Гіпербола Кіперта — гіпербола, яка визначається за даним трикутником. Якщо останній є трикутником загального положення, то ця гіпербола є єдиним конічним перетином, що проходить через його вершини, ортоцентр і центроїд.
Визначення через ізогональне спряження
Гіпербола Кіперта — крива, ізогонально спряжена прямій, що проходить через точку Лемуана і центр описаного кола даного трикутника.
- Пряма, що проходить через центр описаного кола і точку Лемуана, називається віссю Брокара. На ній лежать точки Аполлонія. Інакше кажучи, гіпербола Кіперта — крива, ізогонально спряжена осі Брокара даного трикутника.
Визначення через трикутники в трикутних координатах
Визначення через трикутники в трикутних координатах:
- Якщо три трикутники , і побудовані на сторонах трикутника , є подібними, рівнобедреними з основами на сторонах початкового трикутника, і однаково розташованими (тобто всі вони побудовані або з зовнішнього боку, або з внутрішнього), то прямі , і перетинаються в одній точці . Тоді гіперболу Кіперта можна визначити, як геометричне місце точок (див. мал.).
Якщо спільний кут при основі дорівнює , то вершини трьох трикутників мають такі трикутні координати:
Трилінійні координати довільної точки N, що лежить на гіперболі Кіперта
- .
Рівняння гіперболи Кіперта в трикутних координатах
Геометричне місце точок при зміненні кута при основі трикутників між і є гіперболою Кіперта з рівнянням
- ,
де , , — трилінійні координати точки у трикутнику.
Відомі точки, що лежать на гіперболі Кіперта
Серед точок, що лежать на гіперболі Кіперта, є такі важливі точки трикутника:
Значення | Точка |
---|---|
, центроїд трикутника (X2) | |
(або ) | , ортоцентр трикутника (X4) |
Центр Шпікера (X10) | |
Зовнішня точка Вектена (X485) | |
Внутрішня точка Вектена (X486) | |
, (перша точка Наполеона) (X17) | |
, (друга точка Наполеона) (X18) | |
, перша точка Ферма (X13) | |
, Друга точка Ферма (X14) | |
(якщо ) (якщо ) | вершина |
(якщо ) (якщо ) | вершина |
(якщо ) (якщо ) | вершина |
Перелік точок, що лежать на гіперболі Кіперта
Гіпербола Кіперта проходить через такі центри трикутника X(i):
- i=2, (центроїд трикутника),
- i=4 (ортоцентр),
- i=10 (центр Шпікера; тобто, інцентр трикутника з вершинами в серединах сторін даного трикутника ABC),
- i=13 (перша точка Ферма), i = 14 (друга точка Ферма),
- i=17 ((перша точка Наполеона)), i = 18 ((друга точка Наполеона)),
- i=76 (третя точка Брокара),
- i=83 (точка, ізогонально спряжена серединній точці між точками Брокара),
- i=94, 96,
- i=98 ([ru]),
- i=226, 262, 275, 321,
- i=485 (зовнішня точка Вектена), i = 486 (внутрішня точка Вектена),
- i = 598, 671, 801, 1029, 1131, 1132,
- i = 1139 (внутрішня точка п'ятикутника, англ. inner pentagon point), i = 1140 (зовнішня точка п'ятикутника, англ. outer pentagon point),
- i = 1327, 1328, 1446, 1676, 1677, 1751, 1916, 2009, 2010, 2051, 2052, 2394, 2592, 2593,
- i = 2671 (перша точка золотого арбелоса, англ. first golden arbelos point),
- i = 2672 (друга точка золотого арбелоса, англ. second golden arbelos point),
- i = 2986, 2996
Узагальнення теореми Лестер у вигляді теореми Б. Гіберта (2000)
Теорема Б. Гіберта (2000) узагальнює теорему про коло Лестер, а саме: будь-яке окружність, діаметр якого є хордою гіперболи Кіперта трикутника і перпендикулярний до його прямої Ейлера, проходить через точки Ферма.
Історія
Назву ця гіпербола отримала на честь німецького математика [de] (1846—1934), який відкрив її.
Властивості
- Гіпербола Кіперта — рівностороння або рівнобічна (тобто її асимптоти перпендикулярні), отже, її центр, позначений в енциклопедії центрів трикутника як Х (115), лежить на колі Ейлера.
Див. також
Примітки
- Eddy, Fritsch, 1994, с. 188—205.
- , Геометрические свойства кривых второго порядка. — 2-е изд., дополн.. — М. : МЦНМО, 2011. — С. 125-126. — 148 с. — .
- Weisstein, Eric W. Гіпербола Кіперта(англ.) на сайті Wolfram MathWorld.
- B. Gibert (2000): [ Message 1270]. Entry in the Hyacinthos online forum, 2000-08-22. Accessed on 2014-10-09.
- Paul Yiu (2010), The circles of Lester, Evans, Parry, and their generalizations [ 7 жовтня 2021 у Wayback Machine.]. Forum Geometricorum, volume 10, pages 175—209. MR2868943
Література
- Eddy R. H., Fritsch R. . The Conics of Ludwig Kiepert: A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle // Math Magazine, 1994, 67. — P. 188—205.
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Giperbola Kiperta giperbola yaka viznachayetsya za danim trikutnikom Yaksho ostannij ye trikutnikom zagalnogo polozhennya to cya giperbola ye yedinim konichnim peretinom sho prohodit cherez jogo vershini ortocentr i centroyid Giperbola Kiperta trikutnika ABC Giperbola Kiperta prohodit cherez vershini A B C ortocentr H i centroyid G trikutnika Viznachennya cherez izogonalne spryazhennyaGiperbola Kiperta kriva izogonalno spryazhena pryamij sho prohodit cherez tochku Lemuana i centr opisanogo kola danogo trikutnika Pryama sho prohodit cherez centr opisanogo kola i tochku Lemuana nazivayetsya vissyu Brokara Na nij lezhat tochki Apolloniya Inakshe kazhuchi giperbola Kiperta kriva izogonalno spryazhena osi Brokara danogo trikutnika Viznachennya cherez trikutniki v trikutnih koordinatahTochka na giperboli Kiperta Viznachennya cherez trikutniki v trikutnih koordinatah Yaksho tri trikutniki XBC displaystyle XBC YCA displaystyle YCA i ZAB displaystyle ZAB pobudovani na storonah trikutnika ABC displaystyle ABC ye podibnimi rivnobedrenimi z osnovami na storonah pochatkovogo trikutnika i odnakovo roztashovanimi tobto vsi voni pobudovani abo z zovnishnogo boku abo z vnutrishnogo to pryami AX displaystyle AX BY displaystyle BY i CZ displaystyle CZ peretinayutsya v odnij tochci N displaystyle N Todi giperbolu Kiperta mozhna viznachiti yak geometrichne misce tochok N displaystyle N div mal Yaksho spilnij kut pri osnovi dorivnyuye 8 displaystyle theta to vershini troh trikutnikiv mayut taki trikutni koordinati X sin 8 sin C 8 sin B 8 displaystyle X sin theta sin C theta sin B theta Y sin C 8 sin 8 sin A 8 displaystyle Y sin C theta sin theta sin A theta Z sin B 8 sin A 8 sin 8 displaystyle Z sin B theta sin A theta sin theta Trilinijni koordinati dovilnoyi tochki N sho lezhit na giperboli Kiperta cosec A 8 cosec B 8 cosec C 8 displaystyle operatorname cosec A theta operatorname cosec B theta operatorname cosec C theta Rivnyannya giperboli Kiperta v trikutnih koordinatahGeometrichne misce tochok N displaystyle N pri zminenni kuta pri osnovi trikutnikiv 8 displaystyle theta mizh p 2 displaystyle pi 2 i p 2 displaystyle pi 2 ye giperboloyu Kiperta z rivnyannyam sin B C x sin C A y sin A B z 0 displaystyle frac sin B C x frac sin C A y frac sin A B z 0 de x displaystyle x y displaystyle y z displaystyle z trilinijni koordinati tochki N displaystyle N u trikutniku Vidomi tochki sho lezhat na giperboli KipertaSered tochok sho lezhat na giperboli Kiperta ye taki vazhlivi tochki trikutnika Znachennya 8 displaystyle theta Tochka N displaystyle N 0 displaystyle 0 G displaystyle G centroyid trikutnika ABC displaystyle ABC X2 p 2 displaystyle pi 2 abo p 2 displaystyle pi 2 O displaystyle O ortocentr trikutnika ABC displaystyle ABC X4 arctg tg A 2 tg B 2 tg C 2 displaystyle operatorname arctg operatorname tg A 2 operatorname tg B 2 operatorname tg C 2 Centr Shpikera X10 p 4 displaystyle pi 4 Zovnishnya tochka Vektena X485 p 4 displaystyle pi 4 Vnutrishnya tochka Vektena X486 p 6 displaystyle pi 6 N1 displaystyle N 1 persha tochka Napoleona X17 p 6 displaystyle pi 6 N2 displaystyle N 2 druga tochka Napoleona X18 p 3 displaystyle pi 3 F1 displaystyle F 1 persha tochka Ferma X13 p 3 displaystyle pi 3 F2 displaystyle F 2 Druga tochka Ferma X14 A displaystyle A yaksho A lt p 2 displaystyle A lt pi 2 p A displaystyle pi A yaksho A gt p 2 displaystyle A gt pi 2 vershina A displaystyle A B displaystyle B yaksho B lt p 2 displaystyle B lt pi 2 p B displaystyle pi B yaksho B gt p 2 displaystyle B gt pi 2 vershina B displaystyle B C displaystyle C yaksho C lt p 2 displaystyle C lt pi 2 p C displaystyle pi C yaksho C gt p 2 displaystyle C gt pi 2 vershina C displaystyle C Perelik tochok sho lezhat na giperboli KipertaGiperbola Kiperta prohodit cherez taki centri trikutnika X i i 2 centroyid trikutnika i 4 ortocentr i 10 centr Shpikera tobto incentr trikutnika z vershinami v seredinah storin danogo trikutnika ABC i 13 persha tochka Ferma i 14 druga tochka Ferma i 17 persha tochka Napoleona i 18 druga tochka Napoleona i 76 tretya tochka Brokara i 83 tochka izogonalno spryazhena seredinnij tochci mizh tochkami Brokara i 94 96 i 98 ru i 226 262 275 321 i 485 zovnishnya tochka Vektena i 486 vnutrishnya tochka Vektena i 598 671 801 1029 1131 1132 i 1139 vnutrishnya tochka p yatikutnika angl inner pentagon point i 1140 zovnishnya tochka p yatikutnika angl outer pentagon point i 1327 1328 1446 1676 1677 1751 1916 2009 2010 2051 2052 2394 2592 2593 i 2671 persha tochka zolotogo arbelosa angl first golden arbelos point i 2672 druga tochka zolotogo arbelosa angl second golden arbelos point i 2986 2996Uzagalnennya teoremi Lester u viglyadi teoremi B Giberta 2000 Div takozh Teorema Lester Teorema B Giberta 2000 uzagalnyuye teoremu pro kolo Lester a same bud yake okruzhnist diametr yakogo ye hordoyu giperboli Kiperta trikutnika i perpendikulyarnij do jogo pryamoyi Ejlera prohodit cherez tochki Ferma IstoriyaNazvu cya giperbola otrimala na chest nimeckogo matematika de 1846 1934 yakij vidkriv yiyi VlastivostiGiperbola Kiperta rivnostoronnya abo rivnobichna tobto yiyi asimptoti perpendikulyarni otzhe yiyi centr poznachenij v enciklopediyi centriv trikutnika yak H 115 lezhit na koli Ejlera Div takozhTrikutnikPrimitkiEddy Fritsch 1994 s 188 205 Geometricheskie svojstva krivyh vtorogo poryadka 2 e izd dopoln M MCNMO 2011 S 125 126 148 s ISBN 978 5 94057 732 4 Weisstein Eric W Giperbola Kiperta angl na sajti Wolfram MathWorld B Gibert 2000 Message 1270 Entry in the Hyacinthos online forum 2000 08 22 Accessed on 2014 10 09 Paul Yiu 2010 The circles of Lester Evans Parry and their generalizations 7 zhovtnya 2021 u Wayback Machine Forum Geometricorum volume 10 pages 175 209 MR2868943LiteraturaEddy R H Fritsch R The Conics of Ludwig Kiepert A Comprehensive Lesson in the Geometry of the Triangle Math Magazine 1994 67 P 188 205