{\text{cyclic}}b^{2}c^{2}(b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-2a^{2})x\right)=0\end{aligned}}}$

Центр кола Паррі також є чудовою точкою трикутника і згаданий під назвою X(351) в Енциклопедії центрів трикутника. Трилінійні координати центра кола Паррі рівні

${\displaystyle f(a,b,c):f(b,c,a):f(c,a,b)}$, де ${\displaystyle f(a,b,c)=a(b^{2}-c^{2})(b^{2}+c^{2}-2a^{2})}$.

Точка Паррі

Коло Паррі і описане коло трикутника ${\displaystyle ABC}$ перетинаються в двох точках. Одна з них — фокус трикутника ${\displaystyle ABC}$. Інша точка перетину називається точкою Паррі трикутника ${\displaystyle ABC}$.

Трилінійні координати точки Паррі дорівнюють

${\displaystyle (a/(2a^{2}-b^{2}-c^{2}):b/(2b^{2}-c^{2}-a^{2}):c/(2c^{2}-a^{2}-b^{2}))}$

Точку перетину кола Паррі і описаного кола трикутника ${\displaystyle ABC}$, яка є фокусом гіперболи Кіперта трикутника ${\displaystyle ABC}$, згадано під назвою X(110) в Енциклопедії центрів трикутника. Трилінійні координати цієї точки

${\displaystyle (a/(b^{2}-c^{2}):b/(b^{2}-a^{2}):c/(a^{2}-b^{2}))}$

Див. також

• Коло Лестер

Примітки

1. Kimberling, 2012.
2. Yiu, 2010, с. 175—209.

Література

• Clark Kimberling. Parry point. — 2012. — 16 листопада. Процитовано 29 травня 2012.
• Generalizations of some famous classical Euclidean geometry theorems
• Paul Yiu. The Circles of Lester, Evans, Parry, and Their Generalizations // Forum Geometricorum. — 2010. — Т. 10 (16 листопада). Процитовано 29 травня 2012.