Зв'язність на головних розшаруваннях

В диференційній геометрії поняття зв'язності використовується для введення поняття паралельного перенесення, кривини і інших. Першочергово воно виникло для дотичних розшарувань диференційовних многовидів і згодом було узагальнено на інші типові об'єкти, зокрема головні розшарування особливо важливим прикладом яких для диференціальної геометрії є так звані реперні розшарування елементами яких є базиси відповідних дотичних просторів диференційовного многовиду.

Означення

Нехай ${\displaystyle \pi \colon P\rightarrow M}$ є головним розшаруванням зі структурною групою ${\displaystyle G}$. Для даної групи відповідно визначена права дія на розшаруванні

${\displaystyle R\colon P\times G\rightarrow P}$.

Нехай, як звичайно, також ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$ позначає алгебру Лі групи ${\displaystyle G}$.

Для ${\displaystyle p\in P}$ дана дія визначає ін'єктивне лінійне відображення ${\displaystyle R_{*p}:{\mathfrak {g}}\to T_{p}P.}$ Елементи простору ${\displaystyle T_{p}P}$, що є образами при цьому відображенні називаються вертикальними векторами. Фактор-простір ${\displaystyle T_{p}P}$ по підпростору вертикальних векторів є ізоморфним до ${\displaystyle T_{\pi (p)}M}$. Зокрема відображення утворюють точну послідовність

${\displaystyle 0\to {\mathfrak {g}}\;{\xrightarrow {R_{*p}}}\;T_{p}P\;{\xrightarrow {\pi _{*}}}\;T_{\pi (p)}M\to 0.}$

Фактично задання зв'язності полягає у виборі доповнень в ${\displaystyle T_{p}P}$ до підпростору вертикальних векторів. Ці доповнення визначаються як ядра деякої ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-значної 1-форми на розшаруванні, що для вертикальних векторів є оберненою до відображень ${\displaystyle R_{*p}.}$

Формально зв'язністю називається ${\displaystyle {\mathfrak {g}}}$-значна 1-форма ${\displaystyle \omega \in \Omega ^{1}(P,{\mathfrak {g}})}$, для якої виконуються умови:

${\displaystyle R_{g}^{*}\omega =\operatorname {Ad} (g^{-1})\circ \omega }$ для всіх ${\displaystyle g\in G}$.

і

${\displaystyle \omega _{p}\circ R_{*p}X=X}$ для всіх ${\displaystyle X\in {\mathfrak {g}}}$.

де ${\displaystyle R_{g}:P\rightarrow P}$ позначає множення справа на елемент ${\displaystyle g\in G}$, ${\displaystyle \omega _{p}}$ — обмеження диференційної форми в точці ${\displaystyle p\in P}$, ${\displaystyle \operatorname {Ad} :G\rightarrow GL({\mathfrak {g}})}$ — приєднане представлення групи Лі ${\displaystyle \operatorname {Ad} (g)X={\frac {d}{dt}}g\exp(tX)g^{-1}{\bigl |}_{t=0}.}$

Підпростір векторів, що належать ядру ${\displaystyle \omega _{p}}$ називається простором горизонтальних векторів. Якщо позначити його як ${\displaystyle H_{p}}$, то справедливою є рівність

${\displaystyle (R_{p})_{*}H_{p}=H_{pg},}$ для всіх ${\displaystyle p\in P,\;g\in G.}$

Дану рівність є еквівалентною першій умові означення зв'язності.

Властивості і приклади

На будь-якому тривіальному головному розшаруванню ${\displaystyle M\times G}$ існує зв'язність яку задає класична Форма Маурера — Картана, якщо її значення визначати на другому аргументі добутку.

Будь-яка опукла комбінація форм, що задають зв'язності теж є зв'язністю. Як наслідок з цієї і попередньої властивості на довільному головному розшаруванні над паракомпактним гладким многовидом можна ввести зв'язність. Для цього потрібно ввести зв'язності породжені формами Маурера — Картана на локально скінченному покритті локально тривіальними відкритими підмножинами і застосувати відповідне розбиття одиниці.

Нехай ${\displaystyle \pi \colon P\rightarrow M}$ і ${\displaystyle {\bar {\pi }}\colon Q\rightarrow N}$ — два диференційовні головні розшарування зі структурною групою ${\displaystyle G}$ і також ${\displaystyle \varphi \colon P\rightarrow Q}$ і ${\displaystyle \psi \colon M\rightarrow N}$ — диференційовні відображення для яких ${\displaystyle {\bar {\pi }}\circ \varphi =\psi \circ \pi .}$ Тоді для довільної зв'язності ${\displaystyle \omega }$ на ${\displaystyle Q}$ диференційна форма ${\displaystyle \varphi ^{*}\omega }$ є зв'язністю на ${\displaystyle P.}$

Кривина

Формою кривини для зв'язності ${\displaystyle \omega }$ називається 2-форма:

${\displaystyle \Omega =d\omega +{\tfrac {1}{2}}[\omega \wedge \omega ].}$

В формулі вище використані позначення

${\displaystyle [\omega \wedge \eta ](v_{1},v_{2})=[\omega (v_{1}),\eta (v_{2})]-[\omega (v_{2}),\eta (v_{1})]}$де справа ${\displaystyle [\cdot ,\cdot ]}$ позначає дужки Лі векторних полів

і зовнішня похідна ${\displaystyle d\omega }$:

${\displaystyle d\omega (X,Y)=X(\omega (Y))-Y(\omega (X))-\omega ([X,Y]).}$

Якщо форма кривини всюди рівна нулю, то зв'язність називається плоскою. На розшаруванні ${\displaystyle \pi \colon P\rightarrow M}$ можна ввести плоску зв'язність тоді і тільки тоді коли існує покриття ${\displaystyle \{U_{\alpha }\}}$ бази ${\displaystyle M}$ відкритими множинами для яких ${\displaystyle \pi ^{-1}U_{\alpha }}$ є тривіальними розшаруваннями і функції переходу ${\displaystyle g_{\alpha \beta }:U_{\alpha }\cap U_{\beta }\to G}$ є константами.

Форма кривини є горизонтальною, тобто якщо хоча б один з її аргументів є вертикальним вектором, то в цій точці вона приймає нульове значення. Також форма кривини є ${\displaystyle G}$-еквіваріантною, тобто ${\displaystyle R_{g}^{*}\Omega =\operatorname {Ad} (g^{-1})\circ \Omega .}$

Рівність Б'янкі

Зовнішня похідна форми кривини рівна

${\displaystyle d\Omega =\left[\Omega ,\omega \right]}$.

Паралельне перенесення

Для довільної гладкої кривої ${\displaystyle \gamma :\left[0,1\right]\rightarrow M}$ і точки ${\displaystyle x\in \pi ^{-1}(\gamma (0))}$ існує єдина крива ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}:\left[0,1\right]\rightarrow P}$ для якої ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}_{x}(0)=x,}$ ${\displaystyle \pi ({\tilde {\gamma }}_{x})=\gamma }$ і окрім того дотичний вектор до ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ є горизонтальним вектором у відповідній точці кривої.

Для довільної гладкої кривої ${\displaystyle \gamma :\left[0,1\right]\rightarrow M}$ можна визначити відображення

${\displaystyle P_{\gamma }(x)={\tilde {\gamma }}_{x}(1),\;\;x\in \pi ^{-1}(\gamma (0)).}$

Відображення ${\displaystyle P_{\gamma }:\pi ^{-1}(\gamma (0))\rightarrow \pi ^{-1}(\gamma (1))}$, називається паралельним перенесенням вздовж кривої ${\displaystyle \gamma }$.

Для довільної точки ${\displaystyle p\in P}$ введені відображення визначають групу голономій як підкрупу групи дифеоморфізмів простору ${\displaystyle F_{p}:=\pi ^{-1}(p)}$ щодо паралельних перенесень вздовж замкнутих кривих з початком і кінцем в цій точці. А саме якщо ${\displaystyle \gamma :\left[0,1\right]\rightarrow P}$ гладка крива для якої ${\displaystyle \gamma (0)=\gamma (1)=p}$ і ${\displaystyle x\in F_{p}}$ то визначена як вище крива ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}}$ для якої ${\displaystyle {\tilde {\gamma }}(0)=x}$ визначає відображення ${\displaystyle f_{\gamma }(x):={\tilde {\gamma }}(1)}$. Дане відображення є автоморфізмом простору ${\displaystyle F_{p}.}$ Група автоморфізмів ${\displaystyle f_{\gamma }}$ для всіх таких кривих ${\displaystyle \gamma }$ називається групою голономій.

Див. також

• Афінна зв'язність
• Головне розшарування
• Зв'язність на векторних розшаруваннях
• Форма Маурера — Картана

Посилання

• Manifold Atlas [ 13 червня 2017 у Wayback Machine.]

Література

• Dupont, Johan L. (1978), Curvature and Characteristic Classes, Lecture Notes in Mathematics, Springer-Verlag, ISBN 
• Kobayashi, Shoshichi (1957), Theory of Connections, Ann. Mat. Pura Appl., 43: 119—194, doi:10.1007/BF02411907
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry, т. Vol. 1 (вид. New), Wiley Interscience, ISBN 
• Kolář, Ivan; Michor, Peter; Slovák, Jan (1993), (PDF), Springer-Verlag, архів оригіналу (PDF) за 30 березня 2017, процитовано 16 березня 2017