У математиці розбиттям одиниці топологічного простору називають сімейство неперервних функцій з в одиничний інтервал одиничний інтервал , які задовольняють для довільної точки наступним умовам:
- існує окіл точки в якому всі, окрім скінченного числа, функції з дорівнюють нулю
- сума всіх значень функцій в точці дорівнює 1, тобто
Розбиття одиниці є важливим, оскільки у багатьох випадках дозволяє продовжити локальні конструкції на весь простір. Також розбиття одиниці використовують при інтерполяції інформації, обробці сигналів обробці сигналів та теорії сплайнів.
Існування
Для існування розбиття одиниці розрізняють два підходи:
- Нехай - деяке відкрите покриття , тоді існує розбиття , проіндексоване тією ж множиною таке, що . Подібне розбиття називають підпорядкованим відкритому покриттю .
- Якщо простір є локально компактним та задано деяке відкрите покриття , то існує розбиття проіндексоване, можливо іншою множиною індексів , таке що кожна функція має [en] і для кожного , для деякого .
Отже, або обираємо носії проіндексовані відкритим покриттям, або компактні носії. Якщо простір є компактним, то існують розбиття, які задовольняють обом умовам.
Для скінчених покриттів завжди існує неперервне розбиття одиниці підпорядковане цьому покриттю, якщо відповідний простір є локально компактним та Гаусдорфовим.
Для існування розбиття яке є підпорядкованим довільному відкритому покриттю, простір має бути паракомпактним. В їх побудові використовуються [en](функції з "горбиком"), котрі існують на гладких але не аналітичних многовидах. Таким чином для відкритого покриття аналітичного многовиду не існує відповідного аналітичного розбиття яке було б підпорядковане цьому покриттю. Див. аналітичне продовження.
Якщо та - розбиття одиниці для просторів та відповідно, то множина всіх пар є розбиттям одиниці декартового добутку . Тензорний добуток функцій має вигляд .
Приклад
Ми можемо побудувати розбиття одиниці на розглянувши карту навколо точки з областю визначення . Далі, нехай функція з горбиком визначена на наступним чином
тоді функція та можуть бути продовжені єдиним чином на задавши . Тоді множина , є розбиттям одиниці над .
Варіанти означення
Інколи використовують більш слабке означення: достатньо щоб сума значень функцій у вибраній точці була додатною, на відміну від 1, для кожної точки простору. При цьому, якщо є подібна сім'я функцій то ми можемо отримати розбиття одиниці в строгому сенсі поділивши на суму , отримане розбиття є коректно означеним так як в кожній точці лише скінчена кількість доданків є ненульовою. Більше того, деякі автори опускають умову локальної скінченності носіїв, вимагаючи лише щоб для всіх точок .
Застосування
Розбиття одиниці можуть бути використані для визначення інтегралу (відносно форми об'єму) функції визначеної на многовиді: спочатку ми означити інтеграл для функції чий носій повністю міститься в локальній карті; після цього будується розбиття одиниці для того щоб означити інтеграл для довільної функції; нарешті ми можемо показати що визначення не залежить від вибору розбиття.
Розбиття одиниці можна використати щоб показати існування Ріманової метрики на довільному многовиді.
Метод перевалу використовує розбиття одиниці для побудови асимптотик для інтегралів.
[en] є прикладом практичного застосування розбиття одиниці для розділення вхідного сигналу на два сигнали високої та низької частоти.
Поліноми Бернштейна фіксованої степені є сімейством лінійно незалежних поліномів, які є прозбиттям одиниці на відрізку .
Розбиття одиниці застосовуються для визначення глобальних гладких апроксимацій для функцій Соболєва на обмежених областях визначення
Див. також
- [en]
- [en]
- [en]
Література
- Tu, Loring W. (2011), An introduction to manifolds, Universitext (вид. 2nd), Berlin, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4419-7400-6, ISBN , see chapter 13
Зовнішні посилання
- General information on partition of unity at [Mathworld]
Вікіпедія, Українська, Україна, книга, книги, бібліотека, стаття, читати, завантажити, безкоштовно, безкоштовно завантажити, mp3, відео, mp4, 3gp, jpg, jpeg, gif, png, малюнок, музика, пісня, фільм, книга, гра, ігри, мобільний, телефон, android, ios, apple, мобільний телефон, samsung, iphone, xiomi, xiaomi, redmi, honor, oppo, nokia, sonya, mi, ПК, web, Інтернет
U matematici rozbittyam odinici topologichnogo prostoru X displaystyle X nazivayut simejstvo neperervnih funkcij z X displaystyle X v odinichnij interval odinichnij interval 0 1 displaystyle 0 1 yaki zadovolnyayut dlya dovilnoyi tochki x X displaystyle x in X nastupnim umovam isnuye okil tochki x displaystyle x v yakomu vsi okrim skinchennogo chisla funkciyi z R displaystyle R dorivnyuyut nulyu suma vsih znachen funkcij v tochci x displaystyle x dorivnyuye 1 tobto r R r x 1 displaystyle sum rho in R rho x 1 Rozbittya odinici na koli porodzhene chotirma funkciyami Kolo rozgornuto u vidrizok zhirna liniya znizu dlya naglyadnosti Punktirna liniya zverhu ye sumoyu funkcij rozbittya Rozbittya odinici ye vazhlivim oskilki u bagatoh vipadkah dozvolyaye prodovzhiti lokalni konstrukciyi na ves prostir Takozh rozbittya odinici vikoristovuyut pri interpolyaciyi informaciyi obrobci signaliv obrobci signaliv ta teoriyi splajniv IsnuvannyaDlya isnuvannya rozbittya odinici rozriznyayut dva pidhodi Nehaj U i i I displaystyle U i i in I deyake vidkrite pokrittya X displaystyle X todi isnuye rozbittya r i i I displaystyle rho i i in I proindeksovane tiyeyu zh mnozhinoyu I displaystyle I take sho supp r i U i displaystyle operatorname supp rho i subseteq U i Podibne rozbittya nazivayut pidporyadkovanim vidkritomu pokrittyu U i i I displaystyle U i i in I Yaksho prostir ye lokalno kompaktnim ta zadano deyake vidkrite pokrittya U i i I displaystyle U i i in I to isnuye rozbittya r j j J displaystyle rho j j in J proindeksovane mozhlivo inshoyu mnozhinoyu indeksiv J displaystyle J take sho kozhna funkciya r j displaystyle rho j maye en i dlya kozhnogo j J displaystyle j in J supp r j U i displaystyle operatorname supp rho j subseteq U i dlya deyakogo i I displaystyle i in I Otzhe abo obirayemo nosiyi proindeksovani vidkritim pokrittyam abo kompaktni nosiyi Yaksho prostir ye kompaktnim to isnuyut rozbittya yaki zadovolnyayut obom umovam Dlya skinchenih pokrittiv zavzhdi isnuye neperervne rozbittya odinici pidporyadkovane comu pokrittyu yaksho vidpovidnij prostir ye lokalno kompaktnim ta Gausdorfovim Dlya isnuvannya rozbittya yake ye pidporyadkovanim dovilnomu vidkritomu pokrittyu prostir maye buti parakompaktnim V yih pobudovi vikoristovuyutsya en funkciyi z gorbikom kotri isnuyut na gladkih ale ne analitichnih mnogovidah Takim chinom dlya vidkritogo pokrittya analitichnogo mnogovidu ne isnuye vidpovidnogo analitichnogo rozbittya yake bulo b pidporyadkovane comu pokrittyu Div analitichne prodovzhennya Yaksho R displaystyle R ta T displaystyle T rozbittya odinici dlya prostoriv X displaystyle X ta Y displaystyle Y vidpovidno to mnozhina vsih par r t r R t T displaystyle rho otimes tau rho in R tau in T ye rozbittyam odinici dekartovogo dobutku X Y displaystyle X times Y Tenzornij dobutok funkcij maye viglyad r t x y r x t y displaystyle rho otimes tau x y rho x tau y PrikladMi mozhemo pobuduvati rozbittya odinici na S 1 displaystyle S 1 rozglyanuvshi kartu navkolo tochki q S 1 displaystyle q in S 1 z oblastyu viznachennya S 1 p displaystyle S 1 setminus p Dali nehaj F displaystyle Phi funkciya z gorbikom viznachena na R displaystyle mathbb R nastupnim chinom F x exp 1 x 2 1 x 1 1 0 v inshomu vipadku displaystyle Phi x begin cases exp left frac 1 x 2 1 right amp x in 1 1 0 amp text v inshomu vipadku end cases todi funkciya F displaystyle Phi ta 1 F displaystyle 1 Phi mozhut buti prodovzheni yedinim chinom na S 1 displaystyle S 1 zadavshi F p 0 displaystyle Phi p 0 Todi mnozhina S 1 p F displaystyle S 1 setminus p Phi S 1 q 1 F displaystyle S 1 setminus q 1 Phi ye rozbittyam odinici nad S 1 displaystyle S 1 Varianti oznachennyaInkoli vikoristovuyut bilsh slabke oznachennya dostatno shob suma znachen funkcij u vibranij tochci bula dodatnoyu na vidminu vid 1 dlya kozhnoyi tochki prostoru Pri comu yaksho ye podibna sim ya funkcij ps i i 1 displaystyle psi i i 1 infty to mi mozhemo otrimati rozbittya odinici v strogomu sensi podilivshi na sumu s x i 1 ps i x displaystyle sigma x sum i 1 infty psi i x otrimane rozbittya s 1 ps i i 1 displaystyle sigma 1 psi i i 1 infty ye korektno oznachenim tak yak v kozhnij tochci lishe skinchena kilkist dodankiv ye nenulovoyu Bilshe togo deyaki avtori opuskayut umovu lokalnoyi skinchennosti nosiyiv vimagayuchi lishe shob i 1 ps i x lt displaystyle sum i 1 infty psi i x lt infty dlya vsih tochok x displaystyle x ZastosuvannyaRozbittya odinici mozhut buti vikoristani dlya viznachennya integralu vidnosno formi ob yemu funkciyi viznachenoyi na mnogovidi spochatku mi oznachiti integral dlya funkciyi chij nosij povnistyu mistitsya v lokalnij karti pislya cogo buduyetsya rozbittya odinici dlya togo shob oznachiti integral dlya dovilnoyi funkciyi nareshti mi mozhemo pokazati sho viznachennya ne zalezhit vid viboru rozbittya Rozbittya odinici mozhna vikoristati shob pokazati isnuvannya Rimanovoyi metriki na dovilnomu mnogovidi Metod perevalu vikoristovuye rozbittya odinici dlya pobudovi asimptotik dlya integraliv en ye prikladom praktichnogo zastosuvannya rozbittya odinici dlya rozdilennya vhidnogo signalu na dva signali visokoyi ta nizkoyi chastoti Polinomi Bernshtejna fiksovanoyi stepeni m displaystyle m ye simejstvom m 1 displaystyle m 1 linijno nezalezhnih polinomiv yaki ye prozbittyam odinici na vidrizku 0 1 displaystyle 0 1 Rozbittya odinici zastosovuyutsya dlya viznachennya globalnih gladkih aproksimacij dlya funkcij Sobolyeva na obmezhenih oblastyah viznachennyaDiv takozh en en en LiteraturaRudin Walter 1987 Real and complex analysis vid 3rd New York McGraw Hill s 40 ISBN 978 0 07 054234 1 Strichartz Robert S 2003 A guide to distribution theory and Fourier transforms Singapore World Scientific Pub Co ISBN 981 238 421 9 OCLC 54446554 Tu Loring W 2011 An introduction to manifolds Universitext vid 2nd Berlin New York Springer Verlag doi 10 1007 978 1 4419 7400 6 ISBN 978 1 4419 7399 3 see chapter 13Zovnishni posilannyaGeneral information on partition of unity at Mathworld