- Стаття є частиною огляду історії математики
Під математикою Стародавнього Єгипту розуміють математику, яка була розроблена і використовувалась в Стародавньому Єгипті від 3000 р. до н. е. до 300 р. до н. е., від Стародавнєго царства до початку елліністичного Єгипту. Стародавні єгиптяни використовували систему числення для лічби та розв'язання математичних задач, часто залучаючи множення та дроби. Відомості про єгипетську математику обмежені невеликою кількістю збережених джерел, написаних на папірусі. З цих текстів відомо, що стародавні єгиптяни мали поняття з [en], такі як площа поверхні та об'єм тривимірних фігур, і використовували їх для архітектури, та [en], такі як метод хибного положення та квадратні рівняння.
Огляд
Письмові докази використання математики сягають щонайменше 3200 р. до н.е., коли бирки із слонової кістки знайдені в гробниці Скорпіона І (U-j) в Абідосі. Ці бирки, здається, використовувались як мітки для надмогильних товарів, деякі з них були з цифрами. Також свідчення про використання десяткової системи числення можна знайти на булаві Нармера, де зображено жертву з 400 000 волів, 1422 000 козлів і 120 000 полонених.
Свідчення про математику Стародавнього царства (бл. 2690–2180 рр. до н. е.) є мізерними, але їх можна дістати з написів на стіні біля мастаби в Мейдумі, що вказують нахил мастаби. Рядки на діаграмі розташовані на відстані одного ліктя і показують використання цієї одиниці вимірювання.
Найдавніші суто математичні документи датують 12-ю династією (близько 1990–1800 до н. е.). Московський математичний папірус, Єгипетський математичний шкіряний сувій, [en], що є частиною значно більшої колекції Кахунських папірусів та [en] датують саме цим періодом. Папірус Райнда, який датують Другим перехідним періодом (приблизно 1650 р. до н. е.), базується на старішому математичному тексті з 12-ї династії.
Московський математичний папірус і папірус Райнда є математичними задачниками. Вони складаються з сукупності задача з розв'язаннями. Можливо їх написав або вчитель, або учень, який розв'язував типові математичні задачі.
Цікавою особливістю математики Стародавнього Єгипту є використання одиничних дробів. Єгиптяни використовували деякі особливі позначення для дробів, таких як і та в деяких текстах для , але інші дроби були записані як одиничні дроби вигляду або суми таких одиничних дробів. Писарі використовували довідкові таблиці, щоб виконувати дії з такими дробами. Наприклад, Єгипетський математичний шкіряний сувій — це таблиця одиничних дробів, яка виражаються через суми інших одиничних дробів. Математичний папірус Райнда та деякі інші тексти містять таблиці . Ці таблиці дозволяли писарям переписати будь-який дріб вигляду як суму одиничних дробів.
У часи Нового Царства (бл. 1550–1070 рр. до н. е.) математичні задачі згадуються проблеми згадуються в літературних джерелах, а в Папірусі Вільбура часів Рамзеса III у землемірних записах. У поселені ремісників Дейр-ель-Медіна було знайдено декілька остраконів із записами про об'єм бруду, видаленого під час будівництва гробниць.
Найдавніші давньоєгипетські математичні тексти відносяться до початку II тисячоліття до н. е. Математика тоді використовувалася в астрономії, мореплаванні, при будівництві будівель, гребель, каналів та військових укріплень. Грошових розрахунків, як і самих грошей, у Єгипті не було. Єгиптяни писали на папірусі, який зберігається погано, і тому наші знання про математику Єгипту істотно менші, ніж про математику Вавилону або Греції. Ймовірно, вона була розвинена краще, ніж можна уявити, виходячи з збережених до наших часів документів — відомо, що грецькі математики вчилися у єгиптян.
Нам нічого не відомо про розвиток математичних знань в Єгипті як в давніші, так і в більш пізні часи. Після воцаріння Птолемеїв починається надзвичайно плідний синтез єгипетської і грецької культури.
Від Нового царства до нас дійшли кілька фрагментів обчислювального характеру.
Автори всіх цих текстів нам невідомі. Дійшли до нас екземпляри — це в основному копії, переписані в період гіксосів. Носії наукових знань тоді іменувалися писарів і фактично були державними або храмовими чиновниками.
Всі завдання з папірусу Ахмеса (записаний ок. 1650 року до н. е.) Мають прикладний характер і пов'язані з практикою будівництва, розмежуванням земельних наділів тощо Завдання згруповані не по методам, а за тематикою. По перевазі це завдання на знаходження площ трикутника, чотирикутників і кола, різноманітні дії з цілими числами і Аліквотні дроби, пропорційний поділ, знаходження відносин, зведення в різні ступені, визначення середнього арифметичного , арифметичні прогресії, розв’язання рівнянь першого та другого ступеня з одним невідомим.
Повністю відсутні які б то не було пояснення або докази. Шуканий результат або дається прямо, або наводиться короткий алгоритм його обчислення.
Такий спосіб викладу, типовий для науки країн стародавнього Сходу, наводить на думку про те, що математика там розвивалася шляхом індуктивних узагальнень і геніальних здогадок, що не утворюють ніякої загальної теорії. Проте, в папірусі є цілий ряд свідчень того, що математика в Стародавньому Єгипті тих років мала або, принаймні, починала набувати теоретичний характер. Так, єгипетські математики вміли витягати корінь (цілочисельні) і підносити до степеня, розв’язувати рівняння, були знайомі з арифметичної і геометричною прогресією і навіть володіли зачатками алгебри: при розв’язанні рівнянь спеціальний ієрогліф «купа» позначав невідоме.
Джерела
Нашому розумінню староєгипетської математики перешкоджає відома бідність доступних джерел. Джерела, які ми дійсно маємо, включають в себе наступні тексти, які дадують Середнім царством або Другим перехідним періодом:
- Московський математичний папірус (бл. 1850 р. до н. е.)
- (бл. 1650 р. до н. е.)
- [en](бл. 1700 р. до н. е.)
- [en] (бл. 1800 р. до н. е.)
- [en] (бл. 1950 р. до н. е.)
- [en] (бл. 1970 р. до н. е.)
- Папірус Райнда датують Другим перехідним періодом (бл. 1550 р. до н. е.), але його автор, [en], вказує на нього як на копію тепер втраченого папірусу Середнього царства. Папірус Райнда є найбільшою відомою математичною пам'яткою.
З Нового Царства до нас дійшло кілька математичних текстів і написів, пов'язаних з обчисленнями:
- [en] (епоха Рамесидів є літературним текстом. Він написаний як (вигаданий) лист, від писаря Горі до писаря Аменемоупа. У листі описано кілька математичних задач.
- Остракон Senmut 153, написаний ієратичним письмом
- Остракон Turin 57170, написаний ієратичним письмом
- Остракони з Дейр-ель-Медіни містять обчислення. Наприклад, остракон IFAO 1206 показує обчислення об'ємів, пов'язаних з копанням гробниці.
Цифри
Стародавні єгипетські тексти могли бути написані або в ієрогліфами або ієратикою. Система числення було десятковою, але не позиційною. У чисел 1, 10, 100, 1000, 10 000, 1 000 000 та 10 000 000 були свої власні ієрогліфи.
1 | 10 | 100 | 1 000 | 10 000 | 100 000 | 1 000 000 | 10 000 000 | ||||||||||||||
---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|---|
|
|
|
|
|
|
|
Єгипетські цифри сягають Додинастичного періоду. Бірки із слонової кістки з Абідоса записані за допомогою цих ієрогліфів. Також можна побачити цифри в жертвених сценах, щоб вказати на кількість пожертви. Принцеса Нефертіабет показана з жертвою 1000 волів, хліба, пива тощо.
Єгипетська ієрогліфічна система числення була адитивною. Великі числа записували як сукупністю відповідних розрядних ієрогліфів; їх значення додавали.
Єгиптяни використовували майже виключно дроби виду . Окремі ієрогліфи були лише для дробів , та (цей дріб часто використовувався в математичних текстах). Одиничні дроби вигляду записувались як спеціальний ієрогліф для дробу, а під ним або навколо нього записувався знаменник дробу. Решту дробів записували як суму одиничних дробів (можливо з використанням ієрогліфів для ).
|
|
|
|
|
Арифметика
Алгебра
Геометрія
Посилання
- (2006). Ancient Egyptian Mathematics: New Perspectives on Old Sources. The Mathematical Intelligencer. 28 (1): 19—27. doi:10.1007/bf02986998.
- Burton, David (2005). The History of Mathematics: An Introduction. McGraw–Hill. ISBN .
- Rossi, Corinna (2007). Architecture and Mathematics in Ancient Egypt. Cambridge University Press. ISBN .
- Katz V, , , Dauben JW, Plofker K, Berggren JL (2007). The Mathematics of Egypt, Mesopotamia, China, India, and Islam: A Sourcebook. Princeton University Press. ISBN .
- Reimer, David (11 травня 2014). Count Like an Egyptian: A Hands-on Introduction to Ancient Mathematics (англ.). Princeton University Press. ISBN .
- Clagett, Marshall Ancient Egyptian Science, A Source Book. Volume Three: Ancient Egyptian Mathematics (Memoirs of the American Philosophical Society) American Philosophical Society. 1999
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
Stattya ye chastinoyu oglyadu istoriyi matematiki dd Pid matematikoyu Starodavnogo Yegiptu rozumiyut matematiku yaka bula rozroblena i vikoristovuvalas v Starodavnomu Yegipti vid 3000 r do n e do 300 r do n e vid Starodavnyego carstva do pochatku ellinistichnogo Yegiptu Starodavni yegiptyani vikoristovuvali sistemu chislennya dlya lichbi ta rozv yazannya matematichnih zadach chasto zaluchayuchi mnozhennya ta drobi Vidomosti pro yegipetsku matematiku obmezheni nevelikoyu kilkistyu zberezhenih dzherel napisanih na papirusi Z cih tekstiv vidomo sho starodavni yegiptyani mali ponyattya z en taki yak plosha poverhni ta ob yem trivimirnih figur i vikoristovuvali yih dlya arhitekturi ta en taki yak metod hibnogo polozhennya ta kvadratni rivnyannya Chastina papirusa Ahmesa Zadachi z 49 po 55 OglyadDokladnishe Literatura Starodavnogo Yegiptu Pismovi dokazi vikoristannya matematiki syagayut shonajmenshe 3200 r do n e koli birki iz slonovoyi kistki znajdeni v grobnici Skorpiona I U j v Abidosi Ci birki zdayetsya vikoristovuvalis yak mitki dlya nadmogilnih tovariv deyaki z nih buli z ciframi Takozh svidchennya pro vikoristannya desyatkovoyi sistemi chislennya mozhna znajti na bulavi Narmera de zobrazheno zhertvu z 400 000 voliv 1422 000 kozliv i 120 000 polonenih Svidchennya pro matematiku Starodavnogo carstva bl 2690 2180 rr do n e ye mizernimi ale yih mozhna distati z napisiv na stini bilya mastabi v Mejdumi sho vkazuyut nahil mastabi Ryadki na diagrami roztashovani na vidstani odnogo liktya i pokazuyut vikoristannya ciyeyi odinici vimiryuvannya Najdavnishi suto matematichni dokumenti datuyut 12 yu dinastiyeyu blizko 1990 1800 do n e Moskovskij matematichnij papirus Yegipetskij matematichnij shkiryanij suvij en sho ye chastinoyu znachno bilshoyi kolekciyi Kahunskih papirusiv ta en datuyut same cim periodom Papirus Rajnda yakij datuyut Drugim perehidnim periodom priblizno 1650 r do n e bazuyetsya na starishomu matematichnomu teksti z 12 yi dinastiyi Moskovskij matematichnij papirus i papirus Rajnda ye matematichnimi zadachnikami Voni skladayutsya z sukupnosti zadacha z rozv yazannyami Mozhlivo yih napisav abo vchitel abo uchen yakij rozv yazuvav tipovi matematichni zadachi Cikavoyu osoblivistyu matematiki Starodavnogo Yegiptu ye vikoristannya odinichnih drobiv Yegiptyani vikoristovuvali deyaki osoblivi poznachennya dlya drobiv takih yak 1 2 1 3 displaystyle tfrac 1 2 tfrac 1 3 i 2 3 displaystyle tfrac 2 3 ta v deyakih tekstah dlya 3 4 displaystyle tfrac 3 4 ale inshi drobi buli zapisani yak odinichni drobi viglyadu 1 n displaystyle tfrac 1 n abo sumi takih odinichnih drobiv Pisari vikoristovuvali dovidkovi tablici shob vikonuvati diyi z takimi drobami Napriklad Yegipetskij matematichnij shkiryanij suvij ce tablicya odinichnih drobiv yaka virazhayutsya cherez sumi inshih odinichnih drobiv Matematichnij papirus Rajnda ta deyaki inshi teksti mistyat tablici 2 n displaystyle tfrac 2 n Ci tablici dozvolyali pisaryam perepisati bud yakij drib viglyadu 1 n displaystyle tfrac 1 n yak sumu odinichnih drobiv U chasi Novogo Carstva bl 1550 1070 rr do n e matematichni zadachi zgaduyutsya problemi zgaduyutsya v literaturnih dzherelah a v Papirusi Vilbura chasiv Ramzesa III u zemlemirnih zapisah U poseleni remisnikiv Dejr el Medina bulo znajdeno dekilka ostrakoniv iz zapisami pro ob yem brudu vidalenogo pid chas budivnictva grobnic Najdavnishi davnoyegipetski matematichni teksti vidnosyatsya do pochatku II tisyacholittya do n e Matematika todi vikoristovuvalasya v astronomiyi moreplavanni pri budivnictvi budivel grebel kanaliv ta vijskovih ukriplen Groshovih rozrahunkiv yak i samih groshej u Yegipti ne bulo Yegiptyani pisali na papirusi yakij zberigayetsya pogano i tomu nashi znannya pro matematiku Yegiptu istotno menshi nizh pro matematiku Vavilonu abo Greciyi Jmovirno vona bula rozvinena krashe nizh mozhna uyaviti vihodyachi z zberezhenih do nashih chasiv dokumentiv vidomo sho grecki matematiki vchilisya u yegiptyan Nam nichogo ne vidomo pro rozvitok matematichnih znan v Yegipti yak v davnishi tak i v bilsh pizni chasi Pislya vocarinnya Ptolemeyiv pochinayetsya nadzvichajno plidnij sintez yegipetskoyi i greckoyi kulturi Vid Novogo carstva do nas dijshli kilka fragmentiv obchislyuvalnogo harakteru Avtori vsih cih tekstiv nam nevidomi Dijshli do nas ekzemplyari ce v osnovnomu kopiyi perepisani v period giksosiv Nosiyi naukovih znan todi imenuvalisya pisariv i faktichno buli derzhavnimi abo hramovimi chinovnikami Vsi zavdannya z papirusu Ahmesa zapisanij ok 1650 roku do n e Mayut prikladnij harakter i pov yazani z praktikoyu budivnictva rozmezhuvannyam zemelnih nadiliv tosho Zavdannya zgrupovani ne po metodam a za tematikoyu Po perevazi ce zavdannya na znahodzhennya plosh trikutnika chotirikutnikiv i kola riznomanitni diyi z cilimi chislami i Alikvotni drobi proporcijnij podil znahodzhennya vidnosin zvedennya v rizni stupeni viznachennya serednogo arifmetichnogo arifmetichni progresiyi rozv yazannya rivnyan pershogo ta drugogo stupenya z odnim nevidomim Povnistyu vidsutni yaki b to ne bulo poyasnennya abo dokazi Shukanij rezultat abo dayetsya pryamo abo navoditsya korotkij algoritm jogo obchislennya Takij sposib vikladu tipovij dlya nauki krayin starodavnogo Shodu navodit na dumku pro te sho matematika tam rozvivalasya shlyahom induktivnih uzagalnen i genialnih zdogadok sho ne utvoryuyut niyakoyi zagalnoyi teoriyi Prote v papirusi ye cilij ryad svidchen togo sho matematika v Starodavnomu Yegipti tih rokiv mala abo prinajmni pochinala nabuvati teoretichnij harakter Tak yegipetski matematiki vmili vityagati korin cilochiselni i pidnositi do stepenya rozv yazuvati rivnyannya buli znajomi z arifmetichnoyi i geometrichnoyu progresiyeyu i navit volodili zachatkami algebri pri rozv yazanni rivnyan specialnij iyeroglif kupa poznachav nevidome DzherelaNashomu rozuminnyu staroyegipetskoyi matematiki pereshkodzhaye vidoma bidnist dostupnih dzherel Dzherela yaki mi dijsno mayemo vklyuchayut v sebe nastupni teksti yaki daduyut Serednim carstvom abo Drugim perehidnim periodom Moskovskij matematichnij papirus bl 1850 r do n e bl 1650 r do n e en bl 1700 r do n e en bl 1800 r do n e en bl 1950 r do n e en bl 1970 r do n e Papirus Rajnda datuyut Drugim perehidnim periodom bl 1550 r do n e ale jogo avtor en vkazuye na nogo yak na kopiyu teper vtrachenogo papirusu Serednogo carstva Papirus Rajnda ye najbilshoyu vidomoyu matematichnoyu pam yatkoyu Z Novogo Carstva do nas dijshlo kilka matematichnih tekstiv i napisiv pov yazanih z obchislennyami en epoha Ramesidiv ye literaturnim tekstom Vin napisanij yak vigadanij list vid pisarya Gori do pisarya Amenemoupa U listi opisano kilka matematichnih zadach Ostrakon Senmut 153 napisanij iyeratichnim pismom Ostrakon Turin 57170 napisanij iyeratichnim pismom Ostrakoni z Dejr el Medini mistyat obchislennya Napriklad ostrakon IFAO 1206 pokazuye obchislennya ob yemiv pov yazanih z kopannyam grobnici CifriDokladnishe Yegipetska sistema chislennya ta Yegipetskij drib Starodavni yegipetski teksti mogli buti napisani abo v iyeroglifami abo iyeratikoyu Sistema chislennya bulo desyatkovoyu ale ne pozicijnoyu U chisel 1 10 100 1000 10 000 1 000 000 ta 10 000 000 buli svoyi vlasni iyeroglifi Iyeroglifi dlya chisel 1 10 100 1 000 10 000 100 000 1 000 000 10 000 000 Stela Starodavnogo carstva princesi Nefertiabet datovana 2590 2565 r do n e z yiyi grobnici v Gizi kartina na vapnyaku zberigayetsya v Luvri Yegipetski cifri syagayut Dodinastichnogo periodu Birki iz slonovoyi kistki z Abidosa zapisani za dopomogoyu cih iyeroglifiv Takozh mozhna pobachiti cifri v zhertvenih scenah shob vkazati na kilkist pozhertvi Princesa Nefertiabet pokazana z zhertvoyu 1000 voliv hliba piva tosho Yegipetska iyeroglifichna sistema chislennya bula aditivnoyu Veliki chisla zapisuvali yak sukupnistyu vidpovidnih rozryadnih iyeroglifiv yih znachennya dodavali Cya scena zobrazhuye kilkist velikoyi rogatoyi hudobi skopijovana yegiptologom Lepsiusom V serednomu registri mi bachimo 835 goliv rogatoyi hudobi na livij storoni pryamo pozadu nih blizko 220 tvarin korovi a sprava 2235 kiz U nizhnomu registri mi bachimo 760 osliv zliva ta 974 kiz sprava Yegiptyani vikoristovuvali majzhe viklyuchno drobi vidu 1 n displaystyle 1 n Okremi iyeroglifi buli lishe dlya drobiv 1 2 displaystyle 1 2 3 4 displaystyle 3 4 ta 2 3 displaystyle 2 3 cej drib chasto vikoristovuvavsya v matematichnih tekstah Odinichni drobi viglyadu 1 n displaystyle 1 n zapisuvalis yak specialnij iyeroglif dlya drobu a pid nim abo navkolo nogo zapisuvavsya znamennik n displaystyle n drobu Reshtu drobiv zapisuvali yak sumu odinichnih drobiv mozhlivo z vikoristannyam iyeroglifiv dlya 1 2 2 3 3 4 displaystyle 1 2 2 3 3 4 Iyeroglifi dlya deyakih drobiv 1 2 displaystyle 1 2 1 3 displaystyle 1 3 2 3 displaystyle 2 3 1 4 displaystyle 1 4 1 5 displaystyle 1 5 ArifmetikaAlgebraGeometriyaPosilannyaPortal Starodavnij Yegipet 2006 Ancient Egyptian Mathematics New Perspectives on Old Sources The Mathematical Intelligencer 28 1 19 27 doi 10 1007 bf02986998 Burton David 2005 The History of Mathematics An Introduction McGraw Hill ISBN 978 0 07 305189 5 Rossi Corinna 2007 Architecture and Mathematics in Ancient Egypt Cambridge University Press ISBN 978 0 521 69053 9 Katz V Dauben JW Plofker K Berggren JL 2007 The Mathematics of Egypt Mesopotamia China India and Islam A Sourcebook Princeton University Press ISBN 0 691 11485 4 Reimer David 11 travnya 2014 Count Like an Egyptian A Hands on Introduction to Ancient Mathematics angl Princeton University Press ISBN 9781400851416 Clagett Marshall Ancient Egyptian Science A Source Book Volume Three Ancient Egyptian Mathematics Memoirs of the American Philosophical Society American Philosophical Society 1999 ISBN 978 0 87169 232 0