Теорія інваріантів — розділ абстрактної алгебри, який вивчає дії груп на алгебраїчних многовидах з точки зору їх впливу на функції визначені на цих многовидах. Класично, теорія розглядає питання про явного опису многочленів, які не змінюються, або є інваріантними, відносно до перетвореннями заданого лінійною групою.
Теорія інваріантів скінченних груп має тісний зв'язок з теорією Галуа. Одним з перших відомих результатів була основна теорема про симетричні функції, яка описує інваріанти симетричної групи , що діє на кільці многочленів перестановками змінних.
Теорія інваріантів нескінченних груп нерозривно пов'язана з розвитком лінійної алгебри, зокрема, теорії квадратичних форм і детермінантів. Теорія представлень напівпростих груп Лі має своє коріння в теорії інваріантів.
Вступ
Нехай буде групою, а - скінченновимірним векторним простором над полем (яке в класичній теорії інваріантів як правило вважалося комплексними числами). групи у просторі є , що індукує на . Якщо є , то дія групи на викликає дію на за наступною формулою:
З цією дією природно розглядати підпростір всіх поліноміальних функцій, що є інваріантними відносно цієї дії групи, іншими словами множина поліномів, таких що для всіх . Цей простір інваріантних поліномів позначається .
Перша проблема теорії інваріантів: Чи є над ?
Наприклад, якщо і — простір квадратних матриць, а дія на задана лівим множенням, тоді ізоморфна поліноміальній алгебрі від однієї змінної, породженої визначником. Іншими словами, в цьому випадку кожен інваріантний многочлен є лінійною комбінацією степенів многочлена від визначника. Таким чином, в цьому випадку є скінченно породженою над .
Якщо відповідь позитивна, то наступне питання — знайти мінімальний базис і запитати, чи є модуль поліноміальних відношень між елементами базису (відомий як ) скінченно породженим над .
Теорія інваріантів скінченних груп має тісні зв'язки з теорія Галуа. Одним із перших великих результатів була основна теорема про симетричні функції, яка описувала інваріанти симетричної групи , що діє на кільце поліномів шляхом перестановок змінних. Більш загально, характеризує скінченні групи, чия алгебра інваріантів є поліноміальним кільцем. Сучасні дослідження в теорії інваріантів скінченних груп акцентують на "ефективних" результатах, таких як явні межі для степенів породжуючих. Випадок додатньої характеристики, ідеологічно близький до , є предметом активного дослідження та пов'язана з алгебраїчною топологією.
Теорія інваріантів нерозривно пов'язана з розвитком лінійної алгебри, зокрема теорій квадратичних форм і визначників. Ще однією темою з сильним взаємовпливом була проективна геометрія, де очікувалося, що теорія інваріантів зіграє важливу роль у систематизації матеріалу. Одним із найяскравіших моментів цих взаємовідносин є . Теорія зображень напівпростих груп Лі має свої корені в теорії інваріантів.
Робота щодо питання про скінченну породженість алгебри інваріантів (1890) призвела до створення нової математичної дисципліни, абстрактної алгебри. Пізніша робота Гільберта (1893) займалася тими ж питаннями більш конструктивними та геометричними шляхами, але залишилася маловідомою до тих пір, поки Девід Мамфорд не відновив ці ідеї у 1960-х роках у значно більш загальній та сучасній формі у своїй . Значною мірою завдяки впливу Мамфорда предмет теорії інваріантів охоплює теорію дій на та многоовидах. Окремий напрямок теорії інваріантів, що йде від класичних конструктивних та комбінаторних методів XIX століття, розвивався Джан-Карло Ротою та його школою. Помітним прикладом цього кола ідей є теорія .
Приклади
Прості приклади теорії інваріантів випливають з обчислення інваріантних мономів в результаті дії групи. Наприклад, розгляньте дію на , яка відправляє
Тоді, оскільки є мономами найнижчого степеня, які є інваріантними, маємо, що
Цей приклад лежить в основі багатьох обчислень.
Зародження в XIX столітті
Кейлі вперше розглянув задачі з теорії інваріантів у своїй "Теорії лінійних перетворень (1845)." На початку своєї статті Кейлі віддає належне статті 1841 року Джордж Буль, "дослідження мені були запропоновані завдяки дуже елегантній роботі з цієї теми... паном Булем." (Стаття Буля була Представлення загальної теорії лінійних перетворень, Кембриджський математичний журнал.)
Класично, термін "теорія інваріантів" відноситься до вивчення інваріантних (еквівалентно, симетричних тензорів) відносно лінійних перетворень. Це була значна галузь досліджень у другій половині дев'ятнадцятого століття. Сучасні теорії, пов'язані з симетричною групою та симетричними функціями, комутативна алгебра, простір модулів та , мають своє коріння в цій області.
Детальніше, маючи скінченновимірний векторний простір розмірності , ми можемо розглянути поліномів степеня над , та дію на ній . Насправді більш точно вважати релятивні інваріанти , або представлення , якщо ми говоримо про інваріанти: це тому, що скалярний множник одиничного перетворення діятиме на тензор рангу у через -те ступінь 'ваги' скаляра. Тоді мета полягає в тому, щоб визначити підалгебру інваріантів для дії. Ми, класичною мовою, дивимося на інваріанти -арних -ік, де є розмірністю . (Це не те саме, що знаходження інваріантів на ; це незацікавлена проблема, оскільки єдині такі інваріанти — константи.) Найбільш вивченим був випадок інваріанти бінарної форми, де = 2.
Інша робота включала діяльність Фелікса Кляйна у розрахунках кілець інваріантів дій скінченних груп на (класифіковані за ); це кільця координат .
Робота , довівши, що I(V) була скінченно представлена у багатьох випадках, майже поклала край класичній теорії інваріантів на кілька десятиліть, хоча класична епоха в предметі продовжувалася до останніх публікацій , більше ніж через 50 років пізніше. Явні розрахунки для конкретних цілей відомі у сучасні часи (наприклад Шіода, з бінарними октавіками).
Теореми Гільберта
Гільберт(1890) довів, що якщо є зображенням представленням комплексної алгебраїчної групи , тоді , що діє на кільці поліномів , є скінченно породженим. Для свого доведення він використовував із в з такими властивостями:
- завжди, коли є інваріантом.
Гільберт явно побудував оператор Рейнольдса, використовуючи , хоча тепер більш поширена непряма конструкція : для компактних груп оператор Рейнольдса отримують шляхом усереднення по , а некомпактні редуктивні групи можна звести до випадку компактних груп, використовуючи .
З урахуванням оператора Рейнольдса, теорема Гільберта доводиться так. Кільце є кільцем поліномів, тому градуйоване за степенями, і ідеал визначається як ідеал, породжений однорідними інваріантами позитивних степенів. За теорема Гільберта про базис ідеал скінченно породжений (як ідеал). Отже, породжений кількома інваріантами (оскільки, якщо ми маємо будь-яку – можливо нескінченну – підмножину , яка породжує кінцево породжений ідеал , то вже породжений деякою скінченною підмножиною ). Нехай є скінченною множиною інваріантів , які породжують (як ідеал). Основна ідея полягає в тому, щоб показати, що ці породжують кільце інваріантів. Припустимо, що є деяким однорідним інваріантом степеня . Тоді
для деяких у кільці , оскільки знаходиться в ідеалі . Ми можемо припустити, що є однорідними степеня для кожного (в іншому випадку, ми замінюємо його однорідною компонентою степеня ; якщо ми зробимо це для кожного , рівняння залишиться валідним). Тепер, застосувавши оператор Рейнольдса до отримуємо
Геометрична теорія інваріантів
Сучасне формулювання належить і акцентує на конструкції фактору за дією групи, який повинна захоплювати інваріантну інформацію через її кільце координат. Це тонка теорія, в якій успіх досягається шляхом виключення деяких "поганих" орбіт і ідентифікації інших з "хорошими" орбітами. У окремому розвитку , який здавався евристичним комбінаторним позначенням, було реабілітовано.
Однією з мотивацій було створення в як часток схем, що параметризують позначені об'єкти. У 1970-х та 1980-х роках теорія розвивалася взаємодіями з та еквіваріантною топологією і була використана для конструювання модульних просторів об'єктів у , таких як та .
Література
- (2001). Essays in the History of Lie groups and algebraic groups. Т. History of Mathematics, Vol. 21. American mathematical society and London mathematical society. ISBN .
- Wolfson, Paul R. (2008). George Boole and the origins of invariant theory. Historia Mathematica. Elsevier BV. 35 (1): 37—46. doi:10.1016/j.hm.2007.06.004. ISSN 0315-0860.
- ; Carrell, James B. (1970), Invariant theory, old and new, , 4: 1—80, doi:10.1016/0001-8708(70)90015-0, ISSN 0001-8708, MR 0255525 Reprinted as Dieudonné, Jean A.; Carrell, James B. (1971), Invariant theory, old and new, , Boston, MA: , 4: 1—80, doi:10.1016/0001-8708(70)90015-0, ISBN , MR 0279102
- Dolgachev, Igor (2003), Lectures on invariant theory, London Mathematical Society Lecture Note Series, т. 296, Cambridge University Press, doi:10.1017/CBO9780511615436, ISBN , MR 2004511
- Grace, J. H.; Young, Alfred (1903), The algebra of invariants, Cambridge: Cambridge University Press
- (1997), Algebraic homogeneous spaces and invariant theory, New York: Springer, ISBN
- Kung, Joseph P. S.; (1984), The invariant theory of binary forms, Bulletin of the American Mathematical Society, New Series, 10 (1): 27—85, doi:10.1090/S0273-0979-1984-15188-7, ISSN 0002-9904, MR 0722856
- (1890), Ueber die Theorie der algebraischen Formen, Mathematische Annalen, 36 (4): 473—534, doi:10.1007/BF01208503, ISSN 0025-5831
- Hilbert, D. (1893), Über die vollen Invariantensysteme (On Full Invariant Systems), Math. Annalen, 42 (3): 313, doi:10.1007/BF01444162
- Neusel, Mara D.; Smith, Larry (2002), Invariant Theory of Finite Groups, Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN A recent resource for learning about modular invariants of finite groups.
- (1999), Classical invariant theory, Cambridge: Cambridge University Press, ISBN An undergraduate level introduction to the classical theory of invariants of binary forms, including the starting at page 87.
- Popov, V.L. (2001), Invariants, theory of, у Hazewinkel, Michiel (ред.), Математична енциклопедія, , ISBN
- Springer, T. A. (1977), Invariant Theory, New York: Springer, ISBN An older but still useful survey.
- (1993), Algorithms in Invariant Theory, New York: Springer, ISBN A beautiful introduction to the theory of invariants of finite groups and techniques for computing them using Gröbner bases.
- (1939), The Classical Groups. Their Invariants and Representations, Princeton University Press, ISBN , MR 0000255
- (1939b), Invariants, , 5 (3): 489—502, doi:10.1215/S0012-7094-39-00540-5, ISSN 0012-7094, MR 0000030
Зовнішні посилання
- H. Kraft, C. Procesi, Classical Invariant Theory, a Primer
- V. L. Popov, E. B. Vinberg, ``Invariant Theory", in Algebraic geometry. IV. Encyclopaedia of Mathematical Sciences, 55 (translated from 1989 Russian edition) Springer-Verlag, Berlin, 1994; vi+284 pp.;
Див. також
Вікіцитати містять висловлювання на тему: Теорія інваріантів |
Це незавершена стаття з математики. Ви можете проєкту, виправивши або дописавши її. |
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Teoriya invariantiv rozdil abstraktnoyi algebri yakij vivchaye diyi grup na algebrayichnih mnogovidah z tochki zoru yih vplivu na funkciyi viznacheni na cih mnogovidah Klasichno teoriya rozglyadaye pitannya pro yavnogo opisu mnogochleniv yaki ne zminyuyutsya abo ye invariantnimi vidnosno do peretvorennyami zadanogo linijnoyu grupoyu Teoriya invariantiv skinchennih grup maye tisnij zv yazok z teoriyeyu Galua Odnim z pershih vidomih rezultativ bula osnovna teorema pro simetrichni funkciyi yaka opisuye invarianti simetrichnoyi grupi S n displaystyle S n sho diye na kilci mnogochleniv perestanovkami zminnih Teoriya invariantiv neskinchennih grup nerozrivno pov yazana z rozvitkom linijnoyi algebri zokrema teoriyi kvadratichnih form i determinantiv Teoriya predstavlen napivprostih grup Li maye svoye korinnya v teoriyi invariantiv VstupNehaj G displaystyle G bude grupoyu a V displaystyle V skinchennovimirnim vektornim prostorom nad polem k displaystyle k yake v klasichnij teoriyi invariantiv yak pravilo vvazhalosya kompleksnimi chislami grupi G displaystyle G u prostori V displaystyle V ye p G G L V displaystyle pi G to GL V sho indukuye G displaystyle G na V displaystyle V Yaksho k V displaystyle k V ye to diya grupi G displaystyle G na V displaystyle V viklikaye diyu na k V displaystyle k V za nastupnoyu formuloyu g f x f g 1 x x V g G f k V displaystyle g cdot f x f g 1 x qquad forall x in V g in G f in k V Z ciyeyu diyeyu prirodno rozglyadati pidprostir vsih polinomialnih funkcij sho ye invariantnimi vidnosno ciyeyi diyi grupi inshimi slovami mnozhina polinomiv takih sho g f f displaystyle g cdot f f dlya vsih g G displaystyle g in G Cej prostir invariantnih polinomiv poznachayetsya k V G displaystyle k V G Persha problema teoriyi invariantiv Chi ye k V G displaystyle k V G nad k displaystyle k Napriklad yaksho G S L n displaystyle G SL n i V M n displaystyle V M n prostir kvadratnih matric a diya G displaystyle G na V displaystyle V zadana livim mnozhennyam todi k V G displaystyle k V G izomorfna polinomialnij algebri vid odniyeyi zminnoyi porodzhenoyi viznachnikom Inshimi slovami v comu vipadku kozhen invariantnij mnogochlen ye linijnoyu kombinaciyeyu stepeniv mnogochlena vid viznachnika Takim chinom v comu vipadku k V G displaystyle k V G ye skinchenno porodzhenoyu nad k displaystyle k Yaksho vidpovid pozitivna to nastupne pitannya znajti minimalnij bazis i zapitati chi ye modul polinomialnih vidnoshen mizh elementami bazisu vidomij yak skinchenno porodzhenim nad k V displaystyle k V Teoriya invariantiv skinchennih grup maye tisni zv yazki z teoriya Galua Odnim iz pershih velikih rezultativ bula osnovna teorema pro simetrichni funkciyi yaka opisuvala invarianti simetrichnoyi grupi S n displaystyle S n sho diye na kilce polinomiv R x 1 x n displaystyle R x 1 ldots x n shlyahom perestanovok zminnih Bilsh zagalno harakterizuye skinchenni grupi chiya algebra invariantiv ye polinomialnim kilcem Suchasni doslidzhennya v teoriyi invariantiv skinchennih grup akcentuyut na efektivnih rezultatah takih yak yavni mezhi dlya stepeniv porodzhuyuchih Vipadok dodatnoyi harakteristiki ideologichno blizkij do ye predmetom aktivnogo doslidzhennya ta pov yazana z algebrayichnoyu topologiyeyu Teoriya invariantiv nerozrivno pov yazana z rozvitkom linijnoyi algebri zokrema teorij kvadratichnih form i viznachnikiv She odniyeyu temoyu z silnim vzayemovplivom bula proektivna geometriya de ochikuvalosya sho teoriya invariantiv zigraye vazhlivu rol u sistematizaciyi materialu Odnim iz najyaskravishih momentiv cih vzayemovidnosin ye Teoriya zobrazhen napivprostih grup Li maye svoyi koreni v teoriyi invariantiv Robota shodo pitannya pro skinchennu porodzhenist algebri invariantiv 1890 prizvela do stvorennya novoyi matematichnoyi disciplini abstraktnoyi algebri Piznisha robota Gilberta 1893 zajmalasya timi zh pitannyami bilsh konstruktivnimi ta geometrichnimi shlyahami ale zalishilasya malovidomoyu do tih pir poki Devid Mamford ne vidnoviv ci ideyi u 1960 h rokah u znachno bilsh zagalnij ta suchasnij formi u svoyij Znachnoyu miroyu zavdyaki vplivu Mamforda predmet teoriyi invariantiv ohoplyuye teoriyu dij na ta mnogoovidah Okremij napryamok teoriyi invariantiv sho jde vid klasichnih konstruktivnih ta kombinatornih metodiv XIX stolittya rozvivavsya Dzhan Karlo Rotoyu ta jogo shkoloyu Pomitnim prikladom cogo kola idej ye teoriya PrikladiProsti prikladi teoriyi invariantiv viplivayut z obchislennya invariantnih monomiv v rezultati diyi grupi Napriklad rozglyante diyu Z 2 Z displaystyle mathbb Z 2 mathbb Z na C x y displaystyle mathbb C x y yaka vidpravlyaye x x y y displaystyle begin aligned x mapsto x amp amp y mapsto y end aligned Todi oskilki x 2 x y y 2 displaystyle x 2 xy y 2 ye monomami najnizhchogo stepenya yaki ye invariantnimi mayemo sho C x y Z 2 Z C x 2 x y y 2 C a b c a c b 2 displaystyle mathbb C x y mathbb Z 2 mathbb Z cong mathbb C x 2 xy y 2 cong frac mathbb C a b c ac b 2 Cej priklad lezhit v osnovi bagatoh obchislen Zarodzhennya v XIX stolittiKejli vpershe rozglyanuv zadachi z teoriyi invariantiv u svoyij Teoriyi linijnih peretvoren 1845 Na pochatku svoyeyi statti Kejli viddaye nalezhne statti 1841 roku Dzhordzh Bul doslidzhennya meni buli zaproponovani zavdyaki duzhe elegantnij roboti z ciyeyi temi panom Bulem Stattya Bulya bula Predstavlennya zagalnoyi teoriyi linijnih peretvoren Kembridzhskij matematichnij zhurnal Klasichno termin teoriya invariantiv vidnositsya do vivchennya invariantnih ekvivalentno simetrichnih tenzoriv vidnosno linijnih peretvoren Ce bula znachna galuz doslidzhen u drugij polovini dev yatnadcyatogo stolittya Suchasni teoriyi pov yazani z simetrichnoyu grupoyu ta simetrichnimi funkciyami komutativna algebra prostir moduliv ta mayut svoye korinnya v cij oblasti Detalnishe mayuchi skinchennovimirnij vektornij prostir V displaystyle V rozmirnosti n displaystyle n mi mozhemo rozglyanuti S S r V displaystyle S S r V polinomiv stepenya r displaystyle r nad V displaystyle V ta diyu na nij G L V displaystyle GL V Naspravdi bilsh tochno vvazhati relyativni invarianti G L V displaystyle GL V abo predstavlennya S L V displaystyle SL V yaksho mi govorimo pro invarianti ce tomu sho skalyarnij mnozhnik odinichnogo peretvorennya diyatime na tenzor rangu r displaystyle r u S V displaystyle S V cherez r displaystyle r te stupin vagi skalyara Todi meta polyagaye v tomu shob viznachiti pidalgebru invariantiv I S r V displaystyle I S r V dlya diyi Mi klasichnoyu movoyu divimosya na invarianti n displaystyle n arnih r displaystyle r ik de n displaystyle n ye rozmirnistyu V displaystyle V Ce ne te same sho znahodzhennya invariantiv G L V displaystyle GL V na S V displaystyle S V ce nezacikavlena problema oskilki yedini taki invarianti konstanti Najbilsh vivchenim buv vipadok invarianti binarnoyi formi de n displaystyle n 2 Insha robota vklyuchala diyalnist Feliksa Klyajna u rozrahunkah kilec invariantiv dij skinchennih grup na C 2 displaystyle mathbf C 2 klasifikovani za ce kilcya koordinat Robota dovivshi sho I V bula skinchenno predstavlena u bagatoh vipadkah majzhe poklala kraj klasichnij teoriyi invariantiv na kilka desyatilit hocha klasichna epoha v predmeti prodovzhuvalasya do ostannih publikacij bilshe nizh cherez 50 rokiv piznishe Yavni rozrahunki dlya konkretnih cilej vidomi u suchasni chasi napriklad Shioda z binarnimi oktavikami Teoremi GilbertaGilbert 1890 doviv sho yaksho V displaystyle V ye zobrazhennyam predstavlennyam kompleksnoyi algebrayichnoyi grupi G S L n C displaystyle G SL n C todi G displaystyle G sho diye na kilci polinomiv R S V displaystyle R S V ye skinchenno porodzhenim Dlya svogo dovedennya vin vikoristovuvav p displaystyle p iz R displaystyle R v R G displaystyle R G z takimi vlastivostyami p 1 1 displaystyle p 1 1 p a b p a p b displaystyle p a b p a p b p a b a p b displaystyle p ab ap b zavzhdi koli a displaystyle a ye invariantom Gilbert yavno pobuduvav operator Rejnoldsa vikoristovuyuchi W displaystyle Omega hocha teper bilsh poshirena nepryama konstrukciya p displaystyle p dlya kompaktnih grup G displaystyle G operator Rejnoldsa otrimuyut shlyahom userednennya po G displaystyle G a nekompaktni reduktivni grupi mozhna zvesti do vipadku kompaktnih grup vikoristovuyuchi Z urahuvannyam operatora Rejnoldsa teorema Gilberta dovoditsya tak Kilce R displaystyle R ye kilcem polinomiv tomu gradujovane za stepenyami i ideal I displaystyle I viznachayetsya yak ideal porodzhenij odnoridnimi invariantami pozitivnih stepeniv Za teorema Gilberta pro bazis ideal I displaystyle I skinchenno porodzhenij yak ideal Otzhe I displaystyle I porodzhenij kilkoma invariantami G displaystyle G oskilki yaksho mi mayemo bud yaku mozhlivo neskinchennu pidmnozhinu S displaystyle S yaka porodzhuye kincevo porodzhenij ideal I displaystyle I to I displaystyle I vzhe porodzhenij deyakoyu skinchennoyu pidmnozhinoyu S displaystyle S Nehaj i 1 i n displaystyle i 1 i n ye skinchennoyu mnozhinoyu invariantiv G displaystyle G yaki porodzhuyut I displaystyle I yak ideal Osnovna ideya polyagaye v tomu shob pokazati sho ci porodzhuyut kilce R G displaystyle R G invariantiv Pripustimo sho x displaystyle x ye deyakim odnoridnim invariantom stepenya d gt 0 displaystyle d gt 0 Todi x a 1 i 1 a n i n displaystyle x a 1 i 1 a n i n dlya deyakih a j displaystyle a j u kilci R displaystyle R oskilki x displaystyle x znahoditsya v ideali I displaystyle I Mi mozhemo pripustiti sho a j displaystyle a j ye odnoridnimi stepenya d deg i j displaystyle d deg i j dlya kozhnogo j displaystyle j v inshomu vipadku mi zaminyuyemo a j displaystyle a j jogo odnoridnoyu komponentoyu stepenya d deg i j displaystyle d deg i j yaksho mi zrobimo ce dlya kozhnogo j displaystyle j rivnyannya x a 1 i 1 a n i n displaystyle x a 1 i 1 a n i n zalishitsya validnim Teper zastosuvavshi operator Rejnoldsa do x a 1 i 1 a n i n displaystyle x a 1 i 1 a n i n otrimuyemo x p a 1 i 1 p a n i n displaystyle x p a 1 i 1 p a n i n Geometrichna teoriya invariantivSuchasne formulyuvannya nalezhit i akcentuye na konstrukciyi faktoru za diyeyu grupi yakij povinna zahoplyuvati invariantnu informaciyu cherez yiyi kilce koordinat Ce tonka teoriya v yakij uspih dosyagayetsya shlyahom viklyuchennya deyakih poganih orbit i identifikaciyi inshih z horoshimi orbitami U okremomu rozvitku yakij zdavavsya evristichnim kombinatornim poznachennyam bulo reabilitovano Odniyeyu z motivacij bulo stvorennya v yak chastok shem sho parametrizuyut poznacheni ob yekti U 1970 h ta 1980 h rokah teoriya rozvivalasya vzayemodiyami z ta ekvivariantnoyu topologiyeyu i bula vikoristana dlya konstruyuvannya modulnih prostoriv ob yektiv u takih yak ta Literatura 2001 Essays in the History of Lie groups and algebraic groups T History of Mathematics Vol 21 American mathematical society and London mathematical society ISBN 978 0821802885 Wolfson Paul R 2008 George Boole and the origins of invariant theory Historia Mathematica Elsevier BV 35 1 37 46 doi 10 1016 j hm 2007 06 004 ISSN 0315 0860 Carrell James B 1970 Invariant theory old and new 4 1 80 doi 10 1016 0001 8708 70 90015 0 ISSN 0001 8708 MR 0255525 Reprinted as Dieudonne Jean A Carrell James B 1971 Invariant theory old and new Boston MA 4 1 80 doi 10 1016 0001 8708 70 90015 0 ISBN 978 0 12 215540 6 MR 0279102 Dolgachev Igor 2003 Lectures on invariant theory London Mathematical Society Lecture Note Series t 296 Cambridge University Press doi 10 1017 CBO9780511615436 ISBN 978 0 521 52548 0 MR 2004511 Grace J H Young Alfred 1903 The algebra of invariants Cambridge Cambridge University Press 1997 Algebraic homogeneous spaces and invariant theory New York Springer ISBN 3 540 63628 5 Kung Joseph P S 1984 The invariant theory of binary forms Bulletin of the American Mathematical Society New Series 10 1 27 85 doi 10 1090 S0273 0979 1984 15188 7 ISSN 0002 9904 MR 0722856 1890 Ueber die Theorie der algebraischen Formen Mathematische Annalen 36 4 473 534 doi 10 1007 BF01208503 ISSN 0025 5831 Hilbert D 1893 Uber die vollen Invariantensysteme On Full Invariant Systems Math Annalen 42 3 313 doi 10 1007 BF01444162 Neusel Mara D Smith Larry 2002 Invariant Theory of Finite Groups Providence RI American Mathematical Society ISBN 0 8218 2916 5 A recent resource for learning about modular invariants of finite groups 1999 Classical invariant theory Cambridge Cambridge University Press ISBN 0 521 55821 2 An undergraduate level introduction to the classical theory of invariants of binary forms including the starting at page 87 Popov V L 2001 Invariants theory of u Hazewinkel Michiel red Matematichna enciklopediya Springer ISBN 978 1 55608 010 4 Springer T A 1977 Invariant Theory New York Springer ISBN 0 387 08242 5 An older but still useful survey 1993 Algorithms in Invariant Theory New York Springer ISBN 0 387 82445 6 A beautiful introduction to the theory of invariants of finite groups and techniques for computing them using Grobner bases 1939 The Classical Groups Their Invariants and Representations Princeton University Press ISBN 978 0 691 05756 9 MR 0000255 1939b Invariants 5 3 489 502 doi 10 1215 S0012 7094 39 00540 5 ISSN 0012 7094 MR 0000030Zovnishni posilannyaH Kraft C Procesi Classical Invariant Theory a Primer V L Popov E B Vinberg Invariant Theory in Algebraic geometry IV Encyclopaedia of Mathematical Sciences 55 translated from 1989 Russian edition Springer Verlag Berlin 1994 vi 284 pp ISBN 3 540 54682 0Div takozhVikicitati mistyat vislovlyuvannya na temu Teoriya invariantiv Portal Matematika David Gilbert Invariant matematika Invariant grafu Ce nezavershena stattya z matematiki Vi mozhete dopomogti proyektu vipravivshi abo dopisavshi yiyi